함수의 극한 — 분모가 0으로 가는데 극한값이 있을 때 미정계수 구하기

$x\to1$일 때 분모 $x-1\to0$이고 극한값이 $3$으로 존재하므로 분자도 $0$으로 가야 한다. 분자에 $x=1$을 대입한 값이 $0$이므로

이를 분자에 넣어 인수분해하면

이므로 $x\neq1$에서

$a+2=3$에서 $a=1$이고 $b=-a-1=-2$이다. 따라서

핵심 개념 1번·2번: 분모가 $0$으로 가는데 극한값이 있으므로 분자가 $x=1$에서 $0$이다. 이것이 첫 번째 식이다. 분자를 $(x-1)$로 인수분해해 약분하면 남은 식의 극한값 $a+2=3$이 두 번째 식이 된다.

쉽게 말하면 — 미지수가 둘이면 식도 둘입니다. “분자가 $0$이다”가 첫 번째 식이고, “약분하고 남은 값이 $3$이다”가 두 번째 식입니다.

$x\to2$일 때 분모 $x^2-4\to0$이고 극한값이 $1$로 존재하므로 분자도 $0$으로 가야 한다.

분자는 $ax+b=ax-2a=a(x-2)$이고 분모는 $x^2-4=(x-2)(x+2)$이므로 $x\neq2$에서

따라서

이고 $b=-2a=-8$이다. 그러므로

핵심 개념 1번·2번: 분모가 이차식이어도 방법은 같다. 분자가 $x=2$에서 $0$이므로 일차식 분자는 $a(x-2)$ 꼴이 되고, 분모의 인수 $(x-2)$와 약분된다.

쉽게 말하면 — 분자가 $x=2$에서 $0$이 되면 분자에 $(x-2)$가 숨어 있다는 뜻입니다. 분모를 인수분해해서 같은 인수끼리 지우면 남는 것은 $\dfrac{a}{x+2}$ 하나입니다.

$x\to0$일 때 분모 $x\to0$이고 극한값이 존재하므로 분자 $f(x)\to0$이다. 다항함수의 극한값은 함숫값이므로 $f(0)=0$이다. 마찬가지로 $x\to1$일 때 분모 $x-1\to0$이므로 $f(1)=0$이다.

$f(x)$는 이차함수이고 $f(0)=f(1)=0$이므로 $f(x)=ax(x-1)$($a\neq0$)로 놓을 수 있다. 첫 번째 조건에서

두 번째 조건도 확인하면

로 주어진 값과 일치한다. 따라서 $f(x)=2x(x-1)$이고

핵심 개념 1번·3번: 분모가 $0$으로 가는 극한이 존재하면, 분자가 다항함수일 때 분자의 함숫값이 $0$이다. 이차함수가 $x=0$, $x=1$에서 $0$이면 두 근이 $0$, $1$이므로 $f(x)=ax(x-1)$이다. 두 번째 조건으로 구한 값은 첫 번째 조건에서 구한 $a$가 맞는지 확인하는 검산이 된다.

쉽게 말하면 — 분모가 $0$이 되는 극한이 주어진 함수는 “그 점에서 값이 $0$”이라는 정보를 숨기고 있습니다. 두 점에서 $0$이면 이차함수의 두 근을 알아낸 것과 같습니다.

$x\to2$일 때 분자 $x-2\to0$이고 극한값이 $\dfrac15$로 $0$이 아니므로 분모도 $0$으로 가야 한다. 분모가 $0$이 아닌 값 $d$로 간다면 극한값이 $\dfrac{0}{d}=0$이 되어 $\dfrac15$와 맞지 않기 때문이다. 분모에 $x=2$를 대입한 값이 $0$이므로

분모를 인수분해하면

이므로 $x\neq2$에서

따라서

이고 $b=-2a-4=-6$이므로

핵심 개념 1번(반대 방향)·2번: 이번에는 미정계수가 분모에 있고 분자는 $x-2$로 이미 $0$으로 간다. 극한값이 $0$이 아니므로 분모도 $0$으로 가야 하고, 분모를 $(x-2)$로 인수분해해서 약분하면 두 번째 식이 나온다.

쉽게 말하면 — 분자가 $0$으로 사라지는데 몫이 $0$이 아닌 값으로 남으려면, 분모도 같이 사라져야 합니다. 문제 1~3에서 분자와 분모의 역할이 서로 바뀐 것뿐입니다.

