다항함수의 극한값 구하기

이 단원에서 다루는 것

$x$가 $a$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$가 가까워지는 값을 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$라고 합니다. 다항함수는 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있어서, $a$ 근처에서 $f(x)$가 가는 곳이 곧 $f(a)$입니다.

$$f(x)\text{가 다항함수} \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

쉽게 말하면 — 길이 끊기지 않았다면, 목적지 바로 앞까지 가까이 다가간 사람이 도착하는 곳은 목적지의 높이입니다. 극한은 “가까이 가서 어디를 향하는가”이고, 함숫값은 “거기 실제로 있는 값”입니다. 다항함수에서는 둘이 같아서 대입하면 됩니다.

학습 순서

1. 상수함수·일차함수·이차함수에서 극한값이 왜 대입값과 같은지 그래프로 확인합니다.
2. 삼차·사차 다항함수로 넓혀, 차수가 달라도 같은 원리임을 확인합니다.
3. 두 식의 곱으로 주어진 극한은 각각의 극한을 구해 곱합니다. (두 극한이 모두 존재할 때)
4. 마지막으로 극한값이 주어졌을 때 거꾸로 미지수를 구하는 문제를 풉니다.

자주 하는 실수

• “$x=a$를 대입하는 것”과 “$x\to a$”를 같은 말로 쓰는 것. 다항함수에서는 결과가 같지만, 뒤 단원의 분수함수·조각함수에서는 극한값과 함숫값이 달라질 수 있습니다. 이유를 알고 대입하는 습관이 필요합니다.
• 곱의 극한을 구할 때 한쪽 극한이 존재하는지 확인하지 않는 것. $\lim f\cdot g=\lim f\cdot\lim g$는 두 극한이 모두 존재할 때 쓸 수 있는 성질입니다.