함수의 극한 — 그래프로 점근선 읽기: 발산과 무한대에서의 극한 정하기

$x=2$의 세로 점선을 기준으로 왼쪽과 오른쪽을 따로 읽는다.

$x$가 $2$보다 작은 쪽에서 $2$에 가까워지면 곡선은 위로 끝없이 올라가고, $x$가 $2$보다 큰 쪽에서 가까워질 때도 위로 끝없이 올라간다.

좌우가 같은 방향으로 달아나므로

이다. 즉 양의 무한대로 발산한다.

핵심 개념 1번과 2번: 좌우가 같은 방향으로 끝없이 뻗으면 그 공통 방향이 발산 방향이다.

여기서 $\infty$는 극한값이 아니라 “양의 무한대로 발산한다”는 사실을 나타내는 표기이다.

쉽게 말하면 — 왼쪽도 위, 오른쪽도 위라면 두 값을 따로 계산해서 비교할 필요 없이 “위 = $\infty$”라고 바로 적으면 됩니다.

그래프의 오른쪽 끝과 왼쪽 끝을 따로 읽는다.

$x$가 한없이 커지면(오른쪽 끝) 곡선은 가로 점근선 $y=-2$에 한없이 가까워진다.

$x$가 음수이면서 절댓값이 한없이 커지면(왼쪽 끝)에도 곡선은 같은 가로 점근선 $y=-2$에 한없이 가까워진다.

따라서

이다.

핵심 개념 3번: 곡선의 한 끝이 가로 직선 $y=L$에 한없이 가까워지면 그 끝의 극한값이 $L$이다.

이 그래프는 세로 점근선을 사이에 두고 두 갈래로 나뉘어 있지만, 두 갈래의 바깥쪽 끝이 모두 같은 가로 점근선을 향한다.

쉽게 말하면 — 그래프가 가운데에서 끊어져 두 조각으로 보여도, 양쪽 끝이 향하는 가로줄이 같으면 두 극한값도 같습니다. “끊어져 보인다”는 인상과 “양 끝이 어디로 가는가”는 서로 다른 질문입니다.

왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 모양이 서로 다르므로 두 극한을 각각 따로 읽는다.

(i) 왼쪽 끝 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)$

$x$가 한없이 작아지면 곡선은 가로 점근선 $y=2$에 한없이 가까워진다. 이 끝은 수렴한다.

(ii) 오른쪽 끝 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$

$x$가 한없이 커지면 곡선은 가로 점근선에 붙지 않고 계속 아래로 내려간다. 이 끝은 음의 무한대로 발산한다.

따라서 옳은 설명은 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=2$, 즉 ②이다.

핵심 개념 3번: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$와 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)$는 그래프의 서로 다른 두 끝을 보는 독립적인 질문이다.

한쪽 끝이 수렴한다고 해서 다른 쪽 끝도 수렴하는 것은 아니고, 한쪽 끝이 발산한다고 해서 다른 쪽 끝도 같은 방향으로 발산하는 것도 아니다.

쉽게 말하면 — 그래프의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝은 서로 다른 동네입니다. 한쪽 동네를 조사했다고 다른 쪽 동네 사정까지 저절로 알 수 있는 것은 아닙니다.

세 값 $a$, $b$, $c$는 읽는 자리가 서로 다르다.

(i) $a$ 구하기

$x$가 한없이 커지면(오른쪽 끝) 곡선은 가로 점근선 $y=3$에 가까워진다.

(ii) $b$ 구하기

$x$가 한없이 작아지면(왼쪽 끝)에도 곡선은 같은 가로 점근선 $y=3$에 가까워진다.

(iii) $c$ 구하기

$g(-1)$은 극한이 아니라 $x=-1$에서 그래프에 실제로 찍힌 점의 높이이다. 그림에 표시된 점 $(-1,0)$을 그대로 읽는다.

(iv) 답 구하기

핵심 개념 3번: 무한대에서의 극한과 한 점에서의 함숫값은 성격이 다른 값이다.

$a$, $b$는 그래프의 끝이 멀리서 어디로 향하는지를 보는 값이고, $c$는 한 지점에 실제로 찍힌 높이를 읽는 값이다.