(i) 분자가 $0$이 되는 조건으로 $a$ 구하기

$x<2$일 때 $f(x)=\dfrac{x^2+ax-6}{x-2}$이다. $x\to2^{-}$일 때 분모 $x-2$가 $0$에 가까워지므로, 이 조각이 유한한 극한을 가지려면 분자도 $x=2$에서 $0$이어야 한다.

(ii) $a=1$을 대입해 좌극한 구하기

$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$이므로

(iii) 우극한과 비교해 $b$ 구하기

$x\geq2$일 때 $f(x)=bx+1$이므로

극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로

따라서

핵심 개념 1번·5번: 분수식 조각은 분자가 $x=2$에서 $0$이어야 유한한 좌극한을 가진다. 그 좌극한 값을 우극한과 같게 놓으면 $b$가 결정된다.

쉽게 말하면 — 왼쪽 조각은 분수식이라서 분자를 $0$으로 만들어야 값이 정해지고, 그 값이 오른쪽 조각이 향하는 높이와 같아야 합니다. 먼저 $a$로 왼쪽 높이를 정한 다음, $b$로 오른쪽 높이를 맞추는 순서입니다.

$x\to2$일 때 분자 $x+1\to3$이고 $0$이 아니다. 분모 $f(x)$의 극한을 $f(2)=2k-4$라고 하자.

• $f(2)\neq0$이면 대입한 값 $\dfrac{3}{f(2)}$로 극한값이 존재한다.
• $f(2)=0$이면 분자는 $3$ 근처, 분모는 $0$ 근처이므로 값이 한없이 커지거나 작아져 극한값이 존재하지 않는다.

극한값이 존재하지 않으려면 $f(2)=0$이어야 하므로

따라서 $f(x)=x^2+2x-8$이고

핵심 개념 4번: 분모가 $0$으로 가는데 분자가 $0$으로 가지 않으면 극한값이 존재하지 않는다. 이 문제는 분자 $x+1$이 $x=2$에서 $3$이라 $0$이 아니므로, 분모만 $0$이 되면 곧바로 극한값이 존재하지 않게 된다.

쉽게 말하면 — 분모가 $0$이 아니면 그냥 대입해서 값이 나옵니다. 값이 안 나오려면 분모가 $0$이 되는 수밖에 없고, 분자는 $0$이 아니니 약분해서 구제될 가능성도 없습니다.

(i) 분모가 $0$이 되는 후보 찾기

$x\to1$일 때 분모 $f(x)\to f(1)=1-(k+1)+k^2=k^2-k=k(k-1)$이다. 분모가 $0$이 아니면 대입으로 극한값이 존재하므로, 극한값이 존재하지 않으려면 $k(k-1)=0$, 즉 $k=0$ 또는 $k=1$이어야 한다.

(ii) 후보마다 분자를 확인하기

$x\to1$일 때 분자 $x+k-1\to k$이다.

• $k=1$: 분자는 $x$, 분모는 $f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$이다. 분자는 $1$로 가고 분모는 $0$으로 가므로 $\dfrac{x}{(x-1)^2}$은 한없이 커져서 극한값이 존재하지 않는다.
• $k=0$: 분자는 $x-1$, 분모는 $f(x)=x^2-x=x(x-1)$이다. $x\neq1$에서 $\dfrac{x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x}$이므로 극한값 $1$이 존재한다.

따라서 극한값이 존재하지 않도록 하는 값은 $\alpha=k=1$이다.

(iii) 구하는 값

$f(x)=x^2-2x+1$이고 $\alpha+3=4$이므로

핵심 개념 4번: 분모가 $0$이 되는 값은 극한값이 존재하지 않을 “후보”일 뿐이다. 분자도 $0$이 되는 후보는 약분으로 극한값이 존재하게 될 수 있으므로, 후보마다 분자가 $0$인지 아닌지 나누어 판정한다.

쉽게 말하면 — 분모가 $0$이 된다고 모두 극한이 없는 것은 아닙니다. 분자도 같이 $0$이 되면 약분해서 살아날 수 있습니다. 후보를 둘로 뽑아 놓고 하나씩 확인해야 하는 이유입니다.