함수의 극한 — 0/0 꼴의 극한값을 유리화로 약분하여 구하기

핵심 개념

1. 근호가 있는 0/0 꼴은 켤레식을 곱해 근호를 없앤다

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ 에 $x=0$ 을 대입하면 분자 $\sqrt{4}-2=0$ , 분모 $0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 인수분해로 약분하는 방법처럼 분자·분모의 공통인수 $(x-a)$ 를 찾아야 하는데, 근호가 있으면 인수분해가 잘 되지 않는다. 이때는 근호를 없애서 $(x-a)$ 가 드러나게 만든다.

근호가 있는 식 $\sqrt{A}-B$ 에 켤레식 $\sqrt{A}+B$ 를 곱하면 곱셈공식 $(p-q)(p+q)=p^2-q^2$ 에 의해 근호가 사라진다.

(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2

분자와 분모에 같은 켤레식을 곱하면 분수의 값은 변하지 않는다. (켤레식이 $0$ 이 아닐 때. 이 글의 문제에서는 켤레식이 $x$ 가 $a$ 에 가까울 때 양수이다.)

\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \quad (x\neq 0)

이제 $x=0$ 을 대입하면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이다.

$x$	$\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$
$-0.1$	$0.2516$
$-0.01$	$0.2502$
$0$	정의되지 않음
$0.01$	$0.2498$
$0.1$	$0.2485$

y=\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}

의 그래프는

x=0

인 점 하나만 뚫린 곡선입니다. 구멍을 향해 다가가는 높이는

\dfrac14

입니다.

쉽게 말하면 — 근호가 있으면 약분할 인수가 숨어서 보이지 않습니다. 켤레식은 근호를 지워서 숨은 $(x-a)$ 를 꺼내는 열쇠입니다. 근호가 있는 쪽에 켤레식을 곱하고, 분수의 값이 변하지 않도록 반대쪽에도 똑같이 곱해 주면 됩니다.

2. 근호가 분자에 있으면 분자를, 분모에 있으면 분모를 유리화한다

근호가 있는 쪽의 켤레식을 분자·분모에 모두 곱한다.

분자에 근호: $\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$ 는 분자의 켤레식 $\sqrt{x+7}+3$ 을 곱한다. 분자가 $(x+7)-9=x-2$ 가 되어 분모와 약분된다.
분모에 근호: $\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}$ 는 분모의 켤레식 $\sqrt{x+1}+2$ 를 곱한다. 분모가 $(x+1)-4=x-3$ 이 되어 분자와 약분된다.

약분한 뒤에는 다시 $x=a$ 를 대입한다. 분모에 근호가 남은 모양이어도, $0$ 이 아니기만 하면 그대로 대입하면 된다.

3. 근호가 두 개인 식은 두 근호를 하나의 덩어리로 본다

$\sqrt{A}-\sqrt{B}$ 의 켤레식은 $\sqrt{A}+\sqrt{B}$ 이고, 곱하면 $A-B$ 가 된다.

(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B

$\dfrac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}$ 처럼 두 근호의 차이면 분자의 켤레식 $\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}$ 를 곱하면 분자가 $(4+x)-(4-x)=2x$ 가 된다.

4. 유리화와 인수분해를 함께 쓰는 경우

분모가 이차식이면 분자를 유리화한 뒤 나타나는 $(x-a)$ 와 분모를 인수분해해서 얻는 $(x-a)$ 를 약분한다. 유리화와 인수분해는 서로 다른 도구이지만, 목표는 같다. 분자·분모에서 $(x-a)$ 를 드러내는 것이다.

무리식끼리 나누는 식 $\dfrac{\sqrt{A}-B}{\sqrt{C}-D}$ 는 분자와 분모를 각각 유리화한다. 분자에서는 $(x-a)$ 를 가진 식이, 분모에서도 $(x-a)$ 를 가진 식이 나와 서로 약분된다.

5. 극한값이 주어지면 분자가 0이 되는 조건부터 세운다

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{\sqrt{x+p}-q}{x-a}=L$ ( $L$ 은 유한한 값)이면 분모가 $0$ 에 가까워지므로 분자도 $0$ 에 가까워져야 한다. 이 조건으로 $\sqrt{a+p}=q$ 라는 식을 얻고, 유리화해서 나온 값으로 $L$ 에 대한 식을 하나 더 세운다. 마지막에는 구한 값이 근호 안을 양수로 만드는지 확인한다.

