함수의 극한 — 다항함수의 무한대에서의 극한: 최고차항의 부호와 차수의 홀짝으로 양 끝 방향 정하기

$g(x)=a$는 $x$의 값과 관계없이 항상 $a$인 상수함수이므로

이다. 또 $\{g(x)\}^2=a^2$ 역시 상수함수이므로

이다.

이를 주어진 식에 대입하면

이므로 $a^2+a-12=0$, 즉 $(a+4)(a-3)=0$에서 $a=-4$ 또는 $a=3$이다. 조건 $a>0$을 만족시키는 값은

이다.

핵심 개념 1번: 상수함수의 극한은 어느 쪽 끝에서든 그 상수이다.

$\{g(x)\}^2=a^2$ 자체가 다시 상수함수이므로 극한의 성질을 따로 쓰지 않고 곧바로 $a^2$이라고 해도 된다. 극한값이 주어지고 식 안의 미지수를 거꾸로 구하는 유형에서는 극한 기호를 먼저 정리해 미지수만 남은 방정식으로 바꾼 뒤 푼다.

쉽게 말하면 — 극한을 “구하는” 문제가 아니라 극한값을 단서로 상수를 역추적하는 문제입니다. 극한 계산은 첫 단계일 뿐이고 진짜 작업은 그 뒤에 나오는 이차방정식입니다.

$f(x)=2x^2-5x+1$의 최고차항은 $2x^2$이고 계수는 $2>0$이다. 최고차항을 묶으면

이다. $x\to\infty$일 때 괄호 안은 $2$에 가까워지고 $x^2$은 한없이 커지므로 $f(x)$는 한없이 커진다.

따라서

이다.

핵심 개념 2번: 다항함수의 극한은 최고차항의 극한과 같다.

$2x^2\to\infty$, $-5x\to-\infty$이므로 항별로 보면 $\infty-\infty$처럼 보인다. 그러나 두 항의 크기가 비슷하지 않고 이차항이 압도하므로, 결과는 $p=2>0$이라는 사실 하나로 정해진다. $-5x$와 $1$은 발산 여부에도 방향에도 영향을 주지 못한다.

쉽게 말하면 — 이차항의 계수 부호만 확인하면 끝입니다. $p>0$이면 위로, $p<0$이면 아래로라는 규칙 하나면 나머지 항이 무엇이든 신경 쓸 필요가 없습니다.

$f(x)=2x^5-3x^2+4$의 최고차항은 $2x^5$이다. 차수 $5$는 홀수이고 계수는 $2>0$이므로

이다. 차수가 홀수이면 $x\to-\infty$일 때 $x^5\to-\infty$이고, 양수 $2$를 곱해도 부호는 그대로이므로 $2x^5\to-\infty$이다.

따라서

이다.

핵심 개념 3번: 홀수차 다항함수의 양 끝은 반대 방향이다.

이 문제는 $n=5$(홀수), $a_n=2>0$이므로 오른쪽 끝에서 $\infty$, 왼쪽 끝에서 $-\infty$이다. 최고차항이 아닌 $-3x^2$과 $4$는 방향에 영향을 주지 않는다.

쉽게 말하면 — 차수가 홀수인지 확인하고 최고차항 계수의 부호만 보면 끝입니다. 왼쪽 끝은 오른쪽 끝의 반대라는 것만 함께 기억하면 됩니다.

세 식 모두 전개하지 않고 인수의 최고차항끼리 곱해 최고차항을 구한다.

(i) ㄱ

$(2x-1)(3-x^2)$의 최고차항은 $(2x)(-x^2)=-2x^3$이다. 차수는 홀수이고 계수는 음수이므로 $x\to-\infty$일 때

이다. ㄱ은 참이다.

(ii) ㄴ

$(x^2+1)(1-2x^2)$의 최고차항은 $(x^2)(-2x^2)=-2x^4$이다. 차수는 짝수이고 계수는 음수이므로 양 끝 모두 $-\infty$이다.

따라서 $\infty$라고 한 ㄴ은 거짓이다.

(iii) ㄷ

$(x-1)(x+2)(3-x)$의 최고차항은 $(x)(x)(-x)=-x^3$이다. 차수는 홀수이고 계수는 음수이므로 $x\to\infty$일 때

이다. ㄷ은 참이다.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

핵심 개념 4번: 다항식의 곱은 인수의 최고차항끼리 곱한 것이 전체의 최고차항이다.

