무한대에서의 극한 (x→∞, x→-∞)

이 단원에서 다루는 것

$x\to\infty$ 또는 $x\to-\infty$ 일 때는 식의 모든 항이 아니라 가장 빠르게 커지는 최고차항이 결과를 좌우합니다. 분수함수는 분자·분모의 최고차항 차수를 비교합니다.

분자·분모의 차수	극한
분자 < 분모	$0$
분자 = 분모	최고차항 계수의 비
분자 > 분모	$\infty$ 또는 $-\infty$ 로 발산 (부호는 따로 판단)

핵심이 되는 사실은 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^n}=0$ ( $n$ 은 자연수)입니다. 분모·분자를 분모의 최고차항으로 나누면 이 꼴만 남습니다.

쉽게 말하면 — 큰 수에 작은 수를 더해도 큰 수 그대로입니다. $x$ 가 아주 크면 $x^2+3x$ 에서 $3x$ 는 있으나 마나 하니, $x^2$ 만 보면 됩니다.

누구나 풀 수 있어요이 단원은 6단계로 가려서 풉니다. 문제별 단계는 아래 글마다 따로 있습니다.

루트 안이 $x^2$ 으로 시작하는 루트와 $x$ (또는 그런 루트끼리)가 서로 맞서 지워지는 모양(“큰 수 빼기 큰 수”)은 항을 버리지 말고 먼저 켤레식을 곱합니다. 오른쪽 끝에서는 $\sqrt{x^2+\cdots}-x$ , 왼쪽 끝에서는 $\sqrt{x^2+\cdots}+x$ 가 이런 모양입니다.
켤레식을 곱한 뒤에는 분모의 루트에서 $|x|$ 를 꺼내( $\sqrt{x^2+bx+c}=|x|\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}$ ) 위아래를 $x$ 로 나눕니다. $\frac{1}{x}$ 꼴은 $0$ 으로 보내고, 오른쪽 끝은 $|x|=x$ , 왼쪽 끝은 $|x|=-x$ 로 계산합니다.
그 밖에는 가장 높은 차수의 항만 봅니다. 다항식이 상수이면 그 상수(영이면 $0$ )가 극한값입니다. 차수가 $1$ 이상이고 최고차항의 차수가 짝수이면 양 끝이 같은 방향입니다. 최고차항의 계수가 양수이면 둘 다 위( $\infty$ ), 음수이면 둘 다 아래( $-\infty$ )입니다.
최고차항의 차수가 홀수이면 양 끝이 반대 방향입니다. 최고차항의 계수가 양수이면 오른쪽 끝이 위, 왼쪽 끝이 아래이고, 음수이면 반대입니다.
분수(위아래가 다항식)는 최고차 차수를 비교합니다. 위가 작으면 $0$ , 같으면 계수끼리 나눈 값입니다. 위가 크면 최고차항끼리 나눈 단항식으로 바꿔 위 3·4번처럼 방향을 정합니다.
루트 안이 $x^2$ 으로 시작하는 루트식은 오른쪽 끝에서는 $\sqrt{x^2}=x$ , 왼쪽 끝에서는 $\sqrt{x^2}=-x$ 로 읽습니다.

※ $x\to\infty$ 또는 $x\to-\infty$ 인 다항식, 위아래가 다항식인 분수, 루트 안이 $x^2$ 으로 시작하는 이차식인 루트식의 기본형입니다. 루트 안이 일차식인 경우와 극한값이 주어진 문제는 아래 글의 문제 해설을 보세요.

학습 순서

다항함수 — 최고차항의 계수 부호와 차수의 홀짝으로 $x\to\infty$ , $x\to-\infty$ 양 끝의 방향을 판정합니다.
분수함수 — 분자와 분모의 차수를 비교해 극한값과 발산 방향을 정하고, 분모를 분모의 최고차항으로 나누어 계산합니다.
무리함수 — $\sqrt{x^2}=|x|$ 에 주의해 근호 안의 이차식에서 $|x|$ 를 꺼내고, 양 끝의 부호를 구분합니다.
근호가 든 $\infty-\infty$ 꼴 — 켤레식을 곱해 유리화한 뒤 앞에서 익힌 방법으로 극한을 구합니다.

자주 하는 실수

$x\to-\infty$ 에서 부호를 놓치는 것. 홀수차 항은 $x$ 가 음수이면 음수입니다. 예를 들어 $x^3\to-\infty$ 이지만 $x^2\to+\infty$ 입니다.
$\sqrt{x^2}=x$ 로 쓰는 것. 정확히는 $\sqrt{x^2}=|x|$ 이고, $x\to-\infty$ 에서는 $|x|=-x$ 입니다.
$\infty-\infty$ 꼴을 그대로 “0”이라고 쓰는 것. 이 꼴은 값이 정해지지 않은 꼴이라 식을 변형해서 판단해야 합니다.

이 단원에서 다루는 것

학습 순서

자주 하는 실수

이 단원의 문제 4개