함수의 극한 — 극한값의 존재 판정 종합: 한 보기마다 같은 순서로 판정하기

핵심 개념

1. 보기 하나는 극한 하나이고, 판정 순서는 같다

보기형 문제에서는 보기마다 극한이 하나씩 들어 있고, 한 보기의 결과는 다른 보기에 영향을 주지 않는다. 보기의 식이 다항식, 분수식, 무리식, 절댓값을 포함한 식이고 $a$ 의 양쪽 근방에서 정의되어 있으면 각 극한을 다음 순서로 판정한다. 식이 갈리는 조각함수는 경계에서 좌우를 따로 구해 비교하며, 5번에서 다룬다. 극한값이 존재한다는 것은 앞 글에서 정리한 대로 좌극한과 우극한이 같은 실수라는 뜻이다.

$x=a$ 를 대입한다. 분모가 $0$ 이 아니면 분자와 분모를 각각 대입한 값으로 정해지는 대입값이 극한값이다.
분모와 분자가 모두 $0$ 이면 $(x-a)$ 를 약분한다. 다항식이면 인수분해, 근호가 있으면 유리화, 분수의 차이면 통분을 쓴다.
절댓값 $|x-a|$ 가 있으면 $x>a$ 와 $x<a$ 로 나누어 벗기고 좌극한과 우극한을 따로 구한다.
정리한 뒤에도 분모에 $0$ 이 남고 분자가 $0$ 이 아니면 발산하므로 극한값이 존재하지 않는다.

쉽게 말하면 — $\dfrac{0}{0}$ 은 “약분하라”, 절댓값은 “왼쪽과 오른쪽을 나눠서 보라”, 분모만 $0$ 은 “터진다”는 신호입니다. 신호에 맞는 도구를 쓰면 보기 하나는 몇 줄로 끝납니다.

2. 약분하고 남은 0의 개수를 비교한다

분수식을 약분하고 나서 분자와 분모가 각각 $(x-a)$ 를 몇 개 품고 있는지 센다. 이때 $|x-a|$ 도 $0$ 으로 가는 인수 한 개로 센다. 분자와 분모의 나머지 인수는 $x=a$ 에서 $0$ 이 아니라고 하자.

남은 $0$ 의 개수	극한
분모가 더 많다	극한값 없음 (발산)
같고, $\dfrac{\lvert x-a\rvert}{x-a}$ 꼴이 남는다	극한값 없음 (좌우가 반대)
같고, 부호가 남지 않는다	약분한 식의 대입값
분자가 더 많다	$0$

절댓값의 위치(분자인지 분모인지)가 갈림길이 아니라, 약분한 뒤 $0$ 의 개수가 갈림길이다. $\dfrac{x^2-4}{|x-2|}$ 는 분자와 분모에 $0$ 이 하나씩이라 부호만 남아 좌우가 $\pm4$ 로 갈리고, $\dfrac{(x-1)^2}{|x-1|}$ 은 분자에 $0$ 이 하나 더 많아 $0$ 으로 수렴한다.

쉽게 말하면 — 분자의 $0$ 과 분모의 $0$ 이 힘겨루기를 합니다. 분모가 이기면 터지고, 분자가 이기면 $0$ 이 되고, 비기면 값이 정해지되 절댓값이 부호를 흔드는지만 확인하면 됩니다.

3. 극한값이 없는 모양은 “좌우가 같은 실수인가” 한 줄로 가린다

극한값이 존재하지 않는 대표적인 모양은 세 가지이다.

좌극한과 우극한이 서로 다른 실수이다.
양쪽 모두 $\infty$ (또는 양쪽 모두 $-\infty$ )로 향한다.
한쪽은 $\infty$ , 다른 쪽은 $-\infty$ 로 향한다.

이 셋이 전부는 아니다. 한쪽은 실수이고 다른 쪽만 무한대로 향하는 경우도 극한값이 없다. 그래서 외워야 할 기준은 목록이 아니라 한 줄이다. 좌극한과 우극한이 모두 실수이고 서로 같은가.

합과 차의 극한은 두 극한이 모두 존재할 때만 각각 나누어 구할 수 있다. 각 항이 발산하는 분수의 차는 나누지 말고 통분한 뒤 약분한다. 통분하면 발산하던 $0$ 이 약분되어 극한값이 존재할 수 있다.

왼쪽부터 차례로, 좌우의 높이가 서로 다른 실수

L_1

L_2

로 향하는 경우, 양쪽 모두

\infty

로 커지는 경우, 한쪽은

-\infty

로 다른 쪽은

\infty

로 향하는 경우입니다. 세 경우 모두 극한값이 존재하지 않습니다.

쉽게 말하면 — 왼쪽 길의 도착 높이와 오른쪽 길의 도착 높이가 같은 실수일 때만 극한값이 있습니다. 어느 쪽이든 하늘 끝으로 올라가 버리면 도착한 것이 아닙니다.

4. 조건이 주어지면 보기보다 함수를 먼저 정한다

보기가 다항함수 $f(x)$ 에 관한 것이고 $f(x)$ 의 계수가 조건 극한으로 주어지면, 보기를 보기 전에 $f(x)$ 부터 정한다. 분모가 $0$ 으로 가는데 극한값이 실수이면 분자도 $0$ 으로 가야 한다.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L\ (L\text{은 실수}),\ \ \lim_{x\to a}g(x)=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=0

분자가 다항식이고 $x=a$ 에서 $0$ 이 되면 $(x-a)$ 가 인수이므로 약분하고 남은 식으로 계수를 정한다. 함수가 정해지면 보기는 모두 2번의 $0$ 의 개수 비교로 판정된다.

쉽게 말하면 — 조건은 “함수의 정체”를 알려 주는 단서입니다. 정체를 먼저 밝히면 보기마다 새로 고민하지 않아도 됩니다.

5. 양쪽이 분수식인 조각은 구멍 뚫린 식으로 바꿔 비교한다

경계점 $a$ 에서 분모가 $0$ 이 되는 조각 $\dfrac{p(x)}{x-a}$ 는 분자 $p(x)$ 가 다항식이고 $p(a)=0$ 이면 $p(x)=(x-a)q(x)$ 로 쓸 수 있고, $x\ne a$ 에서 $q(x)$ 와 같다. 그래서 이 조각은 $x=a$ 한 점만 빠진 $y=q(x)$ 이고, 향하는 높이는 $q(a)$ 이다. $p(a)\ne0$ 이면 이 조각은 발산한다. 이 설명은 분자가 다항식일 때의 이야기이다.

