함수의 극한 — 0/0 꼴의 극한값을 인수분해로 약분하여 구하기

핵심 개념

1. 0/0 꼴은 극한이 없다는 뜻이 아니다

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 에서 $x=a$ 를 대입했더니 분자와 분모가 모두 $0$ 이 되는 경우를 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이라고 한다. 이때는 $\dfrac{0}{0}$ 이 정해진 값이 아니어서 대입으로는 답을 알 수 없을 뿐, 극한이 존재하지 않는다는 뜻은 아니다.

극한은 $x$ 가 $a$ 가 아니면서 $a$ 에 가까워질 때의 값만 본다. 그래서 $x\neq a$ 인 동안은 $x-a\neq 0$ 이므로 분자와 분모의 $(x-a)$ 를 약분해도 된다. 예를 들어 $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 는 다음과 같다.

\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \quad (x\neq 2)

$x$	$\dfrac{x^2-4}{x-2}$
$1.9$	$3.9$
$1.99$	$3.99$
$2$	정의되지 않음
$2.01$	$4.01$
$2.1$	$4.1$

$x$ 가 $2$ 에 가까워질수록 값은 $4$ 에 가까워지므로 $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$ 이다.

y=\dfrac{x^2-4}{x-2}

의 그래프는 직선

y=x+2

에서

x=2

인 점 하나만 뚫린 모양입니다. 구멍을 향해 다가가는 높이는

4

입니다.

쉽게 말하면 — 길 위에 구멍이 하나 뚫려 있으면 그 자리에 서서 값을 읽을 수는 없지만, 구멍 바로 옆까지 걸어가면 길이 어디로 향하는지는 볼 수 있습니다. $\dfrac{0}{0}$ 은 “그 자리의 값을 읽을 수 없다”는 신호일 뿐, 길이 사라졌다는 뜻이 아닙니다.

2. 인수분해로 공통인수를 찾아 약분한다

$x\to a$ 에서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이고 분자와 분모가 다항식이면, 둘 다 $x=a$ 에서 $0$ 이므로 인수정리에 의해 둘 다 $(x-a)$ 를 인수로 갖는다. 이것이 인수분해의 방향을 알려 주는 신호이다.

\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\,g(x)}{(x-a)\,h(x)}=\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)} \quad \bigl(g,\ h\text{는 다항식},\ h(a)\neq 0\bigr)

이차식은 $x^2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q)$ 를 이용해 인수분해한다. 분자와 분모에 같은 인수가 있으면 양쪽 모두 인수분해한 뒤 약분하고, 약분이 끝나면 다시 $x=a$ 를 대입한다.

약분 후 대입했는데 분모가 $0$ 이 아니면 그 값이 극한값이다.
약분 후에도 분모가 $0$ 이고 분자가 $0$ 이 아니면 극한은 발산한다. (분모가 0이 되는 점 근처의 발산 참고)
약분 후에도 $\dfrac{0}{0}$ 이면 같은 인수가 한 번 더 있다는 뜻이므로 한 번 더 약분한다.

3. 삼차식은 인수정리와 곱셈공식으로 인수분해한다

삼차식도 $x=a$ 에서 $0$ 이 되므로 $(x-a)$ 를 인수로 갖는다. 다음 방법으로 인수분해한다.

곱셈공식: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . 예를 들어 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 이다.
조립제법: $x=a$ 를 대입해 $0$ 이 됨을 확인하고 $(x-a)$ 로 나눈 몫을 구한다.
묶어서 인수분해: 항을 두 개씩 짝지어 공통인수로 묶는다.

4. 분수식의 합·차와 번분수는 먼저 하나의 분수로 정리한다

$\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{4}{x^2-4}$ 처럼 분수식끼리 더하거나 뺀 꼴은, 각각은 $x\to2$ 에서 분모가 $0$ 이라 극한이 없지만 통분해서 하나의 분수로 합치면 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 되어 약분된다. 각각의 극한이 존재하지 않을 때는 극한의 차 법칙을 쓸 수 없으므로 반드시 통분부터 한다.

분모에 분수가 들어 있는 번분수도 분모를 먼저 통분해 정리한다.

쉽게 말하면 — 식이 복잡해 보이면 일단 “한 줄짜리 분수”로 정리한 다음 $\dfrac{0}{0}$ 인지 확인합니다. 통분과 번분수 정리는 약분이 가능한 모양으로 만들어 주는 준비 작업입니다.

