미적분1함수의 극한2편

극한 조건으로 미정계수 구하기

극한값이 존재하거나 특정 값일 때 식 속 미지수를 결정하는 방법을 정리합니다. 분모가 0으로 가면 분자도 0이어야 한다는 조건과 조각함수의 극한값이 존재할 조건(좌극한 = 우극한)을 쓰는 순서를 문제로 익힙니다.

이 단원에서 다루는 것

가장 자주 쓰는 사실은 다음입니다.

limx→af(x)g(x)=L (L은 실수),  limx→ag(x)=0 ⟹ limx→af(x)=0\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L\ (L\text{은 실수}),\ \ \lim_{x\to a}g(x)=0 \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=0

분모가 00으로 가는데 몫이 유한한 값으로 가려면, 분자도 함께 00으로 가야 하기 때문입니다. 이 조건으로 미지수 하나를 먼저 정하고, 인수분해해서 나머지 미지수를 구합니다.

조각함수가 x=ax=a에서 극한값을 가지려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

limx→a−f(x)=limx→a+f(x)\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)

쉽게 말하면 — 분모가 00으로 사라질 때 분자가 00으로 가지 않으면 몫이 한없이 커집니다. 몫이 유한하게 남으려면 분자도 함께 0으로 가야 합니다.

누구나 풀 수 있어요이 단원은 3단계로 가려서 풉니다. 문제별 단계는 아래 글마다 따로 있습니다.

  1. 아래가 00으로 가는데 극한값이 숫자로 주어졌으면, 위(다항식)에 aa를 넣은 값도 00이라고 놓습니다. (이유는 문제 해설의 정석 풀이에서 확인합니다.)
  2. 그러면 위는 (x−a)Q(x)(x-a)Q(x)로 인수분해됩니다. (x−a)(x-a)를 약분하고, 남은 식에 aa를 넣은 값 Q(a)Q(a)를 주어진 극한값과 같다고 놓고 풉니다.
  3. 줄이 나뉜 함수는 극한값이 존재하도록 경계마다 “왼쪽 값 = 오른쪽 값”이라는 식을 세워 미지수를 하나씩 정합니다.

※ 두 가지 기본형입니다. 1~2번은 x→ax\to a(aa는 유한한 실수)에서 아래가 x−ax-a이고 위가 다항식이며 극한값이 숫자로 주어진 분수입니다. 3번은 줄의 식이 모두 다항식이고 경계마다 세운 식이 미지수를 하나씩 정해 주는 조각함수입니다. 그 밖의 문제는 아래 글의 문제 해설을 보세요.

풀이 순서

  1. 분모가 00이 되는 점을 확인하고, 분자도 00이 되도록 하는 조건식을 세웁니다.
  2. 그 조건을 넣은 분자를 인수분해해 (x−a)(x-a)를 약분합니다.
  3. 남은 식에서 극한값 조건을 써서 나머지 미지수를 구합니다.
  4. 구한 값을 원래 식에 넣어 극한값이 실제로 조건과 맞는지 확인합니다.

자주 하는 실수

  • 1단계의 조건이 필요조건이라는 점을 잊고 검산을 생략하는 것. 미지수를 구한 뒤 실제로 극한이 주어진 값이 되는지 확인해야 합니다.
  • 조각함수에서 경계점 하나만 맞추고 나머지 경계점을 빼먹는 것. 경계점마다 “좌극한 = 우극한” 식이 하나씩 필요합니다.
  • 분모가 00으로 안 가는데 “분자도 00”을 적용하는 것. 이 조건은 분모의 극한이 00일 때만 씁니다.

이 단원의 문제 2개

  1. 분모가 0으로 가는데 극한값이 있을 때 미정계수 구하기난이도 중상
  2. 좌극한과 우극한을 맞춰 조각함수의 미정계수 정하기난이도 상