쉽게 말하면 — $a$, $b$는 “그래프가 멀리서 어디로 가는지”, $c$는 “그 자리에 점이 정확히 몇 층에 찍혀 있는지”입니다. 성격이 다른 세 수를 더하라는 문제일 뿐입니다.

조건은 “왼쪽 조각은 어떤 높이에 도착하고, 오른쪽 조각은 도착하지 못한다”이다. 정수 $a=-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$을 하나씩 확인한다.

$a=-1$은 그래프가 끊어져 좌극한 $1$, 우극한 $2$가 서로 다르지만 둘 다 존재한다. $a=0,\ 2$는 그래프가 이어진 곳이라 양쪽이 같은 높이로 도착한다. $a=1,\ 3$은 왼쪽 조각이 높이에 도착하지만 오른쪽 조각은 점선을 따라 달아나므로 우극한이 존재하지 않는다.

조건을 만족시키는 정수는 $a=1,\ 3$이므로

이다.

핵심 개념 4번: 한쪽 극한은 그쪽 조각이 하나의 높이에 도착하는가로 정해진다.

조각이 점근선을 따라 위나 아래로 끝없이 뻗으면 도착하는 높이가 없으므로 그쪽 한쪽 극한은 존재하지 않는다. 점근선이 있어도 반대쪽 조각이 어떤 높이에 도착하면 그쪽 한쪽 극한은 존재한다.

쉽게 말하면 — 점선 하나는 왼쪽 길과 오른쪽 길이 각각 어떻게 되는지를 따로 묻습니다. 한쪽 길이 하늘로 달아나도 반대쪽 길은 어딘가에 도착해 있을 수 있습니다.

(i) $g(x)$ 자체의 극한 읽기

세로 점선 $x=4$의 왼쪽과 오른쪽 조각이 각각 어디로 향하는지 확인한다. 양쪽 모두 위로 끝없이 올라간다.

따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 4}g(x)=\infty$이다.

(ii) 상수배와 덧셈을 차례로 적용하기

$g(x)$가 한없이 커지는 상태에서 음수 $-3$을 곱하면 크기는 그대로 커지지만 방향이 뒤집힌다.

여기에 유한한 상수 $2$를 더해도 한없이 작아지는 흐름은 바뀌지 않는다.

핵심 개념 5번: $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty$이고 $c$가 $0$이 아닌 상수, $d$가 임의의 상수일 때

곱해지는 상수의 부호가 발산 방향을 정하고, 더해지는 상수는 방향에 영향을 주지 못한다.

쉽게 말하면 — $-3$을 곱하는 것은 방향을 뒤집는 스위치이고, 뒤에 더해진 $2$는 끝없이 커지는 값 옆에 붙은 먼지 같은 존재입니다.

(i) $g(x)$ 자체의 좌우 읽기

$x=-1$의 왼쪽 조각은 아래로, 오른쪽 조각은 위로 끝없이 뻗는다.

좌우 방향이 다르므로 $\displaystyle\lim_{x\to -1}g(x)$는 $\infty$도 $-\infty$도 아니다. 그러나 문제가 묻는 것은 $g(x)$가 아니라 $\dfrac1{g(x)}$이므로 여기서 멈추면 안 된다.

(ii) 역수로 바꿔 다시 읽기

$x\to -1^{-}$일 때 $g(x)$는 음수이면서 크기가 한없이 커지므로 $\dfrac1{g(x)}$는 음수 쪽에서 $0$에 가까워진다. $x\to -1^{+}$일 때는 $g(x)$가 양수이면서 한없이 커지므로 $\dfrac1{g(x)}$는 양수 쪽에서 $0$에 가까워진다.

좌극한과 우극한이 모두 $0$으로 같으므로

이다.

핵심 개념 2번과 5번: 좌우 방향이 달라 극한이 없는 함수라도 $|g(x)|$가 한없이 커지면 그 역수는 $0$으로 간다.

쉽게 말하면 — $\dfrac1{100}$, $\dfrac1{10000}$, $\dfrac1{1000000}$처럼 분모가 커지면 값은 $0$에 가까워집니다. $\dfrac1{-100}$, $\dfrac1{-10000}$도 부호만 반대일 뿐 똑같이 $0$에 가까워집니다.