5. 극한값이 주어지면 분자도 0이어야 한다

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}=L$ ( $L$ 은 유한한 값)이면 분모가 $0$ 에 가까워지므로 분자도 $0$ 에 가까워져야 한다. 분자가 $0$ 이 아닌 값에 가까워지면 극한이 발산하기 때문이다. 분자 $f(x)$ 가 다항식이면 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 이므로 이것은 $f(a)=0$ 이라는 뜻이다.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=L \ \Longrightarrow\ f(a)=0 \quad (f\text{는 다항식})

따라서 분자에 $x=a$ 를 넣어 $0$ 이 되는 식을 먼저 세우고, 인수분해해 약분한 뒤 극한값 조건으로 나머지 식을 세운다. 마지막에 구한 값으로 식을 다시 계산해 조건이 성립하는지 확인한다.

정리: 분수식의 극한에서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴을 만났을 때

$x=a$ 를 대입해 분자·분모가 모두 $0$ 인지 확인한다.

분자·분모를 모두 인수분해해 $(x-a)$ 를 약분한다. (합·차나 번분수는 먼저 한 분수로 정리한다.)

약분한 식에 $x=a$ 를 다시 대입한다. 극한값이 주어진 문제는 분자가 $0$ 이어야 한다는 조건부터 세운다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 3단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

$x=a$ 를 넣어 위아래가 모두 $0$ 인지 봅니다. $\frac{0}{0}$ 이면 아래 2~3번을 합니다.
위아래를 인수분해해서 똑같은 $(x-a)$ 를 지웁니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $a$ 를 넣습니다.

※ $x\to a$ ( $a$ 는 실수)에서 $x=a$ 를 넣으면 $\frac{0}{0}$ 이 되고, 위아래가 모두 다항식이며, 지운 뒤 아래에 $a$ 를 넣은 값이 $0$ 이 아닌 기본형입니다. 극한값이 주어진 문제, 분수의 합·차, 분수 안의 분수는 아래 문제 해설을 보세요.

유제

문제 1 · 기본

$\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$ 의 값은?

① 0
② 1
③ $-5$
④ 5
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ④

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요4단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x$ 자리에 $3$ 을 넣어 봅니다. 위는 $9-3-6=0$ , 아래는 $3-3=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~4번을 하라는 신호입니다.
위의 $x^2-x-6$ 을 $(x-3)(x+2)$ 로 쪼갭니다. (곱해서 $-6$ , 더해서 $-1$ 인 두 수가 $-3$ 과 $2$ 입니다.)
아래의 $(x-3)$ 과 같은 덩어리를 위에서 찾아 둘 다 지웁니다. $x+2$ 만 남습니다.
남은 $x+2$ 의 $x$ 자리에 $3$ 을 넣습니다. $3+2=5$ → 정답 ④

※ 위아래가 모두 $x$ 로 된 다항식이고 1번에서 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 쓰는 방법입니다. 3번에서 지운 뒤에도 아래에 $(x-3)$ 같은 것이 남아 있으면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=3$ 을 대입하면 분자는 $9-3-6=0$ , 분모는 $3-3=0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자를 인수분해하면 $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ 이므로, $x\neq 3$ 에서

\frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2

따라서

\lim_{x \to 3}\frac{x^2-x-6}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+2)=5

x=3

에서 구멍이 뚫려 있지만, 구멍을 향해 가는 높이는

5

입니다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번: 분자·분모가 다항식이고 $x\to a$ 에서 $\dfrac{0}{0}$ 이면 둘 다 $(x-a)$ 를 인수로 가지므로, 인수분해해서 약분한 뒤 다시 대입한다. $x\to 3$ 은 $x\neq 3$ 이라는 뜻이므로 $(x-3)$ 을 약분해도 된다.

쉽게 말하면 — 분자를 $(x-3)(x+2)$ 로 쪼개면 분모의 $(x-3)$ 과 같은 덩어리가 나옵니다. 그 덩어리를 지우고 남은 $x+2$ 에 $3$ 을 넣으면 끝입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

대입했더니 $\dfrac{0}{0}$ 이 나왔을 때 “극한이 없다”고 답하는 것이 가장 흔한 실수이다. $\dfrac{0}{0}$ 은 계산이 막혔다는 신호일 뿐, 길이 끊겼다는 뜻이 아니다. 그래프로 보면 직선 $y=x+2$ 에서 점 하나만 뚫린 모양이어서, 구멍을 향해 가는 높이 $5$ 가 극한값이다.

