미적분1함수의 극한2편

극한의 존재 판정 종합 (보기형)

여러 함수의 극한이 존재하는지 가려내는 보기형 문제와, 유리수·무리수 조건으로 정의된 함수에서 극한값이 존재하는 점을 찾는 문제를 정리합니다. 보기마다 같은 순서로 판정하는 전략과 방정식의 근으로 존재하는 점을 찾는 방법을 익힙니다.

이 단원에서 다루는 것

앞 단원들에서 익힌 기법이 한 문제에 섞여 나옵니다. 다항·분수·무리·절댓값·조각함수가 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ으로 하나씩 제시되고, “극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고르시오” 같은 형식으로 묻습니다. xx가 유리수일 때와 무리수일 때 식이 다른 함수는 두 식의 값이 같은 점에서만 극한값이 존재하며, 그 점은 방정식의 실근으로 찾습니다.

누구나 풀 수 있어요이 단원은 3단계로 가려서 풉니다. 문제별 단계는 아래 글마다 따로 있습니다.

  1. 보기마다 xx 자리에 극한에서 xx가 가까워지는 실수 aa를 넣어 봅니다.
  2. 대입이 안 되면(분수 안의 분수 등) 먼저 하나의 분수로 정리하고, 분수의 합·차는 통분해서 하나의 분수로 만듭니다. 위아래가 둘 다 00이면 인수분해하거나 유리화해서 약분한 뒤 다시 넣습니다. 위가 00이 아니고 아래만 00이면 극한값이 없습니다. 절댓값이 있으면 왼쪽과 오른쪽을 따로 구하고, 같은 실수일 때만 극한값이 있습니다.
  3. 함수가 “유리수이면 식 A, 무리수이면 식 B”라면 A=BA=B를 세워 풀고, 실수인 해가 극한값이 있는 곳입니다.

※ x→ax\to a(aa는 실수)인 분수식·절댓값 식과, 두 식이 다항식인 유리수·무리수 함수의 기본형입니다. 조건이 주어진 문제는 아래 글의 문제 해설을 보세요.

학습 순서

  1. 보기형 극한 판정 종합: 대입 → 약분·유리화·통분 → 절댓값의 좌우 분리 순서, 약분한 뒤 분자와 분모에 남는 00의 개수 비교, 조건 극한으로 함수를 먼저 정하는 방법, 양쪽이 분수식인 조각함수를 익힙니다.
  2. 유리수·무리수 조건으로 정의된 함수: 극한값이 존재하는 점은 두 식을 같게 놓은 방정식의 실근이며, 판별식·중근·근과 계수의 관계로 점의 개수와 상수를 정합니다.

접근 전략

  1. 보기마다 따로 판정합니다. 한 보기의 결과가 다른 보기에 영향을 주지 않습니다.
  2. 약분한 뒤 남는 00의 개수를 비교합니다. 분모의 00이 더 많으면 발산, 같고 ∣x−a∣x−a\dfrac{|x-a|}{x-a} 꼴이 남으면 좌우가 갈리고, 분자의 00이 더 많으면 00입니다.
  3. 존재 여부가 헷갈리면 좌극한과 우극한을 둘 다 구합니다. 하나라도 없거나 서로 다르면 극한값은 존재하지 않습니다.
  4. 조건이 주어지면 보기보다 함수를 먼저 정합니다.

자주 하는 실수

  • 익숙한 유형이라고 계산을 생략하고 눈으로 판단하는 것. 보기형은 한 군데 함정이 숨어 있는 경우가 많습니다.
  • 극한값이 존재하는 것과 함숫값이 정의된 것을 혼동하는 것. 두 조건은 서로 독립입니다.
  • 개수를 묻는 문제에서 답이 되는 보기를 세지 않고 번호만 고르는 것.

이 단원의 문제 2개

  1. 극한값의 존재 판정 종합: 한 보기마다 같은 순서로 판정하기난이도 상
  2. 유리수 조건과 무리수 조건으로 정의된 함수에서 극한값이 존재하는 점 찾기난이도 중상