정리: 근호가 있는 분수식의 극한에서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴을 만났을 때

$x=a$ 를 대입해 분자·분모가 모두 $0$ 인지 확인한다.

근호가 있는 쪽(두 군데 모두 있으면 둘 다)의 켤레식을 분자·분모에 곱한다.

$(x-a)$ 를 약분하고 다시 $x=a$ 를 대입한다. 극한값이 주어진 문제는 분자가 $0$ 이 되는 조건부터 세운다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 3단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

$x=a$ 를 넣어 봅니다. 아래가 $0$ 이 아닌 수로 나오면, 대입해서 계산한 분수 전체의 값이 극한값이고 끝입니다. 위아래가 모두 $0$ 이면 아래 2~3번을 합니다.
루트가 있는 쪽의 켤레식(가운데 부호만 바꾼 식)을 위아래에 곱합니다.
$(x-a)$ 를 지우고(필요하면 인수분해해서) 남은 식의 $x$ 자리에 $a$ 를 넣습니다.

※ $x\to a$ ( $a$ 는 실수)이고 $a$ 보다 조금 작은 값과 조금 큰 값 모두에서 원래 식이 실수로 정의되며, 근호 안의 식과 근호 밖의 식(분모·다른 항)이 모두 다항식이고, 루트가 위 또는 아래 한쪽에만 있고 그쪽이 두 항의 합·차이며, 처음 $x=a$ 를 넣었을 때 (아래가 $0$ 이 아닌 수) 또는 (위아래가 모두 $0$ )이 되고, 한 번 유리화한 뒤 $(x-a)$ 를 지우면 아래에 넣은 값이 $0$ 이 아닌 기본형입니다. 그 밖의 식은 아래 문제 해설을 보세요.

유제

문제 1 · 기본

$\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$ 의 값은?

① 0
② $\dfrac{1}{3}$
③ 6
④ $\dfrac{1}{9}$
⑤ $\dfrac{1}{6}$

정답과 해설 보기

정답 ⑤

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x$ 자리에 $2$ 를 넣어 봅니다. 위는 $\sqrt9-3=0$ , 아래는 $0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~5번을 하라는 신호입니다.
루트가 있는 위쪽의 켤레식을 만듭니다. 가운데 부호만 바꾸면 $\sqrt{x+7}-3$ 의 켤레식은 $\sqrt{x+7}+3$ 입니다.
위아래에 이 켤레식을 곱합니다. 위는 $(x+7)-9=x-2$ 가 되고, 아래는 $(x-2)(\sqrt{x+7}+3)$ 이 됩니다.
위아래에 똑같이 있는 $(x-2)$ 를 지웁니다. $\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}$ 이 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $2$ 를 넣습니다. $\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$ → 정답 ⑤

※ 루트가 있는 식에서 1번에 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 이렇게 하세요. 5번에서 아래에 넣은 값이 $0$ 이면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=2$ 를 대입하면 분자는 $\sqrt{9}-3=0$ , 분모는 $0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자의 켤레식 $\sqrt{x+7}+3$ 을 분자와 분모에 곱하면

\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=\frac{(x+7)-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}

$x\neq 2$ 에서 $(x-2)$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x+7}+3}$ 이므로

\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·2번: 근호가 분자에 있으므로 분자의 켤레식 $\sqrt{x+7}+3$ 을 곱한다. $(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$ 에서 $A=x+7$ , $B=3$ 이므로 분자는 $x+7-9=x-2$ 가 된다.

쉽게 말하면 — 분자에 근호가 있어서 약분할 $(x-2)$ 가 숨어 있습니다. 켤레식을 곱하면 근호가 사라지고 숨은 $(x-2)$ 가 나타납니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

유리화 문제에서 “무엇을 곱하는가”를 헷갈리는 일이 많다. 규칙은 하나다. 근호가 있는 식의 부호만 바꾼 식을 곱한다. $\sqrt{x+7}-3$ 이면 $\sqrt{x+7}+3$ 이다.