대입 결과가 $\dfrac{0}{0}$ 이라는 것은 “분자와 분모에 $(x-3)$ 이 숨어 있다”는 힌트이기도 하다. 합이 $-1$ , 곱이 $-6$ 인 두 수 $-3$ , $2$ 를 찾아 $(x-3)(x+2)$ 로 쪼개면 숨은 인수가 바로 드러난다.

다음 문제

문제 2 · 기본

$\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ 의 값은?

① 2
② 4
③ 0
④ $\dfrac{1}{2}$
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x$ 자리에 $2$ 를 넣어 봅니다. 위는 $4-4=0$ , 아래는 $4-6+2=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~5번을 하라는 신호입니다.
위를 쪼갭니다. $x^2-4=(x-2)(x+2)$
아래를 쪼갭니다. $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$ (곱해서 $2$ , 더해서 $-3$ 인 두 수가 $-2$ 와 $-1$ 입니다.)
위아래에 똑같이 있는 $(x-2)$ 를 지웁니다. $\frac{x+2}{x-1}$ 이 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $2$ 를 넣습니다. $\frac{2+2}{2-1}=4$ → 정답 ②

※ 위아래가 모두 $x$ 로 된 식이고 1번에서 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 이렇게 하세요. 5번에서 아래에 넣은 값이 $0$ 이면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=2$ 를 대입하면 분자는 $4-4=0$ , 분모는 $4-6+2=0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자와 분모를 모두 인수분해하면

\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x+2}{x-1} \quad (x\neq 2)

약분한 식에 $x=2$ 를 대입하면 분모는 $2-1=1\neq 0$ 이므로

\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\frac{2+2}{2-1}=4

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번: 분자와 분모가 모두 $x=2$ 에서 $0$ 이므로 둘 다 $(x-2)$ 를 인수로 갖는다. 약분한 뒤에는 반드시 분모가 $0$ 이 아닌지 확인한다. 여기서는 $x-1$ 이 $x=2$ 에서 $1$ 이므로 그대로 대입한다.

쉽게 말하면 — 분자도 분모도 같은 인수 $(x-2)$ 를 숨기고 있습니다. 둘 다 쪼개서 같은 덩어리를 지우고, 남은 식에 다시 $2$ 를 넣으면 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

한쪽만 인수분해하고 멈추면 길이 막힌다. 분자만 $(x-2)(x+2)$ 로 쪼개 놓고 분모는 그대로 두면 약분할 상대를 찾지 못한다. 분자와 분모를 둘 다 인수분해해서 같은 모양을 찾는 것이 핵심이다.

약분한 뒤 다시 대입했을 때 분모가 $0$ 이 되는지 한 번 확인하는 습관도 중요하다. 이 문제는 $x-1=1$ 이라 안전하지만, 분모에 같은 인수가 또 있다면 한 번 더 약분하거나 발산 여부를 따져야 한다.

다음 문제

문제 3 · 기본

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$ 의 값은?

① 0
② 1
③ 2
④ 6
⑤ 3

정답과 해설 보기

정답 ⑤

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요4단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x$ 자리에 $1$ 을 넣어 봅니다. 위는 $1-1=0$ , 아래는 $1-1=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~4번을 하라는 신호입니다.
위를 공식으로 쪼갭니다. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ (공식 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 에 $a=x$ , $b=1$ 을 넣은 것입니다.)
아래의 $(x-1)$ 과 같은 덩어리를 위에서 찾아 둘 다 지웁니다. $x^2+x+1$ 이 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $1$ 을 넣습니다. $1+1+1=3$ → 정답 ⑤

※ 이 문제처럼 위아래가 모두 다항식이고, 쪼개서 지운 뒤 남은 아래에 $x$ 를 넣은 값이 $0$ 이 아닐 때만 이렇게 하세요. 1번에서 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 2~4번을 합니다.

자세한 풀이 보기

$x=1$ 을 대입하면 분자는 $1-1=0$ , 분모는 $0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 곱셈공식 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 에 의해 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 이므로

\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1 \quad (x\neq 1)

따라서

\lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=1^2+1+1=3

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 에서 $a=x$ , $b=1$ 을 넣으면 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 이다. 공식이 기억나지 않으면 $x=1$ 을 대입해 $0$ 이 됨을 확인하고 조립제법으로 $(x-1)$ 로 나눈 몫 $x^2+x+1$ 을 구해도 된다.

