함수의 극한 — 좌극한과 우극한을 맞춰 조각함수의 미정계수 정하기

$x<2$일 때 $f(x)=-x+a$이므로

$x\geq 2$일 때 $f(x) = x^2-3$이므로

극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로

$a$에 대한 일차방정식이므로 이 값은 유일하게 결정된다.

핵심 개념 1번·2번: 각 조각이 다항식이고 경계점이 하나뿐인 조각함수에서 미정계수를 구하는 절차는 다음과 같이 정리된다.

이 식에 양쪽 조각의 식을 대입하면 미지수에 대한 방정식이 하나 나오고, 그 방정식을 풀면 조건을 만족하는 값이 정해진다.

쉽게 말하면 — 양쪽 조각에 각각 $x=2$를 넣어서 나온 두 값을 같다고 놓으면, 그게 바로 $a$를 구하는 방정식입니다. 굳이 그래프를 그리지 않아도, 식 두 개를 등호로 잇기만 하면 됩니다.

(i) 경계점 $x=0$에서 조건 세우기

$x<0$일 때 $f(x)=ax+b$이므로

$0\leq x<2$일 때 $f(x)=x^2-1$이므로

극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

(ii) 경계점 $x=2$에서 조건 세우기

$0\leq x<2$일 때 $f(x)=x^2-1$이므로

$x\geq 2$일 때 $f(x)=3x+a$이므로

극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

(iii) 답 구하기

핵심 개념 2번·3번: 경계점이 두 개면 조건식도 두 개가 나오는데, 이 문제에서는 각 조건식에 실제로 남는 미지수가 다르다.

$x=0$의 조건식에는 $b$만 남고, $x=2$의 조건식에는 $a$만 남는다. 두 식은 연립방정식이지만 서로 문자가 겹치지 않아 소거 과정이 필요 없다. 완전히 독립된 방정식 두 개를 각각 풀면 된다.

쉽게 말하면 — $a$의 방정식과 $b$의 방정식은 서로 다른 경계점에서 따로 태어납니다. 어느 방정식에 어떤 문자가 들어있는지만 확인하면, 둘을 한꺼번에 풀 필요 없이 각자 순서와 상관없이 풀 수 있습니다.

조건이 두 개 주어져 있다. $x=1$에서의 극한값 존재 조건과 $x=0$에서의 함숫값 조건이다. 쉬운 쪽부터 처리한다.

(i) $f(0)=2$로 $b$ 구하기

$0<1$이므로 $f(0)$에는 $x<1$일 때의 식을 쓴다.

$f(0)=2$이므로 $b=2$이다. $x=0$을 대입하면 $a$가 곱해진 항이 $0$이 되어 사라지므로 이 조건만으로 $b$가 바로 정해진다.

(ii) 극한값 존재 조건으로 $a$ 구하기

극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

(iii) 답 구하기

핵심 개념 2번·3번: 식이 두 개 나온다.

$x=0$의 식에는 $b$만 남아 바로 계산된다. $x=1$의 식에는 $a$와 $b$가 함께 있지만, $b$를 먼저 구해 두었으므로 대입하면 $a$만 남는 일차방정식이 된다.

쉽게 말하면 — $b$를 구하는 식과 $a$를 구하는 식이 완전히 따로 노는 것이 아니라, $b$의 값을 알아야 $a$의 식이 완성됩니다. 먼저 구할 수 있는 것부터 처리하는 순서가 핵심입니다.

식이 바뀌는 경계점은 $x=1$과 $x=4$이다. 경계점마다 좌극한과 우극한을 비교한다.

(i) 경계점 $x=1$에서 조건 세우기

두 값이 같아야 하므로

①에는 $a$와 $b$가 모두 남아 있어 이것만으로는 어느 쪽 값도 정해지지 않는다.

(ii) 경계점 $x=4$에서 조건 세우기

두 값이 같아야 하므로

(iii) 연립방정식 풀기

①을 ②에 대입하면

①에서 $a=2b=2$이다.

(iv) 답 구하기

핵심 개념 2번·3번: 두 경계점에서 나온 식을 나란히 놓으면 다음과 같다.

문제 2에서는 경계점마다 식에 문자가 하나씩만 남아 독립적으로 풀렸다. 이 문제는 두 식 모두에 $a$와 $b$가 함께 남는다. 이런 경우에는 한 식을 다른 식에 대입해 미지수를 하나씩 줄이는 연립방정식 풀이가 필요하다.

쉽게 말하면 — 어떤 문제는 경계점마다 미지수를 하나씩 나눠서 책임지지만, 이 문제는 두 경계점이 $a$와 $b$를 같이 책임집니다. 한쪽 식만 풀어서는 끝나지 않으니 대입법으로 한 문자를 없애 나갑니다.