켤레식을 곱한 뒤 분자는 반드시 $(x-2)$ 모양이 된다. 분자를 계산했는데 $(x-2)$ 가 나오지 않았다면 계산이 틀렸다는 신호이다. 이 점을 검산 기준으로 삼아도 좋다. 또 $x=2$ 일 때 $A-B^2=(x+7)-9$ 가 $0$ 이 되는 것은 처음 대입했을 때 분자가 $0$ 이었던 사실과 같은 이야기다.

다음 문제

문제 2 · 기본

$\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}$ 의 값은?

① 0
② 4
③ $\dfrac{1}{4}$
④ 2
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x$ 자리에 $3$ 을 넣어 봅니다. 위는 $0$ , 아래는 $\sqrt4-2=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 문제에서는 아래 2~5번을 합니다.
루트가 아래쪽에 있으므로 아래의 켤레식을 만듭니다. $\sqrt{x+1}-2$ 의 켤레식은 $\sqrt{x+1}+2$ 입니다.
위아래에 이 켤레식을 곱합니다. 아래는 $(x+1)-4=x-3$ 이 되고, 위는 $(x-3)(\sqrt{x+1}+2)$ 가 됩니다.
위아래에 똑같이 있는 $(x-3)$ 을 지웁니다. $\sqrt{x+1}+2$ 가 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $3$ 을 넣습니다. $\sqrt4+2=4$ → 정답 ②

※ 이 문제는 아래에만 루트가 있어서 한 번 유리화하면 약분됩니다. 위아래에 루트가 모두 있는 다른 문제는 이 순서만으로 풀리지 않을 수 있습니다. 약분한 뒤 아래에 넣은 값이 $0$ 이면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=3$ 을 대입하면 분자는 $0$ , 분모는 $\sqrt{4}-2=0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 근호가 분모에 있으므로 분모의 켤레식 $\sqrt{x+1}+2$ 를 분자와 분모에 곱한다.

\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}=\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(x+1)-4}=\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{x-3}

$x\neq 3$ 에서 $(x-3)$ 을 약분하면 $\sqrt{x+1}+2$ 이므로

\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}=\sqrt{3+1}+2=4

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번: 근호가 분모에 있으면 분모의 켤레식을 곱한다. 분모가 $(x+1)-4=x-3$ 이 되어 분자의 $(x-3)$ 과 약분된다. 분모의 $(x-3)$ 이 분자의 $(x-3)$ 과 약분되고, 분자에 곱했던 켤레식 $\sqrt{x+1}+2$ 만 남는다.

쉽게 말하면 — 분모에 근호가 있어도 방법은 같습니다. 분모의 근호를 지우는 켤레식을 곱하면, 분모에 $(x-3)$ 이 나타나서 분자와 약분됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

분모에 근호가 있는 $\dfrac{0}{0}$ 꼴을 보고 “분모가 $0$ 이니 극한이 없다”고 답하는 실수가 많다. 분자도 $0$ 이라는 사실이 약분 가능하다는 신호이다.

검산법도 있다. 이 문제의 식을 위아래로 뒤집은 $\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$ 는 분자를 유리화하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\to\dfrac{1}{4}$ 이다. 뒤집은 식의 극한이 $\dfrac14$ 이면 원래 식의 극한은 그 역수 $4$ 이다. 오답 선지 $\dfrac14$ 는 위아래를 뒤집어 푼 경우를 노린 것이다.

다음 문제

문제 3 · 응용

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답

\dfrac{1}{2}

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$x$ 자리에 $0$ 을 넣어 봅니다. 위는 $\sqrt4-\sqrt4=0$ , 아래는 $0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~5번을 하라는 신호입니다.
위쪽의 켤레식을 만듭니다. 루트 두 개 사이의 부호만 바꾸면 $\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}$ 입니다.
위아래에 이 켤레식을 곱합니다. 위는 $(4+x)-(4-x)=2x$ 가 되고, 아래는 $x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})$ 가 됩니다.
위아래에 똑같이 있는 $x$ 를 지웁니다. $\frac{2}{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}$ 가 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $0$ 을 넣습니다. $\frac{2}{2+2}=\frac{1}{2}$ → 정답 $\frac{1}{2}$

