그래프로 극한 읽기

이 단원에서 다루는 것

그래프에서 $x\to a^-$ 는 $x=a$ 의 왼쪽에서 곡선을 따라 $a$ 로 걸어가는 것, $x\to a^+$ 는 오른쪽에서 걸어가는 것입니다. 그때 곡선 위의 점이 도달하는 높이가 각각 좌극한, 우극한입니다.

그래프를 읽을 때 구분해야 할 네 가지입니다.

좌극한: 왼쪽에서 다가갈 때의 높이
우극한: 오른쪽에서 다가갈 때의 높이
극한값: 두 높이가 같을 때 그 높이 (다르면 존재하지 않음)
함숫값 $f(a)$ : $x=a$ 위치에 실제로 찍힌 점의 높이

속이 빈 동그라미는 “그 점은 포함되지 않는다”는 뜻입니다. 빈 점이 있어도 극한값은 구할 수 있습니다. 점근선에 곡선이 한없이 붙어 올라가거나 내려가면 극한값이 존재하지 않고 발산합니다.

쉽게 말하면 — 극한은 “곡선이 어디로 향하는가”이고, 함숫값은 “그 자리에 점이 실제로 있는가, 있다면 얼마 높이인가”입니다. 둘은 별개이니 그래프에서 따로 읽으세요.

누구나 풀 수 있어요이 단원은 5단계로 가려서 풉니다. 문제별 단계는 아래 글마다 따로 있습니다.

극한을 물으면 그림에서 $x=a$ 자리의 높이를 읽습니다. $x\to a^-$ 이면 왼쪽 높이만, $x\to a^+$ 이면 오른쪽 높이만 읽어 답하고, $x\to a$ 이면 왼쪽·오른쪽 높이를 모두 읽어 아래 2번으로 갑니다. 그 자리에 따로 찍힌 점은 읽지 않습니다.
$x\to a$ 에서 두 높이가 같은 숫자이면 극한값이 있고, 다르거나 위·아래로 끝없이 뻗으면 극한값이 없습니다.
함숫값 $f(a)$ 를 물으면 $x=a$ 에서 그래프에 포함된 점의 높이를 읽습니다. 곡선이 그 자리를 지나면 그 높이이고, 따로 속이 찬 점이 있으면 그 점의 높이입니다. 속이 빈 점은 제외하며, 포함된 점이 없으면 $f(a)$ 는 정의되지 않습니다.
세로 점선에 붙어 위로 끝없이 가면 $\infty$ , 아래로 끝없이 가면 $-\infty$ 입니다.
가로 점선은 오른쪽 끝( $x\to\infty$ )과 왼쪽 끝( $x\to-\infty$ )을 따로 읽고, 곡선이 붙는 점선의 높이가 극한값입니다.

※ 그림에서 읽는 기본형입니다. $x\to a$ ( $a$ 는 실수)는 $a$ 의 왼쪽과 오른쪽 모두에 그래프가 있고, 각 방향에서 한 실수나 $\infty$ , $-\infty$ 로 향하는 그림만 다룹니다. 한쪽에 그래프가 없거나 끊긴 그림은 아래 글의 문제 해설을 보세요. 주어진 그래프가 $y=f(x)$ 일 때 $f(x)$ 자체의 극한과 함숫값을 직접 읽는 문제만 다루며, $f(x-1)$ , $f(2x)$ , $f(-x)$ 처럼 괄호 안이 바뀐 식도 아래 글의 문제 해설을 보세요. 무한대에서는 가로 점선에 붙는 그림만 다룹니다. 점근선 없이 끝없이 뻗는 그래프, 합·곱, $f(-x)$ , 그림 밖의 값을 묻는 문제는 아래 글의 문제 해설을 보세요.

학습 순서

한 점에서 읽기 — 빈 점·채운 점·끊어진 곳에서 극한값, 좌극한, 우극한, 함숫값을 구분해 읽고, $f(x-1)$ · $f(-x)$ 처럼 괄호 안이 바뀐 식의 접근 방향을 따집니다.
점근선 읽기 — 세로 점근선에서 곡선이 달아나는 방향으로 발산을 읽고, 가로 점근선에서 $x\to\infty$ 와 $x\to-\infty$ 의 극한을 따로 읽습니다.
종합 판정 — 여러 지점·여러 그래프에서 극한값이 존재하는지 같은 순서로 판정하고, 합·차·곱이 든 식과 짝함수·주기함수의 그림 밖까지 읽습니다.

자주 하는 실수

함숫값을 극한값으로 읽는 것. 속이 찬 점이 위·아래로 따로 찍혀 있어도 극한은 곡선이 향하는 높이입니다.
좌극한과 우극한 중 한쪽만 보고 극한값이 있다고 하는 것.
점근선 근처에서 “값이 수렴한다”고 읽는 것. 한없이 커지거나 작아지면 발산이고, $\infty$ 는 수가 아닙니다.
$f(-x)$ 를 그대로 읽는 것. 부호가 바뀌면 왼쪽과 오른쪽이 맞바뀝니다.

이 단원에서 다루는 것

학습 순서

자주 하는 실수

이 단원의 문제 3개