함수의 극한 — 분모가 0이 되는 점 근처: 발산과 한쪽 극한의 부호

$x$가 $3$이 아니면서 $3$에 한없이 가까워지면, $x-3$의 값은 $0$이 아니면서 $0$에 한없이 가까워진다.

이때 $(x-3)^2$은 $x$가 $3$보다 작은 쪽에서 오든 큰 쪽에서 오든 항상 양수이면서 $0$에 한없이 가까워진다.

그러므로 $(x-3)^2$의 역수인 $f(x) = \dfrac{1}{(x-3)^2}$의 값은 한없이 커진다. 즉 $f(x)$는 $x=3$에서 양의 무한대로 발산하므로,

이다.

$x$가 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때 $(x-a)^2 \to 0^+$(항상 양수인 채로 $0$에 접근)이므로, 상수 $k \neq 0$에 대해 다음이 성립한다.

이 문제는 $k=1>0$인 경우이므로 양의 무한대로 발산한다.

쉽게 말하면 — 0으로 나누는 나눗셈을 직접 하는 게 아니라, “0에 아주아주 가까운 양수”로 나눈다고 생각하면 됩니다. 아주 작은 양수로 나눌수록 몫은 아주 커지므로, 분모가 0에 가까워질수록 전체 값은 한없이 커집니다.

(i) 분모가 $0$이 되는 점 찾기

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$이므로

분모는 $x=2$, $x=-1$에서 $0$이 된다. 분자 $x+4$는 두 점에서 각각 $6$, $3$으로 $0$이 아니므로 대입은 불가능하고, 한쪽 극한은 $\infty$ 또는 $-\infty$이다. 부호만 가려내면 된다.

(ii) $x=-1$ 근처 : 인수 $x+1$을 떼어 내기

$x\to -1$일 때 앞부분 $\dfrac{x+4}{x-2}$는 $\dfrac{3}{-3}=-1$에 가까워지므로 음수이다.

• $x\to -1^{-}$ : $x+1$은 음수이므로 $\dfrac{1}{x+1}$은 음수로 절댓값이 커진다. (음수)$\times$(음수) = 양수이므로 $\infty$
• $x\to -1^{+}$ : $x+1$은 양수이므로 $\dfrac{1}{x+1}$은 양수로 커진다. (음수)$\times$(양수) = 음수이므로 $-\infty$

(iii) $x=2$ 근처 : 인수 $x-2$를 떼어 내기

앞부분은 $\dfrac{6}{3}=2$에 가까워지므로 양수이다.

• $x\to 2^{+}$ : $\infty$
• $x\to 2^{-}$ : $-\infty$

(iv) 선택지 판정

• ① $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty$이므로 거짓
• ② $\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=-\infty$이므로 거짓
• ③ $\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=\infty$이므로 참
• ④ $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\infty$이므로 거짓
• ⑤ $\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=\infty$이므로 거짓

$P(a)\neq 0$, $Q(x)=(x-a)R(x)$, $R(a)\neq 0$일 때

이고, $\dfrac{P(a)}{R(a)}<0$이면 두 방향이 서로 바뀐다. 분모가 이차식이어서 $0$이 되는 점이 둘이면, 점마다 따로 인수를 떼어 부호를 판별한다. 한 점에서의 결과가 다른 점에 영향을 주지 않는다.

쉽게 말하면 — 분모에 위험한 점이 둘이면 “위험한 점 하나당 부호 확인 한 번”입니다. 한 점에서 쓴 부호를 다른 점에 그대로 가져가면 안 됩니다.

(i) 분모 확인하기

$x\to 4^{-}$는 $x<4$인 쪽에서 $4$에 가까워진다는 뜻이다. $x=4$에서 분모는 $4-2=2\neq 0$이므로 $f(x)$는 $x=4$ 근처에서 정의되어 있고 분모의 극한이 $0$이 아니다.

(ii) 극한값 구하기

분모가 $0$이 아니므로 $x=4$를 그대로 대입하면 된다.

유리함수 $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$에서 $Q(a)\neq 0$이면

이다. 분자와 분모의 극한이 각각 $P(a)$, $Q(a)$로 존재하고 분모의 극한이 $0$이 아닐 때에는 $\displaystyle\lim \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\lim P(x)}{\lim Q(x)}$가 성립하기 때문이다.

쉽게 말하면 — 분모만 $0$이 아니면 “극한은 그냥 대입한 값”입니다. 왼쪽인지 오른쪽인지는 이 계산에 아무 영향을 주지 않습니다.

$x$가 $-1$이 아니면서 $-1$에 한없이 가까워지면, $(x+1)^2$은 항상 양수이면서 $0$에 한없이 가까워진다.

분자가 음수인 $-3$이므로, $\dfrac{-3}{(x+1)^2}$은 “음수를 아주 작은 양수로 나누는” 상황이 되어 값이 한없이 작아진다. 즉,

이다. 여기에 상수 $5$를 더해도, 한없이 작아지는 흐름 자체는 바뀌지 않는다 — 아무리 큰(음의 방향으로) 값에 유한한 $5$를 더해봐야 여전히 한없이 작아지는 상태다. 따라서

이다.

무한대로 발산하는 극한에서는 다음과 같이 판단할 수 있다. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$이고 $c$가 $0$이 아닌 상수일 때,

즉 (부호가 있는) 상수를 곱하면 발산 방향이 그 부호를 따라 정해지고, 유한한 상수를 더하고 빼는 것은 발산 자체에는 영향을 주지 못한다.