※ 루트가 있는 식에서 1번에 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 이렇게 하세요. 5번에서 아래에 넣은 값이 $0$ 이면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=0$ 을 대입하면 분자는 $\sqrt{4}-\sqrt{4}=0$ , 분모는 $0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자의 켤레식 $\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}$ 를 분자와 분모에 곱하면

\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}=\frac{(4+x)-(4-x)}{x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}=\frac{2x}{x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}

$x\neq 0$ 에서 $x$ 를 약분하면 $\dfrac{2}{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}$ 이므로

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번: $(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$ 이다. 여기서 $A=4+x$ , $B=4-x$ 이므로 $A-B=2x$ 가 되어 분모의 $x$ 와 약분된다.

쉽게 말하면 — 근호가 두 개여도 두 근호를 한 덩어리로 보고 부호만 바꾼 식을 곱하면 됩니다. 곱하고 나면 근호가 모두 사라지고 $2x$ 가 남습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

근호가 두 개라고 해서 따로따로 유리화할 필요가 없다. $\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}$ 전체의 켤레식 하나만 곱하면 근호가 한 번에 사라진다.

계산에서 가장 자주 틀리는 부분은 분자를 $(4+x)-(4-x)$ 로 쓸 때 괄호를 빼먹는 것이다. 괄호 없이 $4+x-4-x$ 로 쓰면 $0$ 이 되어 버린다. 뒤의 괄호가 통째로 빠지는 것이므로 $-(4-x)=-4+x$ 임을 확인해 $2x$ 를 얻는다.

다음 문제

문제 4 · 응용

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-1}$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답

\dfrac{1}{8}

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$x$ 자리에 $1$ 을 넣어 봅니다. 위는 $\sqrt4-2=0$ , 아래는 $1-1=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~5번을 하라는 신호입니다.
루트가 있는 위쪽의 켤레식 $\sqrt{x+3}+2$ 를 위아래에 곱합니다.
위는 $(x+3)-4=x-1$ 이 됩니다. 아래는 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 로 쪼개 두면 $(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)$ 가 됩니다.
위아래에 똑같이 있는 $(x-1)$ 을 지웁니다. $\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}$ 이 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $1$ 을 넣습니다. $\frac{1}{2\times4}=\frac{1}{8}$ → 정답 $\frac{1}{8}$

※ 루트가 있는 식에서 1번에 $\frac{0}{0}$ 이 나왔을 때만 이렇게 하세요. 5번에서 아래에 넣은 값이 $0$ 이면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=1$ 을 대입하면 분자는 $\sqrt{4}-2=0$ , 분모는 $1-1=0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자의 켤레식 $\sqrt{x+3}+2$ 를 곱하고, 분모는 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 로 인수분해한다.

\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-1}=\frac{(x+3)-4}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}

$x\neq 1$ 에서 $(x-1)$ 을 약분하면 $\dfrac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}$ 이므로

\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-1}=\frac{1}{(1+1)(\sqrt{4}+2)}=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·4번: 근호는 켤레식으로, 이차식은 인수분해로 처리한다. 분자에서는 유리화로 $(x-1)$ 이 나타나고, 분모에서는 인수분해로 $(x-1)$ 이 나타나서 둘이 약분된다.

쉽게 말하면 — 분자와 분모가 서로 다른 방법으로 같은 인수 $(x-1)$ 을 드러냅니다. 도구가 두 개일 뿐 목표는 하나입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

분모를 전개한 채로 두면 약분할 상대를 찾지 못한다. 분모가 이차식이면 인수분해부터 해 두는 습관이 필요하다. $x^2-1$ 이 $(x-1)(x+1)$ 이라는 것은 대입했을 때 분모가 $0$ 이 된 사실에서도 예측된다. $x=1$ 이 근이면 $(x-1)$ 이 인수다.

약분한 뒤 남은 식에는 근호가 아직 분모에 있다. 하지만 $\sqrt{4}+2=4$ 로 $0$ 이 아니므로 그대로 대입하면 된다. 유리화의 목표는 근호를 모두 없애는 것이 아니라 $(x-a)$ 를 약분해 $\dfrac{0}{0}$ 을 해소하는 것이라는 점을 기억하자.

