함수의 극한 — 그래프의 한 점에서 극한 읽기: 극한값과 좌극한·우극한·함숫값 구분하기

그래프에서 $x=2$에 가까워질 때 직선이 향하는 높이를 읽는다. 속이 찬 점($\bullet$)은 $x=2$ 자리에 따로 찍힌 점이므로 극한을 읽는 동안에는 무시한다.

$x=2$의 왼쪽 직선도, 오른쪽 직선도 모두 높이 $3$의 빈 점($\circ$)을 향한다.

좌극한과 우극한이 같으므로 극한값이 존재하고

이다.

핵심 개념 1번과 3번: 극한값은 곡선이 향하는 높이이고, 함숫값 $f(a)$와는 별개이다.

이 그래프에서는 두 값이 서로 다르다.

쉽게 말하면 — 이 문제에서 답이 $1$이 아니라 $3$인 이유는, $x=2$ 자리에 놓인 점이 아니라 그 자리로 다가가는 직선의 방향이 극한을 정하기 때문입니다.

이 문제는 서로 다른 두 값을 각각 구해서 더해야 한다.

(i) 극한값 구하기

$x=1$에 가까워질 때 직선이 향하는 높이를 읽는다. 속이 찬 점은 무시한다.

이므로 극한값이 존재하고 $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=2$이다.

(ii) 함숫값 구하기

$x=1$에서 실제로 정의된 값은 속이 찬 점의 높이이므로

이다.

(iii) 답 구하기

핵심 개념 1번: $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$와 $f(a)$는 서로 독립적인 두 값이다. 한 식에 둘이 함께 있으면 각각 따로 읽는다.

쉽게 말하면 — 극한값과 함숫값은 이름은 비슷해도 완전히 다른 질문입니다. 두 값을 동시에 요구하면 빈 점과 속이 찬 점을 각각 따로 읽고, 마지막에 합칩니다.

$x=2$의 왼쪽 조각과 오른쪽 조각을 따로 읽는다.

$x<2$인 쪽에서 $2$에 가까워지면 왼쪽 직선은 높이 $3$을 향한다.

$x>2$인 쪽에서 $2$에 가까워지면 오른쪽 직선은 높이 $4$를 향한다.

좌극한과 우극한이 서로 다르므로 $x=2$에서의 극한값은 존재하지 않는다.

핵심 개념 3번: 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

이면 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$는 존재하지 않는다.

쉽게 말하면 — 왼쪽에서 걸어온 사람과 오른쪽에서 걸어온 사람이 서로 다른 높이에 도착하면 “이 자리에서 만나는 높이”를 하나로 말할 수 없습니다.

두 극한 모두 한쪽 극한이므로, 기호가 가리키는 쪽의 조각만 따로 읽는다.

(i) $\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}}f(x)$

$x<-1$인 쪽에서 $-1$에 가까워지므로 $x=-1$의 왼쪽 조각을 본다. 이 조각은 $\circ$로 끝나며 그 높이는 $2$이다.

$x=-1$ 위의 $\bullet$는 높이 $3$이지만 이것은 $f(-1)$일 뿐이므로 읽지 않는다.

(ii) $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$

$x>1$인 쪽에서 $1$에 가까워지므로 $x=1$의 오른쪽 조각을 본다. 이 조각은 $\circ$로 시작하며 그 높이는 $3$이다.

$x=1$ 위의 $\bullet$는 높이 $1$인 $f(1)$이며 가운데 조각에 속하므로 이 극한과는 무관하다.

(iii) 답 구하기

핵심 개념 2번: 좌극한은 왼쪽 조각이 향하는 높이, 우극한은 오른쪽 조각이 향하는 높이이다.

한쪽 극한은 $x=a$ 위의 점 $f(a)$와 무관하다. 한쪽 극한끼리의 합은 각 값을 따로 구해서 더하면 된다.

쉽게 말하면 — 극한 기호 위쪽의 $+$, $-$는 “어느 쪽에서 출발하는가”를 알려 주는 방향 표지판입니다. 표지판이 가리키는 쪽 길만 따라가서 그 길이 끝나는 높이를 읽으면 됩니다.

앞의 극한은 방향이 지정된 한쪽 극한이고, 뒤의 극한은 방향이 없는 양쪽 극한이다. 읽는 방법이 서로 다르다.

(i) $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$

$x<1$인 쪽에서 $1$에 가까워지므로 $x=1$의 왼쪽 조각만 본다. 이 조각은 $\circ$로 끝나며 그 높이는 $3$이다.