조각함수에서는 이 높이를 좌우 조각마다 구해 비교한다. 상수가 들어 있으면 두 조건을 순서대로 쓴다.

각 조각의 분자가 $x=a$ 에서 $0$ 이다.
약분한 두 높이가 같다.

양쪽 조각이 모두 약분되면 각각 구멍 뚫린 직선(또는 곡선)이 되고, 두 구멍이 같은 높이

L

에 놓이면

x=a

에서 극한값이 존재합니다. 구멍 자리의 함숫값은 극한값과 상관이 없습니다.

쉽게 말하면 — 약분한 직선(또는 곡선)에서 $x=a$ 자리만 구멍이 납니다. 극한은 그 구멍을 향해 걸어갈 때의 높이만 보므로, 두 조각의 구멍이 같은 높이에 있는지만 확인하면 됩니다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 4단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

보기에 분수의 합·차가 있으면 먼저 하나의 분수로 정리합니다. 그다음 $x$ 자리에 극한에서 $x$ 가 가까워지는 실수 $a$ 를 넣어 봅니다. 분자와 분모에 모두 넣을 수 있고 분모가 $0$ 이 아니면 넣은 값이 극한값입니다.
절댓값 $|x-a|$ 가 있으면 왼쪽( $x<a$ )에서는 $|x-a|$ 를 $-(x-a)$ 로, 오른쪽( $x>a$ )에서는 $x-a$ 로 바꿔 식을 둘로 나눈 뒤, 각 식에 아래 3번을 적용합니다.
위아래가 둘 다 $0$ 이면 인수분해해서 약분한 뒤 다시 넣습니다. 위가 $0$ 이 아니고 아래만 $0$ 이면 극한값이 없습니다.
절댓값이 있었다면 왼쪽 값과 오른쪽 값이 같은 실수일 때만 극한값이 있습니다. 다르거나 한쪽이라도 실수가 아니면 없습니다.

※ $x\to a$ ( $a$ 는 실수)이고, 근호(루트)가 없고 분모에 분수가 다시 들어 있지 않으며, $a$ 의 왼쪽과 오른쪽 모두에서 보기의 식이 실수로 정의되는 분수식을 판정하는 기본 순서입니다. 절댓값은 $|x-a|$ 꼴(안이 $x-a$ 하나)만 다룹니다. 그 밖의 절댓값 식, 루트가 든 식, 분수 안의 분수, 한쪽에서 정의되지 않는 식, 조각함수와, 조건이 주어져 함수를 먼저 정해야 하는 문제는 아래 문제 해설을 보세요.

유제

문제 1 · 기본

다음 <보기> 중 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to -1}\dfrac{x^2-1}{x+1}$

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{|x-2|}{x^2-4}$

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답과 해설 보기

정답 ③

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

보기마다 $x$ 자리에 값을 넣어 봅니다. 위아래가 둘 다 $0$ 이면 쪼개거나 유리화해서 약분하고, 절댓값이 있으면 왼쪽과 오른쪽을 나눕니다.
ㄱ: $x=-1$ 을 넣으면 $\frac{0}{0}$ 입니다. 위를 $(x-1)(x+1)$ 로 쪼개 $(x+1)$ 을 지우면 $x-1$ 이고, $x=-1$ 을 넣으면 $-2$ 입니다. 극한값이 있습니다.
ㄴ: 절댓값이 있으니 나눕니다. 오른쪽은 $\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$ 로 $\frac{1}{4}$ , 왼쪽은 부호가 뒤집혀 $-\frac{1}{4}$ 입니다. 다르므로 극한값이 없습니다.
ㄷ: $x=1$ 을 넣으면 $\frac{0}{0}$ 이고 루트가 있으니 켤레식 $\sqrt{x+3}+2$ 를 곱합니다. $\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}$ 가 되어 $x=1$ 을 넣으면 $\frac{1}{4}$ 입니다. 극한값이 있습니다.
극한값이 있는 것은 ㄱ, ㄷ입니다. → 정답 ③

자세한 풀이 보기

(i) ㄱ 조사하기

$x=-1$ 을 대입하면 분모와 분자가 모두 $0$ 이므로 약분한다. $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 이므로 $x\neq -1$ 에서

\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}=-2

극한값이 존재한다.

(ii) ㄴ 조사하기

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ 이고, 절댓값 안의 식 $x-2$ 는 $x=2$ 에서 $0$ 이 되므로 좌극한과 우극한을 따로 구한다.

$x>2$ 일 때 $|x-2|=x-2$ 이므로

\lim_{x\to 2^{+}}\frac{|x-2|}{x^2-4}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}

$x<2$ 일 때 $|x-2|=-(x-2)$ 이므로

\lim_{x\to 2^{-}}\frac{|x-2|}{x^2-4}=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{-1}{x+2}=-\frac{1}{4}

좌극한과 우극한이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다.

(iii) ㄷ 조사하기

$x=1$ 을 대입하면 분모와 분자가 모두 $0$ 이고 근호가 있으므로, 분모와 분자에 $\sqrt{x+3}+2$ 를 곱해 유리화한다.

\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+3}+2} \quad (x\neq 1)

따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$ 이므로 극한값이 존재한다.

극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄴ의 함수는

x=2

를 기준으로 왼쪽 조각이 높이

-\dfrac{1}{4}

, 오른쪽 조각이 높이

\dfrac{1}{4}

을 향합니다. 두 빈 점의 높이가 달라서 극한값이 존재하지 않습니다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·2번: 보기마다 대입 → 약분·유리화 → 절댓값의 좌우 분리 순서로 판정하고, 약분한 뒤 남는 $0$ 의 개수를 비교한다.

$x=a$ 를 대입했을 때 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 되는 극한은 다음과 같이 $0$ 을 만드는 인수를 먼저 없앤다.