다음 문제

문제 5 · 응용

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답

\dfrac{3}{2}

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$x$ 자리에 $1$ 을 넣어 봅니다. 위는 $\sqrt4-2=0$ , 아래는 $\sqrt9-3=0$ 이라 $\frac{0}{0}$ 이 나옵니다. 이 모양이 나오면 아래 2~5번을 하라는 신호입니다.
위의 $\sqrt{x+3}-2$ 는 켤레식을 곱해서 $\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}$ 로 바꿉니다. 분자에는 $(x+3)-2^2=x-1$ 이 나옵니다.
아래의 $\sqrt{x+8}-3$ 도 같은 방법으로 $\frac{x-1}{\sqrt{x+8}+3}$ 으로 바꿉니다. 분자에는 $(x+8)-3^2=x-1$ 이 나옵니다.
위아래에 있는 $(x-1)$ 을 지우면 $\frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2}$ 가 남습니다.
남은 식의 $x$ 자리에 $1$ 을 넣습니다. $\frac{3+3}{2+2}=\frac{3}{2}$ → 정답 $\frac{3}{2}$

※ 이 문제처럼 위아래를 각각 유리화했을 때 새로 생기는 분자가 똑같이 $x-1$ 인 경우에만 4번처럼 지울 수 있습니다. 앞에 다른 숫자가 남으면 함께 계산하세요. 5번에서 아래에 넣은 값이 $0$ 이면 이 방법이 아닙니다.

자세한 풀이 보기

$x=1$ 을 대입하면 분자는 $\sqrt{4}-2=0$ , 분모는 $\sqrt{9}-3=0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자와 분모를 각각 유리화한다.

\sqrt{x+3}-2=\frac{(x+3)-4}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}, \qquad \sqrt{x+8}-3=\frac{(x+8)-9}{\sqrt{x+8}+3}=\frac{x-1}{\sqrt{x+8}+3}

따라서 $x\neq 1$ 에서

\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}=\frac{\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}}{\dfrac{x-1}{\sqrt{x+8}+3}}=\frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2}

이므로

\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}=\frac{\sqrt{9}+3}{\sqrt{4}+2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: 무리식끼리 나눈 식은 분자와 분모를 각각 유리화한다. 각각 $(x-1)$ 이 나타나므로 서로 약분된다. 한 번에 하려면 분자와 분모에 두 켤레식의 곱 $(\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{x+8}+3)$ 을 똑같이 곱한다.

쉽게 말하면 — 분자도 분모도 같은 $(x-1)$ 을 숨기고 있습니다. 각각 유리화해서 숨은 $(x-1)$ 을 꺼내면 서로 지워지고, 남은 두 근호식의 비가 답입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

분자와 분모가 $0$ 으로 가는 “속도”를 비교하는 문제로 볼 수 있다. 유리화하면 분자는 $(x-1)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$ , 분모는 $(x-1)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x+8}+3}$ 이다. 둘 다 $(x-1)$ 에 어떤 식을 곱한 꼴인데, $x\to1$ 일 때 그 곱해진 식이 각각 $\dfrac14$ , $\dfrac16$ 에 가까워진다. $(x-1)$ 은 약분되고 남은 두 값의 비가 $\dfrac{\frac14}{\frac16}=\dfrac{6}{4}=\dfrac32$ 이다.

주의할 점은 분수의 위와 아래에 서로 다른 식을 곱하면 분수의 값이 달라진다는 것이다. 분자에만 $\sqrt{x+3}+2$ 를, 분모에만 $\sqrt{x+8}+3$ 을 곱하면 안 된다. 풀이처럼 각 근호식을 $\sqrt{A}-B=\dfrac{A-B^2}{\sqrt{A}+B}$ 로 따로 고쳐 쓰거나, 위와 아래에 같은 식(두 켤레식의 곱)을 곱하는 두 방법 중 하나를 일관되게 써야 한다. 또 마지막 식이 분자와 분모가 뒤집힌 $\dfrac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2}$ 모양이라는 점도 헷갈리기 쉽다.

