고2 2학기함수의 극한난이도 중객관식·단답형

함수의 극한 — 분수함수의 무한대에서의 극한: 분자와 분모의 차수를 비교해 극한과 방향 정하기

x→∞와 x→-∞에서 분수함수가 향하는 곳을 한 편에서 정리합니다. 분모만 커지는 분수가 0으로 가는 이유, 분자·분모를 최고차항으로 나누는 방법, 차수 비교로 극한값과 발산 방향을 읽는 규칙, 분수에서 다항식을 빼는 꼴과 계수 결정 문제를 익힙니다.

· 수정 2026. 10. 28.

핵심 개념

1. 분모의 절댓값만 한없이 커지는 분수는 0으로 간다

nn이 자연수이고 cc, pp가 상수일 때, 분자는 고정되어 있고 분모의 절댓값만 한없이 커지는 분수는 00에 한없이 가까워진다.

limx→∞c(x−p)n=0,limx→−∞c(x−p)n=0\lim_{x\to\infty}\frac{c}{(x-p)^n}=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{c}{(x-p)^n}=0

pp의 값은 결론에 영향을 주지 않는다. pp는 그래프를 좌우로 옮길 뿐이고, ∣x∣|x|가 한없이 커지면 ∣x−p∣|x-p|도 한없이 커지기 때문이다. 다만 00에 다가오는 쪽은 다르다. 1x−p\dfrac{1}{x-p}은 x→∞x\to\infty에서 양수 쪽으로, x→−∞x\to-\infty에서 음수 쪽으로 00에 가까워지고, 1(x−p)2\dfrac{1}{(x-p)^2}은 양 끝 모두 양수 쪽에서 00에 가까워진다. 극한값은 어느 경우든 00이다.

분자는 고정이고 분모만 커지므로 서로 맞서는 크기가 없다. ∞−∞\infty-\infty나 ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}처럼 보이는 식이 아니다.

쉽게 말하면 — 케이크 한 조각을 xx명이 나눠 먹는다고 생각해 보세요. 사람이 한없이 늘어나면 한 사람 몫은 00에 가까워집니다. 케이크 크기 cc가 얼마든, 나누는 사람의 수가 한없이 커지는 한 결론은 같습니다.

2. 분자와 분모를 분모의 차수에 맞춰 나눈다

f(x)=px+qrx+sf(x)=\dfrac{px+q}{rx+s} (p≠0p\ne0, r≠0r\ne0)는 분자와 분모의 절댓값이 모두 한없이 커지므로 겉보기에는 ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}이다. 이때 분모의 차수가 11이므로 분자와 분모를 모두 xx로 나눈다.

px+qrx+s=p+qxr+sx ⟶ pr(x→±∞)\frac{px+q}{rx+s}=\frac{p+\dfrac{q}{x}}{r+\dfrac{s}{x}}\ \longrightarrow\ \frac{p}{r}\quad(x\to\pm\infty)

분자는 pp에, 분모는 rr에 각각 유한한 값으로 수렴하므로 몫의 극한으로 정해진다. x≠0x\ne0에서 같은 수로 나누는 것은 식을 바꾸지 않는 변형이므로 xx가 음수여도 부호 문제는 생기지 않는다. 분모의 차수가 22이면 분자와 분모를 x2x^2으로 나눈다. p=0p=0이면 분자가 상수라 처음부터 00이 되고, 이 경우도 공식 pr=0\dfrac{p}{r}=0과 맞는다.

쉽게 말하면 — ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}는 식의 겉모습일 뿐입니다. 같은 수로 위아래를 나누면 “확정된 값 ÷ 확정된 값”이 되어 답이 정해집니다. 상수항 qq, ss는 xx로 나누는 순간 사라집니다.

3. 차수를 비교하면 극한이 한눈에 정해진다

f(x)=anxn+⋯bmxm+⋯f(x)=\dfrac{a_nx^n+\cdots}{b_mx^m+\cdots} (an≠0a_n\ne0, bm≠0b_m\ne0)이면 최고차항 anxna_nx^n, bmxmb_mx^m의 차수 nn, mm만 비교하면 된다. 식을 f(x)=xn−m⋅an+⋯bm+⋯f(x)=x^{n-m}\cdot\dfrac{a_n+\cdots}{b_m+\cdots}로 쓰면 뒤의 분수는 anbm\dfrac{a_n}{b_m}에 가까워지기 때문이다.

