좌극한·우극한과 극한값의 존재

이 단원에서 다루는 것

• 좌극한 $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)$: $x$가 $a$보다 작은 쪽에서 $a$에 다가갈 때의 값
• 우극한 $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)$: $x$가 $a$보다 큰 쪽에서 $a$에 다가갈 때의 값

극한값은 두 쪽이 같은 유한한 값일 때만 존재합니다.

$$\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L$$

경계가 있는 조각함수에서는 접근 방향이 고르는 조각의 식으로 좌극한과 우극한을 구합니다. 경계점의 함숫값 $f(a)$는 극한값과 무관합니다.

쉽게 말하면 — 두 사람이 서로 반대편에서 같은 지점을 향해 걸어갈 때, 도착하는 곳이 같아야 “그 지점으로 간다”고 말할 수 있습니다. 한 명이라도 다른 곳으로 가거나 끝없이 멀어지면 극한값은 없습니다.

학습 순서

1. 좌극한과 우극한의 뜻을 정리하고, 방향 기호가 쓸 조각을 고르는 규칙으로 일차식·이차식·무리식 조각과 세 구간으로 나뉜 함수의 한쪽 극한을 구합니다. 한쪽 극한 값이 조건으로 주어질 때 상수를 정하는 문제까지 익힙니다.
2. 극한값이 존재할 조건(좌극한 = 우극한 = 실수)을 정리하고, 한쪽 극한이 각각 있어도 값이 다르면 극한값이 없다는 점, 경계의 함숫값이 판정에 끼지 않는다는 점, 좌극한을 $L$, 우극한을 $R$로 놓고 조건을 연립하는 방법을 익힙니다.

자주 하는 실수

• 경계점의 함숫값을 극한값으로 쓰는 것. 점이 채워져 있든 비어 있든 극한값에는 영향이 없습니다.
• 좌극한과 우극한이 모두 $\infty$일 때 극한이 존재한다고 쓰는 것. $\infty$는 수가 아니므로 극한값이 존재하지 않고 발산한다고 표현합니다.
• 한쪽 극한만 구하고 멈추는 것. 존재 판정에는 항상 양쪽이 필요합니다.