쉽게 말하면 — 삼차식이어도 $x=1$ 에서 $0$ 이 되니 $(x-1)$ 이 숨어 있는 건 이차식과 같습니다. 숨은 인수를 꺼내는 도구가 곱셈공식이나 조립제법으로 바뀔 뿐입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

차수가 올라가도 풀이의 뼈대는 변하지 않는다. $\dfrac{0}{0}$ 이면 $(x-a)$ 가 숨어 있고, 그것을 꺼내 약분하면 된다. 삼차식을 보고 겁먹을 필요 없이, “ $x=1$ 에서 $0$ 이 되니까 $(x-1)$ 로 나누어떨어진다”는 인수정리 한 줄이 출발점이다.

약분하고 남은 식 $x^2+x+1$ 은 $x=1$ 에서 $3$ 이므로, 구멍을 향해 가는 높이는 $3$ 이다.

다음 문제

문제 4 · 응용

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}$ 의 값은?

① $-\dfrac{3}{4}$
② $\dfrac{3}{4}$
③ $-1$
④ 0
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ①

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$x$ 자리에 $-2$ 를 넣어 봅니다. 위는 $-8+8+2-2=0$ , 아래는 $4-4=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~5번을 하라는 신호입니다.
위를 앞 두 항, 뒤 두 항으로 묶어 $(x+2)$ 를 꺼냅니다. $x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)$
아래를 쪼갭니다. $x^2-4=(x-2)(x+2)$
위아래에 똑같이 있는 $(x+2)$ 를 지웁니다. $\frac{(x-1)(x+1)}{x-2}$ 가 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $-2$ 를 넣습니다. 위는 $(-3)\times(-1)=3$ , 아래는 $-4$ 이므로 $-\frac{3}{4}$ → 정답 ①

※ 위아래가 모두 $x$ 로 된 식이고 1번에서 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 이렇게 하세요. 5번에서 아래에 넣은 값이 $0$ 이면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=-2$ 를 대입하면 분자는 $-8+8+2-2=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자를 항 두 개씩 묶어 인수분해하면

x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)

분모는 $x^2-4=(x-2)(x+2)$ 이므로, $x\neq -2$ 에서

\frac{(x+2)(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-2}

약분한 식에 $x=-2$ 를 대입하면 분모는 $-2-2=-4\neq 0$ 이므로

\lim_{x \to -2}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}=\frac{(-3)(-1)}{-4}=-\frac{3}{4}

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·3번: $x=-2$ 에서 분자와 분모가 모두 $0$ 이므로 둘 다 $(x+2)$ 를 인수로 갖는다. 이 문제의 삼차식은 항을 둘씩 짝지어 공통인수로 묶으면 인수분해된다.

쉽게 말하면 — 약분해야 할 덩어리는 $(x+2)$ 입니다. 분모의 $(x-2)$ 는 지워지지 않고 남아서, 약분한 뒤에는 $x=-2$ 를 넣었을 때 $-4$ 라는 평범한 숫자가 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

분모의 인수가 두 개( $x-2$ 와 $x+2$ )일 때는 지금 다가가는 점에서 $0$ 이 되는 쪽만 약분 대상이다. $x\to -2$ 이므로 $(x+2)$ 를 지우고, $(x-2)$ 는 그대로 둔다. 약분하지 않은 인수에는 마지막에 $a$ 를 대입하므로 $-2-2=-4$ 가 되어 분모에 남는다.

실수가 가장 많은 곳은 약분 후 부호 계산이다. $(-3)(-1)=3$ , 분모는 $-4$ 이므로 $\dfrac{3}{-4}$ 이고, 부호를 놓쳐 $\dfrac{3}{4}$ 로 쓰는 일이 흔하다. 대입값을 괄호로 써 두면 이런 실수를 줄일 수 있다.

다음 문제

문제 5 · 응용

$\displaystyle\lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{4}{x^2-4}\right)$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답

\dfrac{1}{4}

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기6단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$x=2$ 를 바로 넣으면 두 분수 모두 아래가 $0$ 이 되어 안 됩니다. 먼저 분수 두 개를 하나로 합칩니다.
아래를 쪼갭니다. $x^2-4=(x-2)(x+2)$
첫째 분수의 위아래에 $(x+2)$ 를 곱해서 두 분수의 아래를 같게 맞춥니다. $\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}$
위끼리 뺍니다. $\frac{(x+2)-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$
위아래에 똑같이 있는 $(x-2)$ 를 지웁니다. $\frac{1}{x+2}$ 이 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $2$ 를 넣습니다. $\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$ → 정답 $\frac{1}{4}$

※ 분수의 합·차는 먼저 통분하세요. 통분한 식이 $\frac{0}{0}$ 꼴이면 쪼개서 지우세요. $\frac{0}{0}$ 꼴이 아니면 이 약분 요령을 그대로 쓰지 마세요.