차수 비교x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty의 극한
분자 << 분모 (n<mn<m)00
분자 == 분모 (n=mn=m)anbm\dfrac{a_n}{b_m} (두 끝 모두)
분자 >> 분모 (n>mn>m)∞\infty 또는 −∞-\infty로 발산

발산하는 방향은 몫의 최고차항 anbmxn−m\dfrac{a_n}{b_m}x^{n-m}의 방향이다. 다항함수의 양 끝 규칙이 그대로 적용되어, n−mn-m이 짝수이면 두 끝이 같은 방향이고 홀수이면 반대 방향이다. 극한값이 실수로 정해지는 첫 두 경우에는 두 끝의 값이 항상 같고, 방향이 갈릴 수 있는 것은 분자의 차수가 더 클 때뿐이다.

00
y=4xx2+1y=\dfrac{4x}{x^2+1}
 분자 차수가 작다
22
y=2x2+1x2+1y=\dfrac{2x^2+1}{x^2+1}
 차수가 같다
−∞-\infty
∞\infty
y=x3x2+1y=\dfrac{x^3}{x^2+1}
 분자 차수가 크다
분자 차수가 작으면 양 끝이 00으로, 차수가 같으면 계수의 비로 모이고, 분자 차수가 크면 발산합니다. 세 번째 그림은 차수의 차가 홀수라 양 끝이 반대로 향합니다.

쉽게 말하면 — 분자와 분모가 힘겨루기를 하는데, 차수가 높은 쪽이 이깁니다. 분모가 이기면 00, 비기면 계수끼리의 비, 분자가 이기면 발산입니다. 발산할 때만 부호를 따로 챙기면 됩니다.

4. 분수에서 다항식을 빼는 꼴은 통분해 한 분수로 만든다

2x2+3x−1−2x\dfrac{2x^2+3}{x-1}-2x처럼 분수와 다항식의 차에서 두 항이 모두 발산하고 방향이 같으면, 항별 극한을 따로 구해 빼는 것은 ∞−∞\infty-\infty가 되어 값을 알 수 없다. 이런 식은 통분해 하나의 분수로 만든 뒤 3번의 표를 적용한다. (한 항이 00이나 어떤 수로 수렴하면 ∞−∞\infty-\infty 꼴이 아니므로, 항별로 3번의 표를 적용해도 된다.)

2x2+3x−1−2x=(2x2+3)−2x(x−1)x−1=2x+3x−1\frac{2x^2+3}{x-1}-2x=\frac{(2x^2+3)-2x(x-1)}{x-1}=\frac{2x+3}{x-1}

정리한 식은 분자와 분모의 차수가 같으므로 극한은 계수의 비인 22이다. 합과 차의 극한을 각각 구해 합치는 방법은 두 극한이 모두 존재할 때만 쓸 수 있다.

쉽게 말하면 — 두 개의 큰 수를 따로 재서 빼면 오차가 값 전체를 삼켜 버립니다. 먼저 한 식으로 합쳐 큰 부분끼리 지워 버린 뒤에 남은 것을 재야 합니다.

5. 극한값이 주어지면 차수 조건으로 최고차 계수부터 정한다

분수식의 극한값이 실수로 존재하면 분자의 차수가 분모의 차수 이하여야 한다. 극한값이 00이 아닌 실수이면 두 차수가 같고 그 값은 계수의 비이며, 00이면 분자의 차수가 더 작다.

분자에 문자 계수가 들어 있으면 분모보다 높은 차수의 계수를 00으로 놓고, 같은 차수의 계수의 비를 극한값과 맞춘다. f(x)−g(x)xk\dfrac{f(x)-g(x)}{x^k} 꼴의 극한이 실수이면, 분자의 xkx^k보다 높은 차수 계수는 모두 00이어야 하고 극한값이 xkx^k의 계수가 된다. 이를 높은 차수에서 낮은 차수로 반복해 계수를 차례로 정한다.

쉽게 말하면 — 극한값이 유한하다는 조건은 “분자가 분모보다 키가 크면 안 된다”는 말입니다. 키를 넘는 계수를 먼저 깎아 내고, 같은 키의 계수가 극한값을 정합니다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 4단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

  1. 위아래 다항식에서 가장 높은 차수와 그 계수를 읽습니다.
  2. 위의 차수가 더 작으면 답은 00입니다.
  3. 차수가 같으면 계수끼리 나눈 값이 답입니다.
  4. 위의 차수가 더 크면 ∞\infty 또는 −∞-\infty입니다. 부호는 1번에서 찾은 최고차항끼리 나눈 식의 부호로 정합니다.

