함수의 극한 — 유리수 조건과 무리수 조건으로 정의된 함수에서 극한값이 존재하는 점 찾기

$a$에 아무리 가까운 범위에도 유리수와 무리수가 모두 들어 있으므로, $x\to a$일 때 $x$는 유리수인 채로도, 무리수인 채로도 $a$에 가까워질 수 있다.

(i) 유리수인 채로 $a$에 가까워질 때

$f(x)=2x-1$이므로

(ii) 무리수인 채로 $a$에 가까워질 때

$f(x)=-x+5$이므로

(iii) 극한값이 존재할 조건

두 값이 서로 같아야 하므로

이때 극한값은 $2\cdot 2-1=3$이다. 따라서 구하는 $a$의 값은 $2$이다.

핵심 개념 1번·2번: 유리수 길과 무리수 길의 도착 높이를 각각 구해 같다고 놓는다.

$p(x)$, $q(x)$가 다항함수이고

일 때,

이며, 극한값은 $p(a)$이다. 각 갈래의 도착 높이는 다항함수의 극한 $\displaystyle\lim_{x\to a}p(x)=p(a)$에 따라 $a$를 대입해 구한다.

쉽게 말하면 — 유리수 길의 도착 높이와 무리수 길의 도착 높이를 각각 구해서 같다고 놓으면 끝입니다. 두 길이 같은 높이로 향하는 곳에서만 극한값이 생깁니다.

(i) 극한값이 존재할 조건 세우기

$x\to\alpha$일 때 유리수인 채로 가까워지면 $f(x)=x^{2}$이므로 $\alpha^{2}$에, 무리수인 채로 가까워지면 $f(x)=4x-k$이므로 $4\alpha-k$에 가까워진다. 극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

(ii) 실근이 없을 조건

극한값이 존재하는 $\alpha$가 하나도 없으려면 이차방정식 $x^{2}-4x+k=0$이 실근을 갖지 않아야 한다. 판별식을 $D$라 하면

(iii) 정수 $k$의 개수

$1\le k\le 10$이므로 $k=5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10$이고 모두 $6$개이다.

핵심 개념 3번: 극한값이 존재하는 점의 개수는 $p(x)=q(x)$의 서로 다른 실근의 개수이고, 이차방정식이면 판별식으로 센다(중근 포함).

유리수일 때 $p(x)$, 무리수일 때 $q(x)$인 다항함수에서 극한값이 존재하는 $\alpha$는 방정식 $p(x)=q(x)$의 실근과 같다. 이차방정식이면 실근의 개수는 판별식이 정한다.

극한값이 존재하는 점이 하나도 없는 것은 $D<0$일 때뿐이다.

쉽게 말하면 — 유리수 길과 무리수 길이 한 번도 만나지 않아야 “극한값이 있는 곳이 없다”고 할 수 있습니다. 두 그래프가 만나는지를 판별식으로 확인하는 문제입니다.

$p(x)=x^3+x^2-3x+2$, $q(x)=x^2$이라 하자. $x\to a$일 때 $x$가 유리수인 채로 가까워지면 $f(x)$는 $p(a)$에, 무리수인 채로 가까워지면 $q(a)$에 가까워지므로, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$가 존재할 조건은 $p(a)=q(a)$이다.

(i) 극한값이 존재하는 점 찾기

이므로 $p(x)=q(x)$를 만족하는 실수는 $x=1$, $x=-2$뿐이다. 극한값이 존재하는 점은 이 두 점이다.

(ii) 진술 하나씩 확인하기

• ① $a=1$에서 극한값은 $1$이다. (옳다)
• ② $a=-2$에서 극한값은 $4$이다. (옳다)
• ③ $a=2$에서는 $p(2)=8\ne q(2)=4$이므로 극한값이 존재하지 않는다. (옳다)
• ④ $a=0$에서는 $p(0)=2\ne q(0)=0$이므로 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 극한값이 $2$라는 진술은 옳지 않다.
• ⑤ $a=-1$에서는 $p(-1)=5\ne q(-1)=1$이므로 극한값이 존재하지 않는다. (옳다)

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

핵심 개념 2번·4번: 먼저 $p(x)=q(x)$의 근으로 명단을 만들고, 진술의 $a$와 값을 명단과 대조한다. 함숫값 $f(a)$는 판정에 쓰지 않는다.

삼차식 $p(x)$, 이차식 $q(x)$에 대하여

일 때,

이며 극한값은 $p(a)$이다. 극한값이 존재하는 $a$는 삼차방정식 $p(x)-q(x)=0$의 실근이고, 위의 풀이처럼 $(x-1)^2(x+2)$로 인수분해되어 중근이 있어도 그 근에서 극한값은 존재한다.

쉽게 말하면 — 두 식의 값이 같아지는 점이 “극한값이 생기는 점”이고, 그 점들은 $p(x)-q(x)=0$을 풀면 한 번에 나옵니다.

(i) 극한값이 존재할 조건 세우기

$x\to\alpha$일 때 $x$가 유리수인 채로 향하면 $f(x)=x^2-2x$이므로 $\alpha^2-2\alpha$로, 무리수인 채로 향하면 $f(x)=ax+b$이므로 $a\alpha+b$로 가까워진다. 극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

(ii) 근과 계수의 관계 이용하기

극한값이 존재하는 $\alpha$가 $1$과 $5$뿐이므로, 이차방정식 $x^2-(a+2)x-b=0$의 두 근이 정확히 $1$과 $5$이다. 근과 계수의 관계에 의해

이므로 $a=4$, $b=-5$이다.

(iii) 답 구하기

검산하면 $x^2-2x-(4x-5)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$이므로 두 식이 같아지는 $x$는 $1$과 $5$뿐이다. 이때 극한값은 $\alpha=1$에서 $-1$, $\alpha=5$에서 $15$이다.