자세한 풀이 보기

$x\to2$ 에서 두 분수는 각각 분자가 $1$ , $4$ 로 $0$ 이 아닌데 분모가 $0$ 에 가까워지므로 극한이 존재하지 않는다. 그러므로 극한의 차 법칙을 쓰지 않고, 먼저 통분해서 하나의 분수로 만든다. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ 이므로

\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}

이제 $x=2$ 를 대입하면 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. $x\neq 2$ 에서 $(x-2)$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{x+2}$ 이므로

\lim_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{4}{x^2-4}\right)=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: 분수식끼리의 합·차는 통분해서 하나의 분수로 만든 뒤 $\dfrac{0}{0}$ 여부를 판단한다. 극한의 합·차 법칙은 각 극한이 모두 존재할 때만 쓸 수 있다. 이 문제에서는 두 분수가 각각 발산하므로 법칙을 쓰면 안 된다.

쉽게 말하면 — 따로따로 보면 둘 다 분모가 $0$ 이라 터져 버리지만, 한 분수로 합치면 터지는 부분이 서로 상쇄되어 약분할 수 있는 모양이 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

두 분수를 따로 보면 “분모가 $0$ 이니까 극한이 없다”로 결론짓기 쉽다. 하지만 둘을 합치면 터지는 부분이 서로 상쇄될 수 있다. 합이나 차로 이어진 분수식에서 각각 분모가 $0$ 이 되면, 따로 판단하지 말고 먼저 통분한다.

통분이 쉬운 이유는 분모 $x^2-4$ 가 $(x-2)(x+2)$ 여서 첫째 분수의 분모 $x-2$ 를 포함하기 때문이다. 최소공통분모를 $x^2-4$ 로 잡으면 분자가 $(x+2)-4=x-2$ 가 되어 분모의 $(x-2)$ 와 정확히 짝을 이룬다.

다음 문제

문제 6 · 응용

상수 $a$ , $b$ 에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2+ax+b}{x-3}=7$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 -11

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

아래 $x-3$ 은 $x=3$ 에서 $0$ 인데 극한값이 숫자이므로, 위에 $x=3$ 을 넣은 값도 $0$ 이어야 합니다. (이유는 정석 풀이에서 확인합니다.)
위가 $x=3$ 에서 $0$ 이면 $(x-3)$ 가 들어 있으므로 $x^2+ax+b=(x-3)(x+c)$ 라고 놓습니다.
아래의 $(x-3)$ 을 지우면 $x+c$ 가 남고, 여기에 $x=3$ 을 넣으면 $3+c$ 입니다. 이 값이 $7$ 이므로 $c=4$
위를 펼칩니다. $(x-3)(x+4)=x^2+x-12$ 이므로 $a=1$ , $b=-12$
더합니다. $a+b=1+(-12)=-11$

※ 아래가 $x-3$ 이고 위가 $x^2$ 으로 시작하는 이차식일 때의 방법입니다. 극한값이 숫자로 주어졌을 때만 쓰세요.

자세한 풀이 보기

$x\to 3$ 일 때 분모 $x-3\to 0$ 이고 극한값이 $7$ 로 존재하므로, 분자도 $0$ 에 가까워져야 한다. 분자에 $x=3$ 을 대입한 값이 $0$ 이므로

3^2+3a+b=0 \ \Longrightarrow\ b=-3a-9

이를 분자에 대입해 인수분해한다.

x^2+ax-3a-9=(x-3)(x+a+3)

( $(x-3)(x+a+3)=x^2+(a+3)x-3x-3a-9=x^2+ax-3a-9$ 이다.) 그러므로 $x\neq 3$ 에서

\frac{x^2+ax+b}{x-3}=x+a+3

이고 극한값이 $7$ 이므로 $3+a+3=7$ , 즉 $a=1$ 이다. $b=-3\cdot1-9=-12$ 이므로

a+b=1+(-12)=-11

검산: $a=1$ , $b=-12$ 이면 $\dfrac{x^2+x-12}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+4)}{x-3}=x+4\to 7$ 로 조건과 일치한다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번: 분자 $f(x)$ 가 다항식이고 $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}=L$ (유한)이면 $f(a)=0$ 이다. 미지수가 두 개( $a$ , $b$ )이므로 식도 두 개 필요하다. 첫째 식은 “분자가 $x=3$ 에서 $0$ ”이고, 둘째 식은 “약분한 뒤의 극한값이 $7$ ”이다.