다항식으로 이루어진 분수식: 인수분해해서 $(x-a)$ 를 약분한다.
근호가 있는 분수식: 켤레식 $\sqrt{A}+\sqrt{B}$ (또는 $\sqrt{A}+k$ )를 곱해 분자를 유리화한다.
절댓값이 있는 분수식: $|x-a|=\begin{cases} x-a & (x>a) \\ -(x-a) & (x<a) \end{cases}$ 로 나누어 좌극한과 우극한을 따로 구한다.

쉽게 말하면 — $\dfrac{0}{0}$ 은 “약분하라”는 신호이고, 절댓값은 “왼쪽과 오른쪽을 나눠서 보라”는 신호입니다. 신호에 맞는 도구를 고르면 계산은 짧아집니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

세 극한은 모양이 전혀 달라 보이지만, 풀이의 첫 단계는 모두 같다. 분모의 $0$ 이 되는 인수를 찾아 없애는 것이다. ㄱ은 인수분해로, ㄷ은 유리화로 그 인수를 드러내 없앴고, ㄴ은 절댓값 때문에 먼저 부호를 정해야 인수가 드러난다.

특히 ㄴ에서 헷갈리기 쉬운 점은 약분하고 나면 $\dfrac{1}{x+2}$ 꼴이라 극한값이 있어 보인다는 것이다. 절댓값을 벗길 때 오른쪽에서는 $+1$ , 왼쪽에서는 $-1$ 이 따라 나온다. 절댓값 인수가 약분 뒤에도 $\dfrac{|x-2|}{x-2}$ 꼴로 남으면 좌극한과 우극한의 부호가 반대가 되므로, 남은 값이 $0$ 이 아닌 한 극한값은 없다고 보면 된다.

다음 문제

문제 2 · 기본

다음 <보기> 중 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to -1}\dfrac{x+3}{x^2-1}$

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)|x-2|}{x^2-4}$

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-9}$

① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답과 해설 보기

정답 ④

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

보기마다 $x$ 자리에 값을 넣어 봅니다. 위아래가 둘 다 $0$ 이면 약분하고, 위가 $0$ 이 아니고 아래만 $0$ 이면 극한값이 없습니다.
ㄱ: $x=-1$ 을 넣으면 위는 $2$ , 아래는 $0$ 입니다. 위가 $0$ 이 아니고 아래만 $0$ 이므로 극한값이 없습니다.
ㄴ: 위아래의 $(x-2)$ 를 지우면 $\frac{|x-2|}{x+2}$ 입니다. 왼쪽에서도 오른쪽에서도 $\frac{0}{4}=0$ 이라 극한값이 있습니다.
ㄷ: $x=3$ 을 넣으면 $\frac{0}{0}$ 입니다. 위를 $(x-3)(x+1)$ , 아래를 $(x-3)(x+3)$ 으로 쪼개 $(x-3)$ 을 지우면 $\frac{x+1}{x+3}$ 이고, $x=3$ 을 넣으면 $\frac{2}{3}$ 입니다. 극한값이 있습니다.
극한값이 있는 것은 ㄴ, ㄷ입니다. → 정답 ④

자세한 풀이 보기

(i) ㄱ 조사하기

$x=-1$ 을 대입하면 분모는 $0$ 이고 분자는 $-1+3=2\neq 0$ 이다. 분모를 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 로 인수분해하면 $x\to -1$ 일 때 $x-1$ 은 $-2$ 에 가까워지므로 부호는 $x+1$ 의 부호로 정해진다.

$x\to -1^{-}$ 이면 $x+1$ 은 음수이므로 분모 $(x-1)(x+1)$ 은 양수이면서 $0$ 에 가까워진다. 따라서

\lim_{x\to -1^{-}}\frac{x+3}{x^2-1}=\infty

$x\to -1^{+}$ 이면 $x+1$ 은 양수이므로 분모는 음수이면서 $0$ 에 가까워진다. 따라서

\lim_{x\to -1^{+}}\frac{x+3}{x^2-1}=-\infty

양쪽 모두 실수에 도착하지 않으므로 극한값이 존재하지 않는다.

ㄱ의 함수는 점선

x=-1

의 왼쪽에서 위로, 오른쪽에서 아래로 한없이 향합니다. 양쪽 방향이 반대이고 어느 쪽도 실수에 도착하지 않으므로 극한값이 존재하지 않습니다.

(ii) ㄴ 조사하기

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ 이므로 $x\neq 2$ 에서 $(x-2)$ 를 약분하면

\frac{(x-2)|x-2|}{x^2-4}=\frac{|x-2|}{x+2}

$x\to 2$ 일 때 분자 $|x-2|$ 는 $0$ 에, 분모 $x+2$ 는 $4$ 에 가까워지므로 양쪽에서 모두

\lim_{x\to 2^{-}}\frac{|x-2|}{x+2}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{|x-2|}{x+2}=\frac{0}{4}=0

좌극한과 우극한이 모두 $0$ 이므로 극한값이 존재한다.

ㄴ의 함수는

x\neq 2

에서

y=\dfrac{|x-2|}{x+2}

와 같습니다. 왼쪽 조각과 오른쪽 조각이 모두

x=2

의 빈 점, 곧 높이

0

으로 모입니다.

(iii) ㄷ 조사하기

$x=3$ 을 대입하면 분모와 분자가 모두 $0$ 이다. 분자 $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ , 분모 $x^2-9=(x-3)(x+3)$ 이므로 $x\neq 3$ 에서

\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}=\frac{x+1}{x+3} \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

극한값이 존재한다.

극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번: 약분한 뒤 분모에 $0$ 이 남고 분자가 $0$ 이 아니면 발산, 분모에는 $0$ 이 남지 않고 분자에만 $0$ 이 남으면 극한값은 $0$ 이다.

$x\to a$ 에서 분수식의 극한은 약분하고 남은 모양으로 판단한다.

\lim_{x\to a}p(x)=c\neq 0,\ \lim_{x\to a}q(x)=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}\text{의 극한값이 존재하지 않는다}

절댓값은 부호에 따라 다음과 같이 벗긴다.

|x-a|=\begin{cases} x-a & (x\geq a) \\ -(x-a) & (x<a) \end{cases}, \qquad \lim_{x\to a}|x-a|=0

쉽게 말하면 — 분자가 $0$ 이 아닌데 분모에 $0$ 이 약분되지 않고 남으면 터집니다. 절댓값은 그 자체로 $x=a$ 에서 $0$ 으로 가는 값이어서, 분모에 같은 $0$ 이 남지 않은 채 분자에 곱해져 있으면 오히려 극한값을 $0$ 으로 끌어당깁니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

절댓값이 보이면 반사적으로 “좌우를 나눠야 하고 결과도 다르겠지”라고 생각하기 쉬운데, 이 반응이 가장 흔한 실수다. 절댓값 때문에 좌우가 갈라지는 대표적인 경우는 약분하고 나서도 $\dfrac{|x-a|}{x-a}$ 처럼 부호만 남는 때이다. 이 보기들은 그런 꼴이 아니다.