※ x→∞x\to\infty 또는 x→−∞x\to-\infty이고 위아래가 모두 00이 아닌 xx의 다항식인 분수의 기본형입니다. 분수에서 다항식을 빼는 모양과 극한값이 주어진 문제는 아래 문제 해설을 보세요.

유제

문제 1 · 기본

함수 h(x)=9−2(x+3)2\displaystyle h(x) = 9 - \frac{2}{(x+3)^2}에 대하여 limx→∞h(x)\displaystyle\lim_{x \to \infty} h(x)의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 9

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

  1. xx가 한없이 커지면 아래 (x+3)2(x+3)^2도 한없이 커집니다.
  2. 위가 숫자 22인 분수는 아래가 한없이 커지면 00에 가까워집니다. 2(x+3)2→0\frac{2}{(x+3)^2}\to0
  3. 남은 99가 답입니다. 9−0=99-0=9 → 정답 99

※ 위가 숫자이고 아래만 한없이 커질 때만 이렇게 하세요.

자세한 풀이 보기

x→∞x\to\infty일 때 (x+3)2(x+3)^2은 한없이 커지고 분자 22는 고정이므로

limx→∞2(x+3)2=0\lim_{x\to\infty}\frac{2}{(x+3)^2}=0

이다. 따라서

limx→∞h(x)=9−0=9\lim_{x\to\infty}h(x)=9-0=9

이다.

−3-3
99
x→∞x\to\infty
xx가 오른쪽으로 한없이 멀어지면 곡선은 직선 y=9y=9에 한없이 가까워집니다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번: 분자가 고정이고 분모의 절댓값만 한없이 커지는 분수는 00으로 간다.

limx→∞c(x−p)n=0\lim_{x\to\infty}\frac{c}{(x-p)^n}=0

h(x)h(x)는 상수 99와 이 꼴의 분수의 차이므로, 분수 부분이 00이 되고 상수 99만 남는다.

쉽게 말하면 — 분수 부분은 나누는 사람이 한없이 늘어나는 케이크입니다. 한 사람 몫이 00으로 사라지고 나면 상수 99만 남습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

(x+3)2(x+3)^2의 33이나 분자의 22 같은 숫자는 걱정하지 않아도 된다. 분자가 고정이라면 아무리 큰 수여도 한없이 커지는 분모 앞에서는 00으로 갈 수밖에 없고, 분모에서 xx 옆에 붙은 33은 xx가 커진 뒤에는 있으나 마나 하다.

확인할 것은 하나뿐이다. 분모의 절댓값이 정말 한없이 커지는가이다. 11+1x\dfrac{1}{1+\frac1x}처럼 분모가 11로 모이는 식은 분자가 고정이어도 00이 아니다. 이 문제의 분모 (x+3)2(x+3)^2은 x→∞x\to\infty에서 한없이 커지므로 분수 부분은 00이고 남은 상수 99를 읽으면 된다.

다음 문제
문제 2 · 기본

함수 f(x)=2x+34x−1\displaystyle f(x) = \frac{2x+3}{4x-1}에 대하여 limx→∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)의 값은?

  • ① 14\dfrac{1}{4}
  • ② 12\dfrac{1}{2}
  • ③ 11
  • ④ 22
  • ⑤ 극한값은 존재하지 않는다.
정답과 해설 보기
정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요4단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

  1. 위쪽 식 2x+32x+3에서 xx 바로 앞에 붙은 숫자만 봅니다. 22
  2. 아래쪽 식 4x−14x-1에서 xx 바로 앞에 붙은 숫자만 봅니다. 44
  3. +3+3, −1-1처럼 xx가 없는 숫자는 쓰지 않고 버립니다.
  4. 위 숫자를 아래 숫자로 나눕니다. 24=12\frac{2}{4}=\frac{1}{2} → 정답 ②

※ xx가 한없이 커지거나 작아지는 극한(x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty)에서, 위쪽과 아래쪽 모두 xx가 한 번씩만 곱해진 식(일차식)일 때만 이렇게 하세요. 어느 한쪽에 x2x^2 같은 것이 있으면 다른 방법입니다.

자세한 풀이 보기

분자와 분모를 모두 xx로 나눈다.

f(x)=2x+34x−1=2+3x4−1xf(x)=\frac{2x+3}{4x-1}=\frac{2+\dfrac{3}{x}}{4-\dfrac{1}{x}}

x→∞x\to\infty일 때 3x→0\dfrac{3}{x}\to0, 1x→0\dfrac{1}{x}\to0이므로 분자는 22에, 분모는 44에 가까워진다.