쉽게 말하면 — 분모가 $0$ 으로 가는데 극한값이 있다는 말은, 분자도 $0$ 을 향해 가고 있다는 뜻입니다. 이 사실이 첫 번째 식을 줍니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

두 미지수를 한 번에 구하려 하지 말고 “분자가 $0$ ” → “인수분해·약분” → “값 조건” 순서로 두 단계로 나누면 풀이가 막히지 않는다. 첫 단계에서 $b$ 를 $a$ 로 표현해 두면, 분자가 $(x-3)$ 을 인수로 갖는다는 사실이 자동으로 따라온다.

분자에 $x=3$ 을 넣어 $0$ 이 되는 식을 세우는 이유를 이해해 두면 같은 유형이 어떤 모양으로 나와도 풀 수 있다. 분모가 $0$ 으로 가는데 분자가 $0$ 이 아닌 값으로 가면 극한은 발산하므로, 극한값이 존재한다는 말 자체가 분자의 조건을 알려 주는 정보이다.

다음 문제

문제 7 · 응용

$\displaystyle\lim_{x \to -3}\dfrac{x+3}{\dfrac{3}{x}+1}$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 -3

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$x$ 자리에 $-3$ 을 넣어 봅니다. 위는 $-3+3=0$ , 아래는 $\frac{3}{-3}+1=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다.
아래의 작은 식을 한 줄로 합칩니다. $\frac{3}{x}+1=\frac{3+x}{x}$
나눗셈은 뒤집어서 곱합니다. $(x+3)\div\frac{x+3}{x}=(x+3)\times\frac{x}{x+3}$
위아래에 똑같이 있는 $(x+3)$ 을 지웁니다. $x$ 가 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $-3$ 을 넣습니다. $-3$ → 정답 $-3$

※ 분수 안에 분수가 있으면 먼저 아래를 한 줄로 합친 뒤 지우세요. 1번에서 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 쓰는 방법입니다.

자세한 풀이 보기

$x=-3$ 을 대입하면 분자는 $-3+3=0$ , 분모는 $\dfrac{3}{-3}+1=0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분모의 분수를 통분하면

\frac{3}{x}+1=\frac{3+x}{x}

이므로 $x\neq -3$ , $x\neq 0$ 에서

\frac{x+3}{\dfrac{3}{x}+1}=\frac{x+3}{\dfrac{x+3}{x}}=(x+3)\cdot\frac{x}{x+3}=x

따라서

\lim_{x \to -3}\frac{x+3}{\dfrac{3}{x}+1}=-3

■ 관련 개념 및 공식

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핵심 개념 4번: 분모에 분수가 들어 있는 번분수는 분모를 먼저 통분해 한 분수로 정리한다. $B\ne0$ , $C\ne0$ 일 때 $\dfrac{A}{\frac{B}{C}}=A\cdot\dfrac{C}{B}$ 이므로 분모의 분수를 뒤집어 곱하면 된다.

쉽게 말하면 — 분모 안에 또 분수가 있으면 일단 분모부터 한 줄로 정리합니다. 정리하고 나면 분자와 분모에 $(x+3)$ 이라는 같은 덩어리가 보여서 약분됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

분모의 $\dfrac{3}{x}+1$ 은 $x=-3$ 을 넣으면 $0$ 이 되는 식이다. 그러니 “분모에 $(x+3)$ 이 숨어 있다”는 직관을 가질 수 있어야 한다. 통분하면 $\dfrac{3+x}{x}$ 로 그 인수가 드러난다.

원래 식에 $\dfrac{3}{x}$ 가 있으므로 $x\neq 0$ 이어야 한다. 다만 $x\to -3$ 이므로 $x=0$ 근처는 고려할 필요가 없고, 마지막에 남은 식 $x$ 에 $-3$ 을 대입하면 끝이다.

#함수의 극한#부정형#0/0 꼴#인수분해#약분#미정계수#미적분Ⅰ