ㄴ은 분자에 $0$ 이 두 개( $x-2$ , $|x-2|$ ), 분모에 $0$ 이 한 개( $x-2$ )이므로 약분하고 나면 분자 쪽에 $0$ 이 하나 남는다. 남은 $0$ 때문에 극한값은 $0$ 으로 정해진다. ㄱ처럼 분자에 $0$ 이 없는데 분모에 $0$ 이 있으면 바로 터진다고 판단하면 된다.

다음 문제

문제 3 · 기본

다음 중 극한값이 존재하지 않는 것은?

① $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x^3-3x+1)$
② $\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x^2-1}\right)$
③ $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$
④ $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)^2}{|x-1|}$
⑤ $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{|x-2|}$

정답과 해설 보기

정답 ⑤

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

보기마다 같은 순서로 봅니다. 식의 모양에 맞는 방법을 고르고, 극한값이 없는 것 하나를 찾습니다.
①은 곱하고 더하고 빼기만 있는 식이라 그냥 넣습니다. $8-6+1=3$ 이므로 극한값이 있습니다.
②는 분수 두 개의 아래가 모두 $0$ 이 되니 하나로 합칩니다. $\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}$ 이므로 $\frac{1}{2}$ 입니다. ③은 루트의 켤레식을 곱해 $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ 가 되어 $\frac{1}{4}$ 입니다.
④는 $(x-1)^2=|x-1|^2$ 이므로 약분하면 $|x-1|$ 이고 극한은 $0$ 입니다. 극한값이 있습니다.
⑤는 절댓값이 있으니 나눕니다. 오른쪽은 $x+2\to4$ , 왼쪽은 부호가 뒤집혀 $-(x+2)\to-4$ 입니다. 다르므로 극한값이 없습니다. → 정답 ⑤

자세한 풀이 보기

(i) ① 조사하기

다항함수이므로 대입하면 된다.

\lim_{x\to 2}(x^3-3x+1)=8-6+1=3

극한값이 존재한다.

(ii) ② 조사하기

$x=1$ 을 대입하면 두 분수의 분모가 모두 $0$ 이다. 각 항은 따로 보면 발산하므로 극한을 쪼갤 수 없고, 먼저 통분한다. $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 이므로 $x\neq \pm 1$ 에서

\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}=\frac{(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}

\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}

극한값이 존재한다.

②의 식은

x\neq \pm 1

에서

y=\dfrac{1}{x+1}

과 같습니다.

x=1

자리는 빈 점이고, 양쪽에서 모두 높이

\dfrac{1}{2}

로 모입니다. 점선

x=-1

근처의 발산은

x\to 1

과 무관합니다.

(iii) ③ 조사하기

$x=0$ 을 대입하면 분모와 분자가 모두 $0$ 이고 근호가 있으므로 분자를 유리화한다. $x\neq 0$ 에서

\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}

극한값이 존재한다.

(iv) ④ 조사하기

$(x-1)^2=|x-1|^2$ 이므로 $x\neq 1$ 에서

\frac{(x-1)^2}{|x-1|}=|x-1| \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2}{|x-1|}=0

극한값이 존재한다.

(v) ⑤ 조사하기

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ 이고 절댓값 안의 식 $x-2$ 가 $x=2$ 에서 $0$ 이 되므로 좌극한과 우극한을 따로 구한다.

$x>2$ 일 때 $|x-2|=x-2$ 이므로

\lim_{x\to 2^{+}}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2^{+}}(x+2)=4

$x<2$ 일 때 $|x-2|=-(x-2)$ 이므로

\lim_{x\to 2^{-}}\frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)}=\lim_{x\to 2^{-}}\{-(x+2)\}=-4

좌극한과 우극한이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다.

⑤의 함수는

x<2

에서 직선

y=-(x+2)

위를 따라 높이

-4

로,

x>2

에서 직선

y=x+2

위를 따라 높이

4

로 향합니다. 두 빈 점의 높이가 달라서 극한값이 존재하지 않습니다.

따라서 극한값이 존재하지 않는 것은 ⑤이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·3번: 극한값이 없는 보기는 좌우가 같은 실수인지로 가리고, 분수의 차는 나누지 않고 통분한 뒤 약분한다.

$x\to a$ 일 때 극한값이 존재할 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같은 것이다.

\lim_{x\to a}f(x)\ \text{존재}\ \Longleftrightarrow\ \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)\ (\text{실수})

근호가 있는 $\dfrac{0}{0}$ 꼴은 켤레식을 곱해 유리화한다.

\frac{\sqrt{A}-B}{x-c}=\frac{A-B^2}{(x-c)(\sqrt{A}+B)}

쉽게 말하면 — 극한값이 있는지는 “양쪽 길이 만나는가”로 판단합니다. 근호가 있으면 켤레식을 곱해 $0$ 을 만드는 부분을 약분하고, 분수의 차는 통분해서 한 덩어리로 만든 다음 살핍니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가장 많이 틀리는 보기는 ②와 ④다. ②는 각 분수가 발산하는 것을 보고 “발산하니까 극한값이 없다”고 단정하기 쉽고, ④는 절댓값이 보이면 “좌우가 갈라지겠지”라고 단정하기 쉽다.

두 보기 모두 정리한 뒤의 모양을 봐야 한다. ②는 통분하면 터지던 $x-1$ 이 약분되어 사라지고, ④는 갈라지는 부호를 만드는 $x-1$ 이 분자의 $(x-1)^2$ 에 눌려 $0$ 으로 수렴한다.