쉽게 말하면 — $-3$을 앞에 곱하는 건 “얼마나 크게 발산하는지”의 부호를 뒤집는 스위치이고, 뒤에 더해진 $5$는 무한히 커지는(혹은 작아지는) 값 옆에 붙은 먼지 같은 존재입니다. 발산 앞에서 유한한 수는 있으나 마나 합니다.

(i) 분모 인수분해

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$이므로 $f(x)=\dfrac{x+k}{(x-3)(x+2)}$이다.

(ii) 첫째 조건 : $x\to 3^{+}$

$x\to 3^{+}$이면 $\dfrac{1}{x-3}\to\infty$ (양수)이다. 앞부분은 $\dfrac{3+k}{5}$에 가까워지므로, 극한이 $\infty$이려면 이 값이 양수여야 한다.

(iii) 둘째 조건 : $x\to -2^{-}$

$x\to -2^{-}$이면 $x+2$는 음수이므로 $\dfrac{1}{x+2}\to-\infty$이다. 앞부분은 $\dfrac{-2+k}{-5}=\dfrac{2-k}{5}$에 가까워지므로, 극한이 $-\infty$이려면 이 값이 양수여야 한다.

(iv) 공통 범위와 경계 확인

두 조건을 합치면 $-3<k<2$이고, 정수 $k$는 $-2,\ -1,\ 0,\ 1$이다.

경계값은 따로 확인한다.

• $k=-3$ : $f(x)=\dfrac{x-3}{(x-3)(x+2)}$이므로 $x\neq 3$에서 $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$이고 $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\dfrac{1}{5}$이다. 첫째 조건을 만족시키지 않는다.
• $k=2$ : $x\neq -2$에서 $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$이고 $\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=-\dfrac{1}{5}$이다. 둘째 조건을 만족시키지 않는다.

따라서 구하는 합은

분모가 $0$이 되는 점마다 조건이 따로 주어지면, 점마다 인수를 떼어 “남은 부분의 부호” 조건을 세운다. 각 조건은 $k$에 대한 일차부등식이 되고, 모든 조건을 동시에 만족시키는 범위가 답이다.

이 문제처럼 분모에 그 인수가 일차로 한 번만 들어 있을 때, 부등호에 등호가 들어가지 않는 이유는 남은 부분이 $0$이면 분자와 분모가 같은 인수를 공유하여 약분되고, 그 점에서 극한이 발산하지 않고 유한한 값으로 바뀌기 때문이다.

쉽게 말하면 — 조건 하나는 “그 점에서 분자의 부호가 어때야 하는가”라는 한 줄짜리 부등식입니다. 분자가 정확히 $0$이 되는 순간에는 위험한 점이 약분으로 사라지니 경계값은 빼야 합니다.

(i) 분모가 $0$이 되는 점 확인하기

분모 $x+c$가 $0$이 되는 점은 $x=-c$ 하나뿐이다. 이 점이 $2$, $0$, $3$ 중 하나라면, 그 점으로 다가갈 때 분자가 $0$이 아니면 극한이 발산하고, 분자도 $0$이면 $ax+b=a(x+c)$이므로 약분되어 $f(x)=a$인 상수함수가 된다. 앞의 경우는 극한값이 $8$, $-4$, $5$로 존재한다는 조건에 어긋나고, 뒤의 경우는 세 극한값이 모두 $a$로 같아져서 서로 다른 세 값과 어긋난다. 따라서 세 점 모두에서 분모는 $0$이 아니다.

(ii) 한쪽 극한을 함숫값으로 바꾸기

세 점에서 분모가 $0$이 아니므로 한쪽 극한은 모두 대입한 값이다.

분모를 없애면 다음과 같다.

(iii) $a$, $b$, $c$ 구하기

$b=-4c$를 첫째 식과 셋째 식에 대입한다.

두 식에서 $8+6c=5+3c$이므로

(iv) 답 구하기

검산: $f(x)=\dfrac{2x+4}{x-1}$이면 $f(2)=\dfrac{8}{1}=8$, $f(0)=\dfrac{4}{-1}=-4$, $f(3)=\dfrac{10}{2}=5$이다. 분모가 $0$이 되는 점은 $x=1$로 $2$, $0$, $3$ 중 어느 것도 아니므로 (i)의 가정과 맞다.

$f(x)=\dfrac{ax+b}{x+c}$는 분모가 $0$이 되는 점 $x=-c$가 아닌 점에서는 분모의 극한이 $0$이 아니므로 몫의 극한 법칙으로 대입할 수 있다. 그런 점 $x=p$에서는

이므로, 한쪽 극한 조건은 곧 “그래프가 점 $(p,\,f(p))$를 지난다”는 조건이다. 점의 좌표를 $\dfrac{ax+b}{x+c}=y$에 넣고 분모를 없애면 $a$, $b$, $c$에 대한 일차식이 나온다.

쉽게 말하면 — 극한이 곧 높이이므로 “극한 조건”은 “지나는 점 조건”으로 바꿔 읽을 수 있습니다. 모르는 값이 세 개이니 점 세 개로 식 세 개가 생기고, 이 문제에서는 풀어 보면 곡선이 하나로 정해집니다.