12\frac12
x→∞x\to\infty
xx가 오른쪽으로 한없이 멀어지면 곡선은 직선 y=12y=\frac12에 한없이 가까워집니다.

따라서

limx→∞f(x)=24=12\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{2}{4}=\frac12

이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번과 3번: 분자와 분모의 차수가 같으면 극한은 최고차 계수의 비이다.

limx→±∞px+qrx+s=pr(r≠0)\lim_{x\to\pm\infty}\frac{px+q}{rx+s}=\frac{p}{r}\quad(r\ne0)

분자와 분모 모두 한없이 커지지만 xx에 비례해서 커지므로, 둘의 비는 계수의 비로 일정해진다.

쉽게 말하면 — 위아래를 xx로 나누는 순간 상수항은 사라지고 xx 앞의 계수만 남습니다. 결국 2x4x\dfrac{2x}{4x}의 비만 보는 것입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

∞∞\dfrac{\infty}{\infty}라는 겉모습에 속아 “극한값이 존재하지 않는다”(⑤)를 고르거나, xx에 큰 수를 대입해 보고 어림하는 것은 비효율적이다. 위아래의 최고차 계수만 뽑아 24\dfrac{2}{4}를 읽으면 계산은 한 줄로 끝난다.

상수항 33과 −1-1이 답에 영향을 주지 못하는 이유는 xx가 커질수록 2x2x, 4x4x에 비해 비율이 00으로 줄어들기 때문이다. 상수항의 부호나 크기가 달라져도 답은 12\dfrac12이다.

다음 문제
문제 3 · 응용

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. limx→−∞x3−1x2+1=∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-1}{x^2+1}=\infty

ㄴ. limx→∞x2+12x−1=∞\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{2x-1}=\infty

ㄷ. limx→−∞3x2−x1−x2=−3\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2-x}{1-x^2}=-3

  • ① ㄱ
  • ② ㄴ
  • ③ ㄱ, ㄴ
  • ④ ㄱ, ㄷ
  • ⑤ ㄴ, ㄷ
정답과 해설 보기
정답 ⑤

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 보기마다 위와 아래에서 가장 높은 차수와 그 계수를 읽습니다.
  2. 위의 차수가 아래보다 크면 ∞\infty 또는 −∞-\infty입니다. ㄱ은 위 33차, 아래 22차이고 맨 앞 항끼리 나누면 xx입니다. x→−∞x\to-\infty이므로 −∞-\infty입니다. 보기는 ∞\infty라서 ㄱ은 틀립니다.
  3. ㄴ은 위 22차(계수 11), 아래 11차(계수 22)이고 맨 앞 항끼리 나누면 12x\frac{1}{2}x입니다. x→∞x\to\infty이므로 ∞\infty입니다. ㄴ은 옳습니다.
  4. 위아래의 차수가 같으면 계수끼리 나눕니다. ㄷ은 위 33, 아래 −1-1이므로 3−1=−3\frac{3}{-1}=-3입니다. ㄷ은 옳습니다.
  5. 옳은 것은 ㄴ, ㄷ입니다. → 정답 ⑤

※ x→∞x\to\infty 또는 x→−∞x\to-\infty에서, 위아래가 모두 xx의 다항식인 분수일 때만 이렇게 하세요. 위의 차수가 더 작으면 답은 00입니다.

자세한 풀이 보기

보기마다 분자와 분모의 차수와 최고차 계수를 읽어 핵심 개념 3번의 표에 넣는다.

(i) ㄱ

분자는 33차, 분모는 22차이므로 n−m=1n-m=1(홀수)이고, 몫의 최고차항은 11x=x\dfrac{1}{1}x=x이다. x→−∞x\to-\infty일 때 x→−∞x\to-\infty이므로

limx→−∞x3−1x2+1=−∞\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-1}{x^2+1}=-\infty

이다. ∞\infty라고 한 ㄱ은 거짓이다.

(ii) ㄴ

분자는 22차, 분모는 11차이므로 n−m=1n-m=1이고, 몫의 최고차항은 12x\dfrac{1}{2}x이다. x→∞x\to\infty일 때

limx→∞x2+12x−1=∞\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{2x-1}=\infty

이다. ㄴ은 참이다.

(iii) ㄷ

분자와 분모가 모두 22차이고 최고차 계수는 33과 −1-1이다.

limx→−∞3x2−x1−x2=3−1=−3\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2-x}{1-x^2}=\frac{3}{-1}=-3

이다. ㄷ은 참이다.

