함수의 극한 — 절댓값 안의 부호가 정해질 때: 대입과 무한대에서의 극한

$x\to-3$이므로 안의 식 $x-1$은 $-4$에 한없이 가까워진다. $-4\ne0$이므로 $-3$ 근처에서 $x-1$은 음수이고

이다. 따라서 $x$가 $-3$ 근처일 때

이고, 분모 $1-x$는 $4$에 가까워 $0$이 아니므로 $x=-3$을 그대로 대입한다.

핵심 개념 1번·2번: 안의 식 $x-1$은 다항식이라 $x=-3$을 대입한 값이 극한값이다. 그 값이 $0$이 아니면 $-3$ 근처에서 안의 식의 부호는 고정된다.

절댓값을 벗긴 식 $\dfrac{2}{1-x}+x$는 $x=-3$에서 분모가 $0$이 아니므로 직접대입으로 극한값이 구해진다.

쉽게 말하면 — $|x-1|$에서 $x$가 $-3$ 근처라면 $x-1$은 $-4$ 근처의 음수입니다. 음수의 절댓값은 부호를 뒤집은 것이니, 그대로 $1-x$로 쓰고 값을 넣으면 됩니다.

$x \to -\infty$이면 $x$가 $-2$로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 $|x+2|$의 값이 한없이 커진다.

분모가 한없이 커지므로

따라서

이다.

핵심 개념 3번·4번: 이 문제에 쓰이는 관계는 다음과 같다.

이 문제는 $p=-2$, $q=-1$, $c=3$인 경우이다. $x \to -\infty$라는 방향 자체는 $|x-(-2)| = |x+2|$가 한없이 커진다는 결론에 영향을 주지 못하므로, 곧바로 $\dfrac{3}{|x+2|} \to 0$을 적용하면 된다.

쉽게 말하면 — 절댓값 기호가 있으면 분모는 항상 $0$ 이상이면서 한없이 커지기만 합니다. 부호를 따로 신경 쓸 필요 없이 “분모가 커지면 분수는 사라진다”는 사실 하나만 적용하면 됩니다.

(i) 극한 조건으로 $a$ 구하기

$x \to \infty$이든 $x \to -\infty$이든 $|x|$는 똑같이 한없이 커지므로, $\dfrac{b}{|x|} \to 0$은 방향에 관계없이 항상 성립한다. 따라서

이고, 문제의 조건은

(ii) 함숫값 조건으로 $b$ 구하기

$a=4$를 대입하면 $f(x) = 4 + \dfrac{b}{|x|}$이고, $f(2)=7$이므로

(iii) 답 구하기

핵심 개념 4번: 이 문제에 쓰이는 관계는 다음과 같다.

실수 $x$가 어떤 방향으로 한없이 멀어지더라도 $|x|$는 항상 양의 무한대로 발산한다. 그래서 $x \to \infty$일 때의 극한값과 $x \to -\infty$일 때의 극한값이 애초에 서로 같은 $a$로 정해져 있으므로, “두 극한의 합이 $8$”이라는 조건은 사실상 $2a=8$이라는 하나의 식일 뿐이다. $a$가 정해진 뒤에는, 극한 조건만으로는 알 수 없는 $b$를 구하기 위해 구체적인 함숫값 $f(2)=7$이라는 별도의 조건이 필요하다.

쉽게 말하면 — 극한 조건은 상수항 $a$ 하나만 알려주는 창문이고, 함숫값 조건은 $b$까지 포함한 식 전체를 들여다보는 창문입니다. 미지수가 두 개면 서로 다른 종류의 창문이 하나씩 필요합니다.

(i) 극한 조건으로 $q$ 구하기

$x \to \infty$이면 $|x-p|$는 한없이 커지므로 $\dfrac{2}{|x-p|} \to 0$이다. 따라서

이고, 조건 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$로부터

(ii) 함숫값 조건으로 $p$ 구하기

$q=5$를 대입하면 $\displaystyle f(x) = \frac{2}{|x-p|} + 5$이고, $f(3)=7$이므로

이를 풀면 $p=2$ 또는 $p=4$인데, 조건 $p>3$을 만족하는 값은

뿐이다.

(iii) 답 구하기

핵심 개념 4번: 이 문제에 쓰이는 관계는 다음과 같다.