반대로 ⑤는 절댓값을 벗기고 약분해도 $\pm(x+2)$ 가 남고, 이 값이 $x=2$ 에서 $0$ 이 아니기 때문에 부호 차이가 그대로 드러난다. 즉 $|x-a|$ 하나를 $x-a$ 와 약분하는 이 보기들의 꼴에서는 “약분하고 남은 식이 $x=a$ 에서 $0$ 이 아닌가”가 갈림길이다.

다음 문제

문제 4 · 기본

$x\neq -2$ 인 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-x-6}{x+2} & (x < -2) \\[0.8em] \dfrac{2x^2+3x-2}{x+2} & (x > -2) \end{cases}

일 때, $\displaystyle\lim_{x \to -2} f(x)$ 의 값은?

① $-7$
② $-5$
③ $-1$
④ $3$
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

경계 $x=-2$ 에서 왼쪽( $x<-2$ ) 줄 $\frac{x^2-x-6}{x+2}$ 에 $x=-2$ 를 넣으면 $\frac{0}{0}$ 입니다. 위를 $(x-3)(x+2)$ 로 쪼개 $(x+2)$ 를 지우면 $x-3$ 이고, $x=-2$ 를 넣으면 $-5$ 입니다.
오른쪽( $x>-2$ ) 줄 $\frac{2x^2+3x-2}{x+2}$ 도 $\frac{0}{0}$ 입니다. 위를 $(2x-1)(x+2)$ 로 쪼개 $(x+2)$ 를 지우면 $2x-1$ 이고, $x=-2$ 를 넣으면 $-5$ 입니다.
두 값이 같으므로 극한값은 $-5$ 입니다. → 정답 ②

자세한 풀이 보기

(i) 좌극한 구하기

$x<-2$ 일 때 $f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x+2}$ 이다. 분자에 $x=-2$ 를 대입하면 $4+2-6=0$ 이므로 $(x+2)$ 를 인수로 가지고,

x^2-x-6 = (x-3)(x+2)

따라서 $x\neq -2$ 에서 $f(x)=x-3$ 이므로

\lim_{x \to -2^{-}} f(x) = \lim_{x \to -2^{-}} (x-3) = -5

(ii) 우극한 구하기

$x>-2$ 일 때 $f(x)=\dfrac{2x^2+3x-2}{x+2}$ 이다. 분자에 $x=-2$ 를 대입하면 $8-6-2=0$ 이므로 역시 $(x+2)$ 를 인수로 가지고,

2x^2+3x-2 = (2x-1)(x+2)

따라서 $x\neq -2$ 에서 $f(x)=2x-1$ 이므로

\lim_{x \to -2^{+}} f(x) = \lim_{x \to -2^{+}} (2x-1) = -5

(iii) 비교

좌극한과 우극한이 모두 $-5$ 로 같으므로

\lim_{x \to -2} f(x) = -5

왼쪽은 직선

y=x-3

, 오른쪽은 직선

y=2x-1

이고, 두 직선 모두

x=-2

에서 높이

-5

의 빈 점(구멍)을 향해 모입니다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번: 양쪽 조각이 약분되면 각각 구멍 뚫린 식이 되고, 두 구멍의 높이를 비교한다.

분자가 $x=a$ 에서 $0$ 이 되는 분수식 조각은 인수분해해 약분한 뒤 극한을 구한다.

p(a)=0 \ \Longrightarrow\ \frac{p(x)}{x-a} = q(x)\ (x\neq a) \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}\frac{p(x)}{x-a} = q(a)

조각이 두 개이면 이 과정을 각 조각에 한 번씩 적용하고, 마지막에 좌극한과 우극한을 비교해 극한값의 존재 여부를 결정한다.

쉽게 말하면 — 조각이 둘이면 “약분 → 대입”을 두 번 하고, 마지막에 두 결과를 나란히 놓고 같은지 봅니다. 한 번에 합쳐서 계산하려 들지 않는 것이 요령입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

양쪽 조각이 모두 $\dfrac{0}{0}$ 꼴로 보이면 “분모가 $0$ 이니 극한이 없다”고 성급히 단정하기 쉽다. 하지만 분자가 함께 $0$ 이 된다는 것은 약분할 수 있다는 신호이고, 약분하고 나면 두 조각은 각각 직선 $y=x-3$ 과 $y=2x-1$ 일 뿐이다.

이제 문제는 “두 직선이 $x=-2$ 에서 같은 높이를 가리키는가”라는 단순한 비교로 바뀐다. 이 문제에서는 둘 다 $-5$ 를 가리키므로, 구멍이 두 개 보이더라도 그 구멍은 사실 같은 자리에 겹쳐 있다.

다음 문제

문제 5 · 응용

다음 <보기>의 극한 중 극한값이 존재하는 것을 모두 찾아, 그 극한값들의 합을 구하시오.

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}-1}$

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{|x-1|}$

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}$

ㄹ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x+1}{|x-1|}$

정답과 해설 보기

정답 5

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기6단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

보기마다 같은 순서로 봅니다. 값을 넣어 $\frac{0}{0}$ 이면 약분하고, 절댓값이 있으면 나누고, 위가 $0$ 이 아니고 아래만 $0$ 이면 극한값이 없습니다.
ㄱ: 아래에 루트가 있으니 켤레식 $\sqrt{x^2+1}+1$ 을 곱해 약분하면 $\sqrt{x^2+1}+1$ 이 되고, $x=0$ 을 넣으면 $2$ 입니다. 극한값이 있습니다.
ㄴ: 위를 $(x-1)(x-2)$ 로 쪼개고 절댓값을 나눕니다. 오른쪽은 $x-2\to-1$ , 왼쪽은 부호가 뒤집혀 $1$ 입니다. 다르므로 극한값이 없습니다.
ㄷ: 위를 $(x-2)(x^2+2x+4)$ , 아래를 $(x-2)(x+2)$ 로 쪼개 $(x-2)$ 를 지우면 $\frac{x^2+2x+4}{x+2}$ 이고, $x=2$ 를 넣으면 $\frac{12}{4}=3$ 입니다. 극한값이 있습니다.
ㄹ: 위는 $2$ 로 $0$ 이 아니고 아래의 절댓값만 $0$ 이 되어 양쪽 모두 $\infty$ 입니다. 극한값이 없습니다.
극한값이 있는 ㄱ, ㄷ의 값을 더합니다. $2+3=5$ → 정답 $5$

자세한 풀이 보기

(i) ㄱ 조사하기

$x=0$ 을 대입하면 분모와 분자가 모두 $0$ 이고 근호가 있으므로 분모를 유리화한다.