−∞-\infty
 ㄱ
∞\infty
 ㄴ
−3-3
 ㄷ
ㄱ은 왼쪽 끝이 아래로, ㄴ은 오른쪽 끝이 위로 향하고, ㄷ은 왼쪽 끝이 −3-3으로 모입니다.

옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번: 분자의 차수 nn, 분모의 차수 mm, 최고차 계수 ana_n, bmb_m을 읽는다.

  • n<mn<m이면 00, n=mn=m이면 anbm\dfrac{a_n}{b_m}
  • n>mn>m이면 발산하고 방향은 anbmxn−m\dfrac{a_n}{b_m}x^{n-m}의 방향

쉽게 말하면 — 보기마다 숫자 세 개(분자 차수, 분모 차수, 계수의 비)만 읽으면 됩니다. 계산은 필요 없고, 부호는 항상 챙겨야 합니다. 차수가 같을 때는 계수의 비가 음수일 수 있고(ㄷ), 발산일 때는 그 부호가 방향을 정합니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

ㄱ에서 분자 x3−1x^3-1과 분모 x2+1x^2+1을 “둘 다 양수 같으니 ∞\infty”라고 어림하는 것이 함정이다. x→−∞x\to-\infty에서 분자 x3−1x^3-1은 음수이고, 분모 x2+1x^2+1은 어느 쪽 끝에서도 항상 양수이므로 몫은 음수 쪽으로 간다. 이 보기는 분모는 방향을 바꾸지 않고 분자의 홀수차가 방향을 뒤집는 경우이다.

ㄷ에서는 분모 1−x21-x^2의 최고차항이 −x2-x^2이므로 최고차 계수가 −1-1이다. 분모의 최고차 계수를 읽을 때는 식의 맨 앞에 쓰인 항이 아니라 차수가 가장 높은 항을 찾아야 한다. 맨 앞의 11을 계수로 읽으면 33이 되어 틀린다.

다음 문제
문제 4 · 응용

함수 f(x)=ax+62x+b\displaystyle f(x) = \frac{ax+6}{2x+b} (aa, bb는 상수)에 대하여 limx→−∞f(x)=3\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3이고 f(1)=4f(1) = 4일 때, a+ba+b의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 7

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 위아래가 모두 xx가 한 번씩만 곱해진 식이므로 xx 앞의 숫자끼리 나눕니다. a2=3\frac{a}{2}=3이므로 a=6a=6
  2. f(1)=4f(1)=4에 a=6a=6, x=1x=1을 넣습니다. 6×1+62×1+b=122+b=4\frac{6\times1+6}{2\times1+b}=\frac{12}{2+b}=4
  3. 양쪽에 2+b2+b를 곱해 풉니다. 12=4(2+b)12=4(2+b), 2+b=32+b=3이므로 b=1b=1
  4. 더합니다. a+b=6+1=7a+b=6+1=7

※ xx가 한없이 커지거나 작아지는 극한(x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty)이고, 위아래가 모두 xx가 한 번씩만 곱해진 식(일차식)일 때만 “xx 앞 숫자끼리 나누기”를 쓰세요. x→ax\to a처럼 한 점으로 가는 극한에는 쓰지 마세요.

자세한 풀이 보기

(i) 극한 조건으로 aa 구하기

분자와 분모를 xx로 나눈다.

limx→−∞ax+62x+b=limx→−∞a+6x2+bx=a2\lim_{x\to-\infty}\frac{ax+6}{2x+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{a+\dfrac{6}{x}}{2+\dfrac{b}{x}}=\frac{a}{2}

이 값이 33이므로 a=6a=6이다.

(ii) 함숫값 조건으로 bb 구하기

f(1)=6+62+b=4f(1)=\dfrac{6+6}{2+b}=4에서 2+b=32+b=3이므로 b=1b=1이다.

33
x→−∞x\to-\infty
xx가 왼쪽으로 한없이 멀어지면 곡선은 직선 y=3y=3에 한없이 가까워집니다. 이 그림은 a=6a=6, b=1b=1일 때의 그래프입니다.

(iii) 답 구하기

a+b=6+1=7a+b=6+1=7

이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번과 3번: 분자와 분모의 차수가 같은 분수의 극한은 최고차 계수의 비이다.

limx→±∞ax+62x+b=a2\lim_{x\to\pm\infty}\frac{ax+6}{2x+b}=\frac{a}{2}

이 식에는 bb가 들어 있지 않다. 분모의 상수항 bb는 xx로 나누는 순간 bx→0\dfrac{b}{x}\to0이 되어 극한에서 사라지기 때문이다.