무한대에서의 극한 조건은 $p$의 값과 무관하게 오직 상수항 $q$만 결정해 준다 — $p$가 얼마든 $x \to \infty$일 때 $\dfrac{c}{|x-p|} \to 0$이라는 결론은 똑같기 때문이다. 그래서 $p$를 구하려면 극한 조건이 아니라 함숫값이라는 별도의 조건이 필요하고, $|3-p|=1$처럼 절댓값 방정식은 대개 해가 두 개 나오므로 문제에서 준 부등식 조건($p>3$)으로 하나를 걸러내야 한다.

쉽게 말하면 — 극한 조건은 “그래프가 결국 어떤 높이로 수렴하는가”만 알려줄 뿐, “점근선이 정확히 어디 있는가”는 알려주지 않습니다. 점근선의 위치를 알아내려면 실제로 곡선 위의 한 점(함숫값)을 찍어봐야 하고, 절댓값 때문에 후보가 두 개로 갈리면 문제의 범위 조건으로 하나를 골라내야 합니다.

(i) $x\to\infty$에서 구하기

$x$가 충분히 크면 $2x-1>0$이므로 $|2x-1|=2x-1$이다. 분자와 분모를 $x$로 나누면

(ii) $x\to-\infty$에서 구하기

$x$가 충분히 작으면 $2x-1<0$이므로 $|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1$이다.

(iii) 차 구하기

핵심 개념 3번·5번 ($c\ne0$일 때):

이 문제는 $a=2$, $c=1$인 경우이므로 양쪽 끝의 극한이 $2$와 $-2$이다. 절댓값을 풀 때 $x\to\infty$에서는 $2x-1$ 그대로, $x\to-\infty$에서는 부호를 뒤집은 $-(2x-1)$을 쓰는 것이 이 공식의 전부이다.

쉽게 말하면 — 같은 식이라도 오른쪽 끝에서는 분자가 $2x$, 왼쪽 끝에서는 $-2x$처럼 보입니다. 분모는 어느 쪽 끝에서나 $x$처럼 보이니 비는 $2$와 $-2$가 됩니다.

분자에 절댓값과 일차식이 함께 있으므로 끝마다 절댓값을 풀어 분자를 한 일차식으로 정리한다.

(i) $x\to\infty$에서 구하기

$x>0$이므로 $|x|=x$이고 분자는 $3x+x=4x$이다.

(ii) $x\to-\infty$에서 구하기

$x<0$이므로 $|x|=-x$이고 분자는 $3x-x=2x$이다.

(iii) 곱 구하기

핵심 개념 3번·5번: 분자에 절댓값 말고 다른 항이 섞여 있으면 공식을 곧바로 쓸 수 없다. 끝마다 절댓값을 풀어 분자를 한 개의 일차식으로 만든 뒤 분모와 최고차항의 계수를 비교한다.

분모 $x-2$의 최고차항 계수가 $1$이므로 극한값은 분자 일차식의 계수와 같다.

쉽게 말하면 — $3x+|x|$는 꺾인 직선입니다. 오른쪽에서는 기울기 $4$, 왼쪽에서는 기울기 $2$로 뻗어 나가니, 그 기울기가 곧 양쪽 끝의 극한입니다.

(i) $x\to\infty$에서 구하기

$x>3$이면 $|x-3|=x-3$이므로 분자는 $ax+x-3=(a+1)x-3$이다.

(ii) $x\to-\infty$에서 구하기

$x<3$이면 $|x-3|=-(x-3)=-x+3$이므로 분자는 $ax-x+3=(a-1)x+3$이다.

(iii) 조건으로 $a$ 구하기

$a$는 양수이므로 $a=4$이다.

핵심 개념 3번·5번: 일차식 $x-3$의 절댓값은 오른쪽 끝에서 $x-3$, 왼쪽 끝에서 $-(x-3)$이다. 그래서 분자 $ax+|x-3|$의 $x$ 계수는 오른쪽 끝에서 $a+1$, 왼쪽 끝에서 $a-1$이 된다.

분모 $x+2$의 최고차항 계수가 $1$이므로 극한값은 분자의 $x$ 계수와 같다. 상수항 $-3$, $+3$, 그리고 분모의 $+2$는 극한값에 영향을 주지 못한다.

쉽게 말하면 — 먼 곳에서 보면 $|x-3|$은 $\pm x$로 보이고 상수 $3$은 보이지 않습니다. 오른쪽 끝에서 $+x$, 왼쪽 끝에서 $-x$가 $ax$에 더해진다고 읽으면 계수 $a\pm1$이 곧바로 나옵니다.