유리함수·무리함수의 극한값 구하기

이 단원에서 다루는 것

분수식 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 의 극한은 분모를 먼저 봅니다. 접근하는 점 $a$ 에서 분모 $Q(a)$ 가 $0$ 이 아니면 그냥 대입합니다. 분모가 $0$ 이 되는 경우만 따로 생각하면 됩니다.

$\frac00$ 꼴은 “값이 정해지지 않았다”는 뜻일 뿐 극한이 없다는 뜻이 아닙니다. 약분하면 $x=a$ 라는 구멍 하나가 사라지고, 그 자리를 향하는 값이 극한값이 됩니다.

쉽게 말하면 — 도로에 구멍이 하나 뚫려 있어도 그 바로 옆까지는 걸어갈 수 있습니다. 극한은 구멍 자리에 도착했는지가 아니라, 구멍을 향해 가는 길이 어디서 끝나는지를 묻습니다.

누구나 풀 수 있어요이 단원은 3단계로 가려서 풉니다. 문제별 단계는 아래 글마다 따로 있습니다.

분모에 $x=a$ 를 넣어 $0$ 이 아닌지, 루트 안이 $0$ 보다 큰지 봅니다. 이상이 없으면 식 전체에 $a$ 를 넣습니다.
위아래가 모두 $0$ ( $\frac{0}{0}$ )이면 약분할 $(x-a)$ 를 찾습니다. 루트가 없으면 위아래를 쪼개고, 루트가 있으면 켤레식을 곱한 뒤 $(x-a)$ 를 지우고 남은 식에 $a$ 를 넣습니다.
위가 $0$ 이 아니고 분모만 $0$ 이면 극한값은 존재하지 않고 발산합니다. 왼쪽과 오른쪽의 부호를 따로 구해 양쪽 모두 $+\infty$ 인지, 양쪽 모두 $-\infty$ 인지, 서로 다른 방향인지 구분합니다.

※ $x\to a$ ( $a$ 는 실수)이고 위아래가 다항식 또는 한 번의 유리화로 약분되는 루트식이며, 루트 안에 $a$ 를 넣은 값이 모두 $0$ 보다 큰 기본형입니다. 극한값이 주어진 문제는 아래 글의 문제 해설을 보세요.

$\frac00$ 을 보고 “극한이 없다”고 결론 내리는 것. 인수분해·유리화로 형태를 바꾼 뒤 다시 판단해야 합니다.
약분할 때 $x\ne a$ 임을 잊는 것. $x\to a$ 는 $x\ne a$ 인 값들만 보기 때문에 $(x-a)$ 로 약분해도 됩니다.
유리화 후 부호를 틀리는 것. 켤레식을 곱할 때 분모와 분자에 같은 식을 곱했는지 한 번 더 확인하세요.