쉽게 말하면 — 극한 조건은 xx 앞의 계수 aa만 알려 주고, 상수항 bb는 알려 주지 않습니다. 그래서 상수항을 정하려면 극한이 아닌 다른 조건(f(1)=4f(1)=4)이 필요합니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

미지수가 둘이고 조건이 둘이라 연립으로 풀어야 할 것 같지만, 두 조건은 서로 다른 미지수를 각각 정한다. 극한 조건은 xx 앞의 계수들, 함숫값 조건은 상수항을 정하는 역할로 나뉘어 있다.

일차식 분수에서 x→−∞x\to-\infty이든 x→∞x\to\infty이든 극한값은 같으므로 부호를 걱정할 필요가 없다. 이 글의 표에서 방향이 갈릴 수 있는 것은 분자 차수가 더 클 때뿐이다.

다음 문제
문제 5 · 응용

상수 aa, bb에 대하여 함수 f(x)=ax2+bx+1x−1\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+bx+1}{x-1}이 limx→∞f(x)=5\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=5를 만족시킬 때, f(2)f(2)의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 11

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기3단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 극한값이 숫자(55)로 주어졌으면 위의 차수가 아래보다 크면 안 됩니다. (위가 더 크면 답이 ∞\infty나 −∞-\infty가 됩니다. 이유는 정석 풀이에서 확인합니다.) 아래가 x−1x-1로 일차이므로 위의 x2x^2 항은 없어야 하고 a=0a=0입니다.
  2. a=0a=0이면 bx+1x−1\frac{bx+1}{x-1}이고, 위아래 xx 앞의 숫자끼리 나누면 bb입니다. 이 값이 55이므로 b=5b=5
  3. f(2)f(2)를 구합니다. xx 자리에 22를 넣으면 5×2+12−1=11\frac{5\times2+1}{2-1}=11 → 정답 1111

※ x→∞x\to\infty이고 위아래가 모두 xx의 다항식인 분수에서, 극한값이 숫자로 주어졌을 때만 1번 규칙을 쓸 수 있습니다.

자세한 풀이 보기

(i) aa 정하기

극한값이 실수 55로 존재하려면 분자의 차수가 분모의 차수 이하여야 한다. 분모는 일차이므로 분자가 이차이면 안 된다. a≠0a\ne0이라 하면 분자는 이차이고 몫의 최고차항이 axax이므로 x→∞x\to\infty일 때 ∞\infty 또는 −∞-\infty로 발산해 조건에 맞지 않는다. 따라서

a=0a=0

이다.

(ii) bb 정하기

a=0a=0이면 f(x)=bx+1x−1f(x)=\dfrac{bx+1}{x-1}이고 분자와 분모를 xx로 나누어 b+1x1−1x\dfrac{b+\frac1x}{1-\frac1x}로 보면

limx→∞bx+1x−1=b\lim_{x\to\infty}\frac{bx+1}{x-1}=b

이다. 이 값이 55이므로 b=5b=5이다.

55
x→∞x\to\infty
a=0a=0, b=5b=5이면 f(x)=5x+1x−1f(x)=\dfrac{5x+1}{x-1}이고, xx가 한없이 커지면 곡선은 직선 y=5y=5에 가까워집니다.

(iii) f(2)f(2) 구하기

f(2)=5⋅2+12−1=11f(2)=\frac{5\cdot2+1}{2-1}=11

이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번과 5번: 분수식의 극한값이 00이 아닌 실수이면 분자와 분모의 차수가 같고, 그 값은 최고차 계수의 비이다.

분자에 이차항이 있으면(분모보다 키가 크면) 그 계수가 00이 아닌 한 발산한다. 그래서 극한이 실수라는 조건은 이차항의 계수를 00으로 못박는 조건이다.

쉽게 말하면 — “극한이 유한하다”는 조건은 분자가 분모보다 키가 크면 안 된다는 말이라, 키를 넘는 ax2ax^2 항을 먼저 잘라 냅니다. 같은 키가 된 뒤에는 계수의 비가 극한값입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

aa와 bb를 둘 다 미지수로 남겨 두고 위아래를 xx로 나누기 시작하면 ax+b+1x1−1x\dfrac{ax+b+\frac1x}{1-\frac1x}에서 axax 항이 남아 막힌다. 이럴 때는 계산을 시작하기 전에 “극한값이 있으려면 axax가 사라져야 한다”고 읽어야 한다.

a=0a=0이 확정되면 문제는 문제 2와 같은 일차식 분수로 줄어든다. 극한 조건 하나가 a=0a=0과 b=5b=5를 모두 정해 주므로 이 문제의 조건은 부족하지 않다. f(2)f(2)를 구하는 마지막 줄은 단순 대입이다.