\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{\sqrt{x^2+1}+1}=\frac{x^2(\sqrt{x^2+1}+1)}{(x^2+1)-1}=\sqrt{x^2+1}+1 \quad (x\neq 0)

따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}-1}=1+1=2$ 이고 극한값이 존재한다.

(ii) ㄴ 조사하기

$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ 이다. $x>1$ 일 때 $|x-1|=x-1$ 이므로

\lim_{x\to 1^{+}}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}(x-2)=-1

$x<1$ 일 때 $|x-1|=-(x-1)$ 이므로

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)}=\lim_{x\to 1^{-}}\{-(x-2)\}=1

좌극한( $1$ )과 우극한( $-1$ )이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다.

ㄴ의 함수는

x=1

의 왼쪽에서 직선

y=2-x

위를 따라 높이

1

을 향하고, 오른쪽에서 직선

y=x-2

위를 따라 높이

-1

을 향합니다. 두 빈 점의 높이가 달라서 극한값이 존재하지 않습니다.

(iii) ㄷ 조사하기

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ , $x^2-4=(x-2)(x+2)$ 이므로 $x\neq 2$ 에서

\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{x^2+2x+4}{x+2} \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{12}{4}=3

극한값이 존재한다.

(iv) ㄹ 조사하기

$x\to 1$ 일 때 분자 $x+1$ 은 $2$ 에 가까워지고 $0$ 이 아니다. 분모 $|x-1|$ 은 $x$ 가 $1$ 의 어느 쪽에서 다가가도 양수이면서 $0$ 에 가까워진다. 따라서

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x+1}{|x-1|}=\infty, \qquad \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x+1}{|x-1|}=\infty

양쪽 모두 한없이 커지므로 극한값이 존재하지 않는다(발산).

ㄹ의 함수는 점선

x=1

의 양쪽에서 모두 위로 한없이 올라갑니다. 양쪽이 같은 방향이어도 어떤 실수에 도착하는 것이 아니므로 극한값이 존재하지 않습니다.

(v) 극한값들의 합

극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이고, 극한값은 각각 $2$ , $3$ 이므로

2+3=5

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·2번: 보기마다 극한의 종류를 가려 약분·유리화·절댓값의 좌우 분리를 적용한다.

이 문제의 보기에서 극한값이 존재하지 않는 경우는 크게 두 가지로 나뉜다.

\text{① } \lim_{x\to a^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to a^{+}}f(x) \qquad \text{② } \lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty

①은 좌극한과 우극한이 서로 다른 실수인 경우로 ㄴ이 해당한다. ②는 어느 한쪽이라도 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 가는 경우로 ㄹ이 해당한다. ②에서는 좌극한과 우극한이 모두 $\infty$ 로 같아 보여도 $\infty$ 는 실수가 아니므로 극한값이 존재하는 경우에 포함되지 않는다.

분모만 $0$ 에 가까워지고 분자는 $0$ 이 아닌 값에 가까워지면 유한한 극한값이 존재하지 않는다. ㄹ은 이 경우로, ②에 해당한다.

\lim_{x\to a}p(x)=c\neq 0,\ \lim_{x\to a}q(x)=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}\text{의 극한값이 존재하지 않는다}

쉽게 말하면 — 극한값이 있으려면 양쪽 길이 “같은 번지수”에 도착해야 합니다. 번지수가 서로 다르거나(ㄴ), 아예 번지수가 없는 하늘 끝으로 가거나(ㄹ) 하면 극한값은 없습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

네 개 중 둘이 존재하고 둘이 존재하지 않는데, 판정은 모두 같은 질문 둘로 끝난다. “ $0$ 을 만드는 인수를 없앤 뒤 남은 식에 $x=a$ 를 넣을 수 있는가? 좌우에서 넣은 값이 같은가?” ㄱ과 ㄷ은 인수를 없애고 나면 그대로 대입이 되었다. ㄴ은 절댓값 때문에 좌우에서 남는 식이 $x-2$ , $-(x-2)$ 로 달라 값이 $-1$ , $1$ 로 갈렸고, ㄹ은 약분할 인수가 없어 분모의 $0$ 이 그대로 남아 발산했다.

가장 흔한 실수는 ㄹ에서 좌극한과 우극한이 둘 다 $\infty$ 로 “같다”며 극한값이 존재한다고 판단하는 것이다. 극한값은 반드시 실수여야 한다는 점만 기억하면 된다. 분자가 $2$ 처럼 $0$ 이 아닌 값인데 분모만 $0$ 으로 가면 그 순간 바로 “발산, 극한값 없음”으로 판단해도 된다.

다음 문제

문제 6 · 응용

이차함수 $f(x)=x^2+ax+b$ ( $a$ , $b$ 는 상수)가

\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=3

을 만족시킬 때, 다음 <보기> 중 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{|x-1|}$

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to -2}\dfrac{f(x)}{x+2}$

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{(x-1)^2}$

ㄹ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)\,|x-1|}{x^2-1}$

① ㄱ, ㄷ
② ㄴ, ㄷ
③ ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄴ, ㄹ
⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

정답과 해설 보기

정답 ③

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기7단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

아래 $x-1$ 이 $x=1$ 에서 $0$ 이고 극한값이 숫자( $3$ )이므로 위 $f$ 에 $x=1$ 을 넣은 값도 $0$ 입니다. (이유는 정석 풀이에서 확인합니다.) 그래서 $f(x)=(x-1)(x+c)$ 로 놓습니다.
$(x-1)$ 을 지우면 $x+c$ 이고 $x=1$ 을 넣으면 $1+c=3$ 이므로 $c=2$ 입니다. $f(x)=(x-1)(x+2)$
ㄱ: $\frac{(x-1)(x+2)}{|x-1|}$ 는 절댓값이 있으니 나눕니다. 오른쪽은 $x+2\to3$ , 왼쪽은 $-(x+2)\to-3$ 입니다. 다르므로 극한값이 없습니다.
ㄴ: $\frac{(x-1)(x+2)}{x+2}=x-1$ 이고 $x=-2$ 를 넣으면 $-3$ 입니다. 극한값이 있습니다.
ㄷ: $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x+2}{x-1}$ 이라 위는 $3$ 이고 아래만 $0$ 입니다. 극한값이 없습니다.
ㄹ: $\frac{(x-1)(x+2)|x-1|}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x+2)|x-1|}{x+1}$ 에서 $|x-1|\to0$ 이라 양쪽 모두 $0$ 입니다. 극한값이 있습니다.
극한값이 있는 것은 ㄴ, ㄹ입니다. → 정답 ③

※ 분자 $f$ 가 다항식이고, 아래가 $0$ 으로 가며, 극한값이 숫자로 주어졌을 때만 1번 규칙을 쓸 수 있습니다. 이 문제의 $f$ 는 $x^2$ 으로 시작하는 이차식이라 $(x-1)(x+c)$ 로 놓을 수 있습니다.