핵심 개념 3번·4번: 극한값이 존재하는 점이 정확히 두 개라는 조건은 이차방정식의 두 근에 대한 조건이므로 근과 계수의 관계로 상수를 정한다.

극한값이 존재하는 위치: $p(x)$, $q(x)$가 다항함수이고 $x$가 유리수일 때 $f(x)=p(x)$, 무리수일 때 $f(x)=q(x)$이면

즉 방정식 $p(x)=q(x)$의 실근 전체이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계: $x^2+Bx+C=0$의 두 근이 $m$, $n$이면

쉽게 말하면 — “극한값이 있는 곳이 $1$과 $5$뿐”이라는 말은 “두 식이 같아지는 곳이 $1$과 $5$뿐”이라는 말과 같고, 이것은 “방정식의 해가 $1$과 $5$”라는 말입니다.

(i) 극한값이 존재할 조건 세우기

$x\to\alpha$일 때 유리수인 채로 가까워지면 $\alpha^{3}$에, 무리수인 채로 가까워지면 $a\alpha^{2}+b\alpha+c$에 가까워진다. 극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로 $\alpha$는 삼차방정식

의 실근이다.

(ii) 세 근으로 $a$ 구하기

이 삼차방정식은 최고차항의 계수가 $1$이고 실근이 정확히 $-1,\ 1,\ 3$이므로 이 세 수가 서로 다른 세 근이다. 근과 계수의 관계에서

(iii) 극한값의 합 구하기

극한값이 존재하는 점에서의 극한값은 $\alpha^{3}$이므로

(iv) 답 구하기

핵심 개념 3번·4번: 극한값이 존재하는 점이 세 군데뿐이라는 조건은 삼차방정식의 세 근에 대한 조건이므로 근과 계수의 관계로 상수를 정하고, 극한값은 $p(\alpha)$로 구한다.

삼차식 $p(x)$, 이차식 $q(x)$에 대하여 극한값이 존재하는 $\alpha$는 $p(x)-q(x)=0$의 실근이고, 극한값은 $p(\alpha)$($=q(\alpha)$)이다. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차방정식의 세 근이 $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3$이면

쉽게 말하면 — “극한값이 있는 곳이 세 군데뿐”이라는 말은 두 그래프가 정확히 세 점에서 만난다는 말이고, 삼차 곡선과 포물선의 차는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차식이라서, 세 점의 $x$좌표만 알면 그 식이 통째로 정해집니다.

(i) 극한값이 존재할 조건 세우기

$x\to\alpha$일 때 유리수인 채로 가까워지면 $\alpha^3$에, 무리수인 채로 가까워지면 $3\alpha^2+k$에 가까워진다. 극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

즉 극한값이 존재하는 $\alpha$는 삼차방정식 $x^3-3x^2-k=0$의 실근이다.

(ii) 서로 다른 실근이 2개일 조건

삼차방정식의 서로 다른 실근이 정확히 2개이면 하나가 중근이다. 중근을 $\alpha$, 나머지 한 근을 $\beta$($\alpha\neq\beta$)라 하면

양변의 계수를 비교하면

(iii) 음수 조건으로 $k$ 정하기

$\alpha^2+2\alpha\beta=\alpha(\alpha+2\beta)=0$에서 $\alpha=0$ 또는 $\alpha=-2\beta$이다.

• $\alpha=0$이면 $\beta=3$, $k=0$이다. 이때 극한값이 존재하는 점은 $0$, $3$이어서 음수가 없으므로 조건에 맞지 않는다.
• $\alpha=-2\beta$이면 $-4\beta+\beta=3$에서 $\beta=-1$, $\alpha=2$이다. $k=\alpha^2\beta=-4$이고 극한값이 존재하는 점은 $2$, $-1$로 음수 $-1$을 포함한다.

따라서 $k=-4$이고 $f(x)$는 $x$가 무리수일 때 $3x^2-4$이다.

(iv) 진술 하나씩 확인하기

$p(x)=x^3$, $q(x)=3x^2-4$일 때 $p(x)-q(x)=(x+1)(x-2)^2$이다.

• ① $k=-4$이다. (옳다)
• ② $p(2)=q(2)=8$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=8$이다. (옳다)
• ③ $p(-1)=q(-1)=-1$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to -1}f(x)=-1$이다. (옳다)
• ④ $p(3)=27\ne q(3)=23$이므로 극한값이 존재하지 않는다. (옳다)
• ⑤ $p(\sqrt{3})=3\sqrt{3}\ne q(\sqrt{3})=5$이므로 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle\lim_{x\to\sqrt{3}}f(x)=5$는 옳지 않다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

핵심 개념 3번·4번: 서로 다른 실근이 두 개인 삼차방정식은 중근을 가지므로 $(x-\alpha)^2(x-\beta)$로 놓고 계수를 비교한다.

극한값이 존재하는 점: 삼차식 $p(x)$, 이차식 $q(x)$에 대하여 $x$가 유리수일 때 $f(x)=p(x)$, 무리수일 때 $f(x)=q(x)$이면

이다. 즉 삼차방정식 $p(x)-q(x)=0$의 실근 전체이다.

삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건: 중근을 $\alpha$, 다른 한 근을 $\beta$라 하면

꼴로 인수분해되며, 양변의 계수를 비교해 $\alpha$, $\beta$와 상수를 구한다.

쉽게 말하면 — “극한값이 있는 점이 정확히 2개”라는 말은 “두 식을 같게 놓은 삼차방정식의 서로 다른 해가 2개”라는 말이고, 삼차방정식에서 해가 2개이려면 하나는 겹쳐서 나오는 중근이어야 합니다.