다음 문제
문제 6 · 응용

limx→−∞(2x2+3x−1−2x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{2x^2+3}{x-1}-2x\right)의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 2

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 따로 보면 2x2+32x^2+3을 x−1x-1로 나눈 식도, 2x2x도 모두 −∞-\infty로 가는 “큰 수 빼기 큰 수” 모양이라 바로 구할 수 없습니다. 먼저 하나의 분수로 합칩니다.
  2. 2x2x의 아래를 x−1x-1로 맞춥니다. (2x2+3)−2x(x−1)x−1\frac{(2x^2+3)-2x(x-1)}{x-1}
  3. 위를 계산합니다. 2x2+3−2x2+2x=2x+32x^2+3-2x^2+2x=2x+3이므로 식은 2x+3x−1\frac{2x+3}{x-1}입니다.
  4. 위아래 xx 앞의 숫자끼리 나눕니다. 지금은 위아래가 모두 일차식입니다. 21=2\frac{2}{1}=2 → 정답 22

※ x→±∞x\to\pm\infty에서, 합친 뒤 위아래가 모두 일차식일 때 xx 앞의 숫자끼리 나눕니다. “큰 수 빼기 큰 수” 모양이면 먼저 하나의 분수로 합치세요.

자세한 풀이 보기

항별로 보면 2x2+3x−1\dfrac{2x^2+3}{x-1}은 분자가 이차, 분모가 일차이고 몫의 최고차항이 2x2x이므로 x→−∞x\to-\infty에서 −∞-\infty로 가고, 2x2x도 −∞-\infty로 간다. 두 항의 차는 ∞−∞\infty-\infty 꼴이라 따로 구할 수 없으므로 통분한다.

2x2+3x−1−2x=(2x2+3)−2x(x−1)x−1=2x+3x−1\frac{2x^2+3}{x-1}-2x=\frac{(2x^2+3)-2x(x-1)}{x-1}=\frac{2x+3}{x-1}

분자와 분모가 모두 일차이므로 최고차 계수의 비를 읽으면

limx→−∞2x+3x−1=21=2\lim_{x\to-\infty}\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2}{1}=2

이다.

x→−∞x\to-\infty
y=2xy=2x
곡선 y=2x2+3x−1y=\frac{2x^2+3}{x-1}과 직선 y=2xy=2x는 x→−∞x\to-\infty에서 둘 다 아래로 내려가지만, 두 그래프 사이의 세로 간격은 22에 가까워집니다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: 분수와 다항식의 차는 통분해 한 분수로 만든 뒤 차수를 비교한다.

P(x)Q(x)−R(x)=P(x)−R(x)Q(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}-R(x)=\frac{P(x)-R(x)Q(x)}{Q(x)}

이 문제에서는 통분하면 분자에서 2x22x^2이 서로 지워져 분자가 일차식 2x+32x+3으로 내려갔다. 이렇게 지워지는 것은 분수의 몫의 최고차항(2x2x)과 빼는 식(2x2x)이 같기 때문이며, 통분하면 항상 지워지는 것은 아니다.

쉽게 말하면 — 두 큰 수의 차는 먼저 큰 부분끼리 지워서 작은 몫을 남겨야 합니다. 통분은 큰 부분을 지우는 도구입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

각 항을 따로 보면 분수 항도 2x2x도 −∞-\infty로 간다. 이때 “둘 다 −∞-\infty이니 차도 −∞-\infty”라고 답하거나 “같은 곳으로 가니 차는 00”이라고 답하면 틀린다. 큰 부분끼리 지우고 남는 작은 부분이 답이고, 그 작은 부분을 드러내는 도구가 통분이다.

그림에서 곡선과 직선이 모두 내려가고 있다는 사실과 둘 사이의 간격이 22로 일정해진다는 사실은 서로 모순이 아니다. 극한값이 유한하다는 말은 두 큰 값의 차가 유한한 수로 모인다는 말이다. x→∞x\to\infty에서도 같은 식이 22로 모인다.