자세한 풀이 보기

(i) $f(x)$ 구하기

$x\to 1$ 일 때 분모 $x-1$ 이 $0$ 에 가까워지는데 극한값 $3$ 이 존재하므로, 분자 $f(x)$ 도 $0$ 에 가까워져야 한다. 그렇지 않으면 극한이 발산한다. 따라서 $f(1)=0$ 이어야 한다.

f(1)=1+a+b=0 \ \Longrightarrow\ b=-1-a

이때 $f(x)=x^2+ax-1-a=(x-1)(x+1+a)$ 이므로 $x\neq 1$ 에서

\frac{f(x)}{x-1}=x+1+a \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=2+a=3

$a=1$ , $b=-2$ 이므로

f(x)=x^2+x-2=(x-1)(x+2)

(ii) ㄱ 조사하기

$x>1$ 일 때 $|x-1|=x-1$ 이므로

\lim_{x\to 1^{+}}\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}(x+2)=3

$x<1$ 일 때 $|x-1|=-(x-1)$ 이므로

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(x-1)(x+2)}{-(x-1)}=\lim_{x\to 1^{-}}\{-(x+2)\}=-3

좌극한과 우극한이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다.

ㄱ의 함수는

x=1

의 왼쪽에서 직선

y=-(x+2)

위를 따라 높이

-3

을 향하고, 오른쪽에서 직선

y=x+2

위를 따라 높이

3

을 향합니다. 두 빈 점의 높이가 달라서 극한값이 존재하지 않습니다.

(iii) ㄴ 조사하기

$f(x)=(x-1)(x+2)$ 이므로 $x\neq -2$ 에서 $(x+2)$ 를 약분하면

\frac{f(x)}{x+2}=x-1 \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x+2}=-3

극한값이 존재한다.

(iv) ㄷ 조사하기

$x\neq 1$ 에서

\frac{f(x)}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x+2}{x-1}

$x\to 1$ 일 때 분자 $x+2$ 는 $3$ 에 가까워지고 분모 $x-1$ 만 $0$ 에 가까워진다. $x\to 1^{+}$ 이면 분모가 양수이므로 $\infty$ 로, $x\to 1^{-}$ 이면 분모가 음수이므로 $-\infty$ 로 향한다. 극한값이 존재하지 않는다.

(v) ㄹ 조사하기

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ 이므로 $x\neq 1$ 에서 $(x-1)$ 을 약분하면

\frac{f(x)\,|x-1|}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+2)\,|x-1|}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x+2)\,|x-1|}{x+1}

$x\to 1$ 일 때 $|x-1|\to 0$ , $\dfrac{x+2}{x+1}\to\dfrac{3}{2}$ 이므로 양쪽에서 모두 극한은 $0$ 이다. 극한값이 존재한다.

극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄹ이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·4번: 조건 극한에서 분자가 $0$ 이 되는 조건으로 함수를 정하고, 보기마다 $0$ 의 개수를 비교한다.

극한값이 실수로 존재하는 분수식에서 분모가 $0$ 에 가까워지면, 분자도 반드시 $0$ 에 가까워져야 한다. 이 성질로 미정계수를 구한다.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L\ (L\text{은 실수}),\ \ \lim_{x\to a}g(x)=0 \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=0

분자가 $0$ 으로 가면 $f(x)$ 는 $(x-a)$ 를 인수로 가지므로, 그 인수를 약분한 뒤 남은 식으로 계수를 정한다.

쉽게 말하면 — 분모가 $0$ 으로 가는데도 극한값이 멀쩡히 존재한다는 것은, 분자가 분모의 $0$ 을 맞받아서 같이 $0$ 으로 가고 있다는 신호입니다. 그래서 $f(1)=0$ 이라는 조건이 공짜로 따라옵니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

$f(x)=(x-1)(x+2)$ 를 구하고 나면 네 문항은 모두 “ $f$ 가 품은 $0$ 한 개와 분모의 $0$ 을 비교하는 문제”로 바뀐다.

ㄱ: 분모의 $0$ 하나( $|x-1|$ )로 개수는 같지만, 절댓값이 부호를 흔들어 좌우가 $\pm 3$ 으로 갈라진다.
ㄴ: 분모의 $0$ 하나를 약분하고 나면 아무것도 남지 않아 값이 정해진다.
ㄷ: 분모의 $0$ 이 둘이라 하나가 약분되지 않고 남아 터진다.
ㄹ: 분자의 $0$ 이 둘(분자의 $x-1$ , $|x-1|$ ), 분모의 $0$ 이 하나이므로 분자에 $0$ 이 남아 극한값은 $0$ 이다.

ㄱ과 ㄹ은 둘 다 절댓값이 들어 있지만 결과가 정반대다. 이때 갈림길은 절댓값이 분자에 있는지 분모에 있는지가 아니다. 약분한 뒤 분자와 분모에 남는 $0$ 의 개수를 세고, 개수가 같을 때만 좌우 부호를 따로 비교하면 된다. 절댓값도 $0$ 한 개로 센다.

절댓값의 위치로 판단하면 바로 틀린다. $\dfrac{|x-1|}{x-1}$ 은 절댓값이 분자에 있지만 $0$ 의 개수가 같아서 좌극한은 $-1$ , 우극한은 $1$ 로 갈라지고, $\dfrac{(x-1)^2}{|x-1|}=|x-1|$ 은 절댓값이 분모에 있지만 분자의 $0$ 이 하나 더 많아서 $0$ 으로 수렴한다. ㄱ이 갈라진 것도 절댓값이 분모에 있었기 때문이 아니라 분자·분모의 $0$ 이 하나씩으로 같아서 부호만 남았기 때문이다.