(i) $\displaystyle\lim_{x\to -2}f(x)=9$로 $a$ 구하기

$x=-2$는 $x<2$ 범위에 속하므로 $f(x)=x^2+ax+1$을 쓴다. 다항식이므로 극한값은 대입으로 구한다.

조건에서

(ii) $x=2$에서 극한값이 존재하도록 $b$ 구하기

$a=-2$를 넣으면 $x<2$일 때 $f(x)=x^2-2x+1$이므로

극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

(iii) 완성된 식에 대입해 $x=5$에서의 극한값 구하기

$b=3$이므로 $x\geq 2$일 때 $f(x)=3x-5$이다. $x=5$는 $x\geq2$ 범위에 속하므로

핵심 개념 2번·4번: 조건 두 개가 서로 다른 미지수를 순서대로 결정한다.

첫 조건은 경계점이 아닌 $x=-2$에서의 극한값이다. 다항식 조각에서는 극한을 구하는 것이 곧 대입하는 것이므로 처리 방식은 경계점 조건과 다르지 않다. 미정계수를 모두 구하고 나면 $x=5$에서의 극한도 $5$가 속한 조각 $3x-5$에 대입하는 계산이다.

쉽게 말하면 — “$x=-2$에서 극한값이 $9$”라는 조건은 그 조각에 $-2$를 넣은 값이 $9$라는 뜻입니다. 경계점이든 아니든 다항식 조각에서는 결국 대입만 하면 됩니다.

(i) 그래프에서 $f(x)$의 좌극한과 우극한 읽기

$x=1$ 왼쪽의 조각은 높이 $4$의 ○를 향하므로 $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=4$이다. $x=1$ 오른쪽의 조각은 높이 $2$의 ○에서 출발하므로 $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=2$이다. $x=1$에 찍힌 ●($f(1)=3$)은 극한을 구할 때 쓰지 않는다.

(ii) $g(x)$의 좌극한과 우극한 구하기

$x<1$에서는 $g(x)=f(x)$이므로

$x>1$에서는 $g(x)=a\,f(x)-2$이므로

(iii) 두 값이 같도록 $a$ 정하기

$\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)$가 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

$a=3$이면 우극한은 $2\cdot 3-2=4$이므로 좌극한과 같다. 따라서 $a=3$이고 이때 극한값은 $4$이다.

핵심 개념 1번·5번: 극한값이 존재할 조건은 좌극한과 우극한이 같다는 것이다.

한쪽 극한에서도 상수배와 상수항은 그대로 밖으로 나온다.

따라서 상수 $a$는 우극한 $2a-2$가 좌극한 $4$와 같다는 방정식에서 정해진다.

쉽게 말하면 — 왼쪽 조각이 향하는 높이는 $4$로 정해져 있고, 오른쪽 조각의 높이 $2$를 “$a$배 한 뒤 $2$만큼 내린” 값이 $4$와 만나야 합니다. $a$는 그 만남을 맞춰 주는 숫자입니다.

(i) 그래프에서 필요한 극한 읽기

$g(x)$의 $x\to 1$ 극한에는 $x=1$ 둘레의 $f(x)$와, $x=-1$ 둘레의 $f(-x)$가 함께 쓰인다. 그래서 두 지점의 좌극한과 우극한을 모두 읽는다.

(ii) $f(-x)$의 극한 구하기

$-x=t$로 놓으면 $x\to 1^{-}$일 때 $t\to -1^{+}$이고, $x\to 1^{+}$일 때 $t\to -1^{-}$이다. 따라서

(iii) $g(x)$의 좌극한과 우극한

(iv) 두 값이 같도록 $a$ 정하기

극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

$a=2$이면 좌극한은 $3+2=5$, 우극한은 $1+4=5$로 같다. 따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)=5$이고,

핵심 개념 1번·5번: $f(-x)$의 극한은 방향을 바꿔서 읽는다. 상수 $c$에 대하여

이다. 한쪽 극한에서도 합과 상수배의 성질이 그대로 성립하므로

로 좌극한과 우극한을 따로 계산한 뒤 두 값을 비교한다.

쉽게 말하면 — $f(x)$는 $x=1$ 자리의 그래프를 읽고, $f(-x)$는 $x=-1$ 자리의 그래프를 읽습니다. 다만 $f(-x)$는 거울에 비친 방향이라, 왼쪽 극한에는 $x=-1$의 오른쪽 높이가, 오른쪽 극한에는 $x=-1$의 왼쪽 높이가 들어갑니다.