다음 문제
문제 7 · 응용

삼차함수 f(x)f(x)가

limx→∞f(x)−2x3x2=3,limx→∞f(x)−2x3−3x2x=−1\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=3,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3-3x^2}{x}=-1

을 만족시키고 f(0)=4f(0)=4일 때, f(1)f(1)의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 8

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d라고 놓습니다.
  2. 첫째 조건에서 x2x^2으로 나눈 극한이 숫자가 되려면 삼차항이 남으면 안 되므로 a=2a=2입니다. 그러면 극한값은 이차항의 계수 bb이므로 b=3b=3입니다.
  3. 둘째 조건은 xx로 나눈 극한입니다. a=2a=2, b=3b=3이면 이차항까지 지워지고 극한값은 일차항의 계수 cc이므로 c=−1c=-1입니다.
  4. f(0)=4f(0)=4는 x=0x=0을 넣은 값이므로 상수항 d=4d=4입니다.
  5. f(x)=2x3+3x2−x+4f(x)=2x^3+3x^2-x+4에 x=1x=1을 넣습니다. 2+3−1+4=82+3-1+4=8 → 정답 88

※ x→∞x\to\infty 또는 x→−∞x\to-\infty에서, 다항식을 xx의 거듭제곱으로 나눈 식의 극한이 숫자로 주어졌을 때만 쓰는 방법입니다. 나누는 거듭제곱과 같은 차수 항의 계수가 극한값이고, 그보다 높은 차수의 항은 없어야 합니다.

자세한 풀이 보기

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0a\ne0)라 하고 조건을 높은 차수부터 적용한다.

(i) 첫째 조건: aa와 bb

f(x)−2x3x2=(a−2)x+b+cx+dx2\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=(a-2)x+b+\frac{c}{x}+\frac{d}{x^2}

이 극한이 실수로 존재하려면 분자의 차수가 분모의 차수 22 이하여야 하므로 삼차항이 없어야 한다. 즉 a−2=0a-2=0에서 a=2a=2이다. 이때 극한값은 이차항의 계수이므로 b=3b=3이다.

(ii) 둘째 조건: cc

a=2a=2, b=3b=3을 대입하면

f(x)−2x3−3x2x=c+dx\frac{f(x)-2x^3-3x^2}{x}=c+\frac{d}{x}

이므로 극한값은 cc이다. 따라서 c=−1c=-1이다.

(iii) dd와 f(1)f(1)

f(0)=d=4f(0)=d=4이다. 그러므로 f(x)=2x3+3x2−x+4f(x)=2x^3+3x^2-x+4이고

f(1)=2+3−1+4=8f(1)=2+3-1+4=8

이다.

조건이 계수를 차례로 정하는 과정을 표로 정리하면 다음과 같다.

조건극한이 실수가 되려면정해지는 계수
f(x)−2x3x2→3\dfrac{f(x)-2x^3}{x^2}\to3삼차항 계수 a−2=0a-2=0, 극한값은 이차항 계수a=2a=2, b=3b=3
f(x)−2x3−3x2x→−1\dfrac{f(x)-2x^3-3x^2}{x}\to-1이차항 이상이 지워짐, 극한값은 일차항 계수c=−1c=-1
f(0)=4f(0)=4상수항d=4d=4

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번: g(x)xk\dfrac{g(x)}{x^k}의 극한이 실수이면 gg의 차수는 kk 이하이고, 극한값은 gg의 xkx^k 항의 계수이다.

g(x)g(x)가 다항식일 때 xkx^k보다 높은 차수의 항은 g(x)xk\dfrac{g(x)}{x^k}에서 발산하는 항으로 남으므로 계수가 00이어야 한다. 이 두 규칙으로 높은 차수의 계수부터 차례로 정해진다.

쉽게 말하면 — 나눈 분모의 키가 곧 “살아남는 항의 키”입니다. 분모가 x2x^2이면 이차항의 계수가 극한값이 되고, 그보다 높은 항은 반드시 00이어야 하며, 그보다 낮은 항은 사라집니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

두 극한 조건은 서로 다른 층을 담당한다. 분모가 x2x^2인 첫째 조건은 삼차항과 이차항을, 분모가 xx인 둘째 조건은 일차항을 정한다. 위에서 아래로 한 층씩 계수를 정해 나가는 구조이므로 연립방정식을 세울 필요가 없다.

첫째 조건에서 극한값 33을 곧바로 “x3x^3의 계수가 33”으로 읽지 않도록 주의한다. 분모가 x2x^2이므로 극한값은 x2x^2의 계수 bb이고, x3x^3의 계수는 22로 이미 주어져 있다. 몇 차 항의 계수를 읽는지는 분모의 차수가 정한다.

#함수의 극한#무한대에서의 극한#분수함수#차수 비교#최고차항#미적분Ⅰ

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