다음 문제

문제 7 · 응용

$x\neq 1$ 인 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+ax+b}{x-1} & (x < 1) \\[0.8em] \dfrac{bx^2+cx-7}{x-1} & (x > 1) \end{cases}

이다. $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ 의 값이 존재할 때, 상수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여 $a+b+c$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 9

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기6단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

두 조각 모두 아래 $x-1$ 이 $0$ 으로 가고 극한값이 있으므로, 위에 $x=1$ 을 넣은 값이 $0$ 이어야 합니다. (이유는 정석 풀이에서 확인합니다.) 왼쪽은 $1+a+b=0$ , 오른쪽은 $b+c-7=0$ 입니다.
두 식에서 $b=-a-1$ , $c=7-b=a+8$ 입니다.
왼쪽 위는 $(x-1)(x+a+1)$ 로 쪼개집니다. $(x-1)$ 을 지우고 $x=1$ 을 넣으면 좌극한은 $a+2$ 입니다.
오른쪽 위는 $(x-1)\{-(a+1)x+7\}$ 로 쪼개집니다. $(x-1)$ 을 지우고 $x=1$ 을 넣으면 우극한은 $6-a$ 입니다.
두 값이 같아야 하므로 $a+2=6-a$ 이고 $a=2$ 입니다. 그러면 $b=-3$ , $c=10$ 입니다.
더합니다. $a+b+c=2+(-3)+10=9$ → 정답 $9$

※ 극한값이 존재한다고 주어졌을 때만 1번 규칙을 쓸 수 있습니다.

자세한 풀이 보기

(i) 양쪽 조각의 분자가 $x=1$ 에서 $0$ 이어야 한다

극한값이 존재하면 좌극한과 우극한이 모두 유한한 값이어야 한다. 두 조각 모두 $x\to 1$ 일 때 분모 $x-1$ 이 $0$ 에 가까워지므로, 분자도 $x=1$ 에서 $0$ 이어야 한다.

1+a+b=0 \quad\cdots ①, \qquad b+c-7=0 \quad\cdots ②

①에서 $b=-a-1$ , ②에서 $c=7-b=a+8$ 이다.

(ii) 각 조각을 약분해 극한 구하기

$b=-a-1$ 이므로 $x^2+ax+b = x^2+ax-a-1 = (x-1)(x+a+1)$ 이다. 따라서

\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x+a+1) = a+2

$c=a+8$ , $b=-a-1$ 이므로 $bx^2+cx-7 = -(a+1)x^2+(a+8)x-7 = (x-1)\{-(a+1)x+7\}$ 이다. 따라서

\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \{-(a+1)x+7\} = -(a+1)+7 = 6-a

(iii) 좌극한과 우극한이 같아야 한다

a+2 = 6-a \ \Longrightarrow\ a=2

이므로 $b=-3$ , $c=10$ 이고, 극한값은 $a+2=4$ 이다. 세 조건(① ② 및 좌·우극한 일치)은 $a$ 에 대한 일차방정식으로 귀결되므로 $a$ , $b$ , $c$ 는 오직 하나로 정해진다. 따라서

a+b+c = 2+(-3)+10 = 9

a=2

b=-3

c=10

이면 왼쪽 조각은 직선

y=x+3

, 오른쪽 조각은 직선

y=-3x+7

이 되어, 두 직선 모두

x=1

에서 높이

4

의 빈 점(구멍)을 향해 모입니다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번·5번: 분모가 $0$ 으로 가면 각 조각의 분자가 $0$ 이어야 하고, 약분한 두 높이를 같게 놓는다.

분수식 조각이 유한한 극한을 가질 조건과 극한값의 존재 조건은 따로따로 확인해야 하는 두 조건이며, 다음 순서로 적용한다.

\underbrace{p_{\text{왼}}(1)=0,\ p_{\text{오}}(1)=0}_{\text{①: 각 조각이 약분되는 조건}} \quad \text{그리고} \quad \underbrace{\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}f(x)}_{\text{②: 좌·우극한 일치}}

①이 성립해도 ②가 저절로 따라오지는 않는다. 예를 들어 $a=-1$ , $b=0$ , $c=7$ 이면 두 분자는 모두 $x=1$ 에서 $0$ 이 되지만, 약분한 식은 왼쪽이 $y=x$ , 오른쪽이 $y=7$ 이어서 좌극한은 $1$ , 우극한은 $7$ 로 다르다. 따라서 ①을 만족시킨 뒤 ②를 반드시 따로 확인해야 한다.

미지수가 세 개이고 식이 세 개(분자가 $0$ 이 되는 조건 두 개와 좌·우극한 일치 조건 한 개)라는 개수만으로 해가 하나로 정해지는 것은 아니다. 이 문제에서는 ①의 두 식으로 $b$ , $c$ 를 $a$ 로 나타내 미지수가 $a$ 하나로 줄고, ②가 $a$ 에 대한 일차방정식 $a+2=6-a$ 가 되어 해가 하나로 결정된다.

쉽게 말하면 — ①은 각 조각이 “구멍 뚫린 직선”이 되게 하는 조건이고, ②는 두 구멍을 같은 높이에 맞추는 조건입니다. 구멍을 만드는 일이 먼저, 높이를 맞추는 일이 그다음입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

미지수가 세 개라서 어렵게 느껴지지만, 풀이의 뼈대는 “구멍 두 개를 만들고 높이를 맞춘다”가 전부이다. 분자가 $(x-1)$ 을 인수로 갖도록 하는 조건 두 개로 $b$ , $c$ 를 모두 $a$ 로 표현해 미지수를 하나로 줄인 뒤, 마지막 한 식만 풀면 된다.

실수가 잦은 곳은 ①을 빠뜨리고 곧바로 $a+2=6-a$ 같은 식을 세우려는 순간이다. 분자가 $x=1$ 에서 $0$ 이 아니면 그 조각은 극한값 자체가 없으니, 좌·우극한을 비교하기 전에 ①이 먼저 통과되어야 한다. 약분 가능 조건을 먼저, 높이 비교를 나중에 하는 순서만 지키면 계산은 거의 저절로 풀린다.