$x=1$ 위의 $\bullet$(높이 $2$)는 $f(1)$이고, 오른쪽 조각의 시작점 $\circ$(높이 $4$)는 이 극한과 무관하다.

(ii) $\displaystyle\lim_{x\to 4}f(x)$

방향 표시가 없으므로 양쪽을 모두 확인한다.

• 왼쪽에서 가까워질 때: 직선이 $\circ$(높이 $1$)를 향한다. 즉 $\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}f(x)=1$
• 오른쪽에서 가까워질 때: 같은 직선이 $\circ$(높이 $1$)에서 이어진다. 즉 $\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}f(x)=1$

좌극한과 우극한이 같으므로 극한값이 존재하고

이다. $x=4$ 위에 따로 찍힌 $\bullet$의 높이 $f(4)=3$은 읽지 않는다.

(iii) 답 구하기

핵심 개념 3번과 4번: 방향이 지정된 한쪽 극한은 그쪽 조각이 향하는 높이이고, 방향이 없는 극한은 양쪽이 일치할 때만 값이 정해진다.

어느 경우에도 $x=a$ 위의 점 $f(a)$는 극한값에 영향을 주지 않는다.

쉽게 말하면 — 기호에 $+$, $-$가 붙어 있으면 “이쪽에서만 보세요”라는 뜻이고, 아무것도 붙어 있지 않으면 “양쪽 다 보고 같은지 확인하세요”라는 뜻입니다.

괄호 안의 식을 $t$로 놓고, $t$가 어느 쪽에서 어느 값으로 가까워지는지를 먼저 구한다.

(i) $a=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x-1)$

$t=x-1$로 놓는다. $x<0$이면서 $0$에 가까워지면 $t<-1$이면서 $-1$에 가까워지므로 $t\to -1^{-}$이다.

그래프에서 $x=-1$의 왼쪽 조각이 향하는 높이는 $3$이다. 따라서 $a=3$이다.

(ii) $b=\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}}f(-x)$

$t=-x$로 놓는다. $x<-1$이면서 $-1$에 가까워지면 $t>1$이면서 $1$에 가까워지므로 $t\to 1^{+}$이다.

그래프에서 $x=1$의 오른쪽 조각이 향하는 높이는 $2$이다. 따라서 $b=2$이다.

(iii) 답 구하기

핵심 개념 5번: 합성된 식의 극한은 괄호 안의 식을 $t$로 놓고, $t$의 접근 방향을 구한 뒤 $f(t)$의 한쪽 극한으로 바꿔 읽는다.

$x+c$ 꼴은 접근 방향이 그대로이고, $-x$ 꼴은 부호가 바뀌어 접근 방향이 좌우로 뒤집힌다. 우극한($x\to a^{+}$)일 때도 같은 원리로 방향을 판단한다.

쉽게 말하면 — $f(x-1)$은 그래프를 오른쪽으로 한 칸 옮겨 놓은 모양이고, $f(-x)$는 그래프를 $y$축에 대해 뒤집어 놓은 모양입니다. 옮기기만 하면 왼쪽은 여전히 왼쪽이지만, 뒤집으면 왼쪽이 오른쪽이 됩니다.

먼저 오른쪽 변의 극한값 $\displaystyle\lim_{x\to 4}f(x)$를 구하고, 그 값과 같은 우극한을 갖는 $a$를 하나씩 가려낸다.

(i) $\displaystyle\lim_{x\to 4}f(x)$ 구하기

$x=4$의 왼쪽과 오른쪽 모두 같은 직선 위의 $\circ$(높이 $2$)를 향한다. 좌극한과 우극한이 모두 $2$이므로 극한값이 존재하고

이다. $x=4$ 위의 $\bullet$(높이 $3$)는 $f(4)$일 뿐이다.

(ii) 각 정수 $a$의 우극한 읽기

$x=a$의 오른쪽 조각이 시작하는 높이를 읽는다.

$a=4$에서는 극한값이 존재하므로 우극한도 극한값과 같은 $2$이다.

(iii) 답 구하기

조건을 만족시키는 정수는 $a=1,\ 4$이므로

핵심 개념 4번: $x=a$에서의 우극한은 $x=a$의 오른쪽 조각이 시작하는 높이이다.

극한값이 존재하는 지점에서는 좌극한, 우극한, 극한값이 모두 같다.

따라서 $a=4$처럼 이미 극한값이 존재하는 지점은 우극한도 그 값과 같아 조건을 만족시킨다.

쉽게 말하면 — 우극한은 “이 자리에서 오른쪽으로 출발하는 길”이 어느 높이에서 시작하는지를 보는 것입니다. 왼쪽 길이 어디서 끝나는지는 상관없습니다.