이 결과를 핵심 개념 3번의 표에 넣어 방향을 읽는다. ㄱ과 ㄷ은 홀수차라 두 끝이 반대이고, ㄴ은 짝수차라 두 끝이 같다.

쉽게 말하면 — 보기마다 괄호에서 대장만 뽑아 곱한 다음, 차수가 짝수인지 홀수인지와 계수의 부호만 읽으면 됩니다. 전개는 필요 없습니다.

삼차항의 계수 $a^2-4$가 $0$인지 아닌지로 나누어 생각한다.

(i) $a^2-4\ne0$인 경우

최고차항은 $(a^2-4)x^3$이다. 차수가 홀수이므로 $x\to\infty$일 때 $-\infty$로 가려면 계수가 음수여야 한다.

정수 $a$는 $-1,\ 0,\ 1$이다.

(ii) $a^2-4=0$인 경우

$a=2$ 또는 $a=-2$이다. 삼차항이 사라지므로 나머지 식을 직접 본다.

• $a=2$: $f(x)=0\cdot x^2+x=x$이므로 $x\to\infty$일 때 $\infty$이다. 조건에 맞지 않는다.
• $a=-2$: $f(x)=-4x^2+x$이고 최고차항 $-4x^2$이 짝수차에 계수 음수이므로 $-\infty$이다. 조건에 맞는다.

(i), (ii)에서 가능한 정수 $a$는 $-2,\ -1,\ 0,\ 1$이므로 개수는

이다.

핵심 개념 5번: 최고차 계수에 문자가 있으면 그 계수가 $0$이 되는 값에서 차수가 내려간다.

최고차항의 계수가 $0$이 되면 $f(x)$의 차수는 $2$로 내려가고, 이차항의 계수 $a-2$까지 $0$이면 일차로 내려간다. 이때는 다음 항이 새로운 최고차항이 되어 핵심 개념 3번의 표를 그 항에 다시 적용한다.

쉽게 말하면 — 대장 자리에 있는 계수가 $0$이 되면 대장이 자리를 비우고 다음 서열의 항이 대장이 됩니다. 문자가 대장의 계수에 있으면 “대장이 비는 값”을 따로 불러 확인해야 합니다.

$2a-7$은 $a$가 자연수일 때 홀수이므로 $0$이 될 수 없다. 따라서 $f(x)$의 최고차항은 $(2a-7)x^3$이고 차수는 홀수이다.

홀수차는 $x\to-\infty$일 때 $x^3\to-\infty$이므로, 이 극한이 $\infty$가 되려면 계수 $2a-7$이 음수여야 한다.

이를 만족시키는 자연수 $a$는 $1,\ 2,\ 3$이므로 최댓값은

이다.

핵심 개념 3번과 5번: 홀수차에서 왼쪽 끝이 $\infty$이려면 최고차 계수가 음수이다.

방향을 알고 계수의 조건을 거꾸로 구하는 유형이다. $(a+1)x$의 계수는 대장이 아니므로 $a$가 무엇이든 방향에 관여하지 않는다.

쉽게 말하면 — “왼쪽 끝이 위로 간다”는 말은 홀수차에서는 “오른쪽 끝은 아래로 간다”는 말과 같습니다. 오른쪽 끝이 아래로 가려면 대장의 계수는 음수이고, 이것이 부등식 하나가 됩니다.

$a\ne0$이므로 $f(x)$의 최고차항은 $ax^3$이고 차수는 홀수이다.

$x\to-\infty$일 때 $x^3\to-\infty$이므로 $a>0$이면 $ax^3\to-\infty$이다. 조건에서 이 극한이 $\infty$이므로 $a<0$이다.

이제 $a<0$임을 알았으므로 $x\to\infty$일 때는 $x^3\to\infty$이고 음수 $a$를 곱하므로

이다.

핵심 개념 3번과 5번: 홀수차 다항함수는 양 끝이 반대 방향이므로 한쪽 끝의 방향으로 계수의 부호가 정해지고, 반대쪽 끝은 그 반대이다.

계수의 부호를 곱셈처럼 읽는다.

쉽게 말하면 — “$a \times (-\infty) = \infty$가 되려면 $a$는 무슨 부호여야 할까?”는 “$a \times (-2) = 6$이면 $a$는 무슨 부호일까?”와 같은 방식입니다. 음수끼리 곱해야 양수가 나오므로 $a<0$입니다.