절댓값이 들어간 함수의 극한

이 단원에서 다루는 것

절댓값은 안쪽 식의 부호에 따라 모양이 바뀝니다.

|x-a|=\begin{cases}x-a & (x>a)\\[2pt] -(x-a) & (x<a)\end{cases}

$x\to a$ 일 때 $a$ 의 왼쪽과 오른쪽에서 절댓값이 다르게 풀리므로, 한쪽 극한을 따로 구해야 하는 경우가 생깁니다.

대표적인 예가 $\dfrac{|x|}{x}$ 입니다. $x>0$ 에서는 $1$ , $x<0$ 에서는 $-1$ 이라서 $x\to0$ 일 때 좌극한 $-1$ , 우극한 $1$ 이 달라 극한값이 존재하지 않습니다.

반대로 $x\to\infty$ 일 때는 안쪽 식의 부호가 한쪽으로 정해지므로 절댓값을 바로 풀 수 있습니다.

쉽게 말하면 — 절댓값은 “음수이면 뒤집어서 양수로 만드는 장치”입니다. 어느 쪽에서 다가가느냐에 따라 뒤집히기도 하고 안 뒤집히기도 하니, 왼쪽·오른쪽을 따로 걷는다고 생각하면 됩니다.

누구나 풀 수 있어요이 단원은 4단계로 가려서 풉니다. 문제별 단계는 아래 글마다 따로 있습니다.

절댓값 안의 식에 $a$ 를 넣어 봅니다. $0$ 이 아니면 그 부호대로 벗겨서 풉니다. $0$ 이면 안의 다항식이 항상 $0$ 일 때는 $0$ 으로 쓰고, 아니면 $(x-a)^mR(x)$ ( $R(a)\ne0$ )로 정리해 오른쪽은 $R(a)$ 의 부호, 왼쪽은 $(-1)^mR(a)$ 의 부호를 봅니다. 양수이면 그대로, 음수이면 앞에 마이너스를 붙여 벗깁니다.
$\frac{|x-a|}{x-a}$ 꼴이 보이면 오른쪽에서는 $1$ , 왼쪽에서는 $-1$ 로 읽고 좌극한과 우극한을 따로 구합니다. 같은 숫자일 때만 극한값이 있습니다.
아래가 $|x-a|$ 이면 위의 다항식을 먼저 정리합니다. 위가 항상 $0$ 이면 극한값은 $0$ 입니다. 아니면 위를 $(x-a)^kQ(x)$ ( $k$ 는 $0$ 이상의 정수, $Q(a)\ne0$ )로 정리하고, $k=0$ 이면 위에 $a$ 를 넣은 값이 양수일 때 $+\infty$ , 음수일 때 $-\infty$ 입니다.
$k=1$ 이면 오른쪽 극한은 $Q(a)$ , 왼쪽 극한은 $-Q(a)$ 라서 극한값이 없습니다. $k\ge2$ 이면 극한값은 $0$ 입니다.

※ $x\to a$ ( $a$ 는 실수)이고 절댓값 안이 다항식인 기본형입니다. 무한대로 가는 극한과 미정계수 문제는 아래 글의 문제 해설을 보세요.

절댓값 안의 부호가 정해지는 경우를 익힙니다. 극한을 구하는 점에서 안의 식이 $0$ 이 아니면 부호대로 벗겨 대입하고, $x\to\infty$ , $x\to-\infty$ 에서는 안의 일차식의 부호가 굳어 절댓값이 풀립니다.
$\dfrac{|x-a|}{x-a}$ 가 $x=a$ 양쪽에서 $1$ , $-1$ 로 갈리는 신호등임을 확인하고, 앞에 곱한 식이 $x=a$ 에서 $0$ 이어야 극한이 존재한다는 조건을 익힙니다.
분모가 $|x-a|$ 인 분수식은 분자의 $(x-a)$ 인수 개수(0개·1개·2개 이상)로 발산, 좌우 반대 부호, $0$ 세 갈래를 가르고, 절댓값 분수의 합과 차는 통분합니다.