다음 문제

문제 6 · 응용

상수 $a$ , $b$ 에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt{x+a}-b}{x-3}=\dfrac{1}{4}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 3

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기7단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

아래 $x-3$ 이 $x=3$ 에서 $0$ 이고 극한값이 숫자이므로, 위에 $x=3$ 을 넣은 값도 $0$ 이어야 합니다. (이유는 정석 풀이에서 확인합니다.) $\sqrt{3+a}-b=0$ 이므로 $b=\sqrt{3+a}$ , 즉 $b^2=3+a$
위아래에 켤레식 $\sqrt{x+a}+b$ 를 곱합니다. 위는 $(x+a)-b^2$ 인데, $b^2=3+a$ 를 넣으면 $x-3$ 이 됩니다.
위아래의 $(x-3)$ 을 지우면 $\frac{1}{\sqrt{x+a}+b}$ 가 남습니다. 여기에 $x=3$ 을 넣으면 $\frac{1}{\sqrt{3+a}+b}=\frac{1}{b+b}=\frac{1}{2b}$ 입니다.
이 값이 $\frac{1}{4}$ 이므로 $2b=4$ , $b=2$
$b^2=3+a$ 에 $b=2$ 를 넣습니다. $4=3+a$ 이므로 $a=1$
더합니다. $a+b=1+2=3$
확인합니다. $a=1$ 이면 $x=3$ 근처에서 $x+1$ 은 $4$ 근처라 $0$ 보다 큽니다.

※ 1번 규칙은 아래가 $0$ 으로 가고 극한값이 숫자로 주어졌을 때만 쓸 수 있습니다. 루트 안 $x+a$ 가 $x=3$ 근처에서 $0$ 보다 커야 하므로 구한 $a$ 를 넣어 확인하세요.

자세한 풀이 보기

$x\to 3$ 일 때 분모 $x-3\to 0$ 이고 극한값이 $\dfrac{1}{4}$ 로 존재하므로, 분자도 $0$ 에 가까워져야 한다. 극한을 생각하려면 근호 안이 $x=3$ 근처에서 양수여야 하므로 $3+a>0$ 이고, 이때 분자의 극한값은 $\sqrt{3+a}-b$ 이다. 이 값이 $0$ 이어야 하므로

\sqrt{3+a}-b=0 \ \Longrightarrow\ b=\sqrt{3+a}, \quad b^2=3+a

분자의 켤레식 $\sqrt{x+a}+b$ 를 곱하면

\frac{\sqrt{x+a}-b}{x-3}=\frac{(x+a)-b^2}{(x-3)(\sqrt{x+a}+b)}=\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+a}+b)}=\frac{1}{\sqrt{x+a}+b} \quad (x\neq 3)

( $x+a-b^2=x+a-(3+a)=x-3$ 이다.) 극한값이 $\dfrac{1}{4}$ 이므로

\frac{1}{\sqrt{3+a}+b}=\frac{1}{2b}=\frac{1}{4} \ \Longrightarrow\ b=2

$b^2=3+a$ 에서 $a=1$ 이므로

a+b=1+2=3

검산: $a=1$ , $b=2$ 이면 $x=3$ 근처에서 $x+1>0$ 이고 $\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\to\dfrac14$ 로 조건과 일치한다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번: 극한값이 유한하게 존재하는데 분모가 $0$ 으로 가면 분자도 $0$ 으로 가야 한다. 이 조건이 $b$ 와 $a$ 사이의 관계식 $b^2=3+a$ 를 준다. 이 식 덕분에 유리화했을 때 분자가 정확히 $x-3$ 이 된다.

쉽게 말하면 — “분자가 $0$ 이 된다”는 조건이 첫 번째 식이고, “약분하고 남은 값이 $\dfrac{1}{4}$ 이다”가 두 번째 식입니다. 미지수가 둘이면 식도 둘입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

미지수 두 개를 한꺼번에 구하려 하면 막힌다. 첫 번째 단계에서 분자가 $0$ 이어야 한다는 조건으로 $a$ 를 $b$ 로 표현하면, 유리화한 분자가 깔끔하게 $x-3$ 이 되어 약분이 일어난다. 이 순서가 풀이의 뼈대이다.

분자가 $0$ 이 되는 조건에서 $b=\sqrt{3+a}$ 이므로 $b\geq 0$ 이다. 혹시 $b=0$ 이 아닐까 걱정될 수 있는데, $b=0$ 이면 $a=-3$ 이고 식은 $\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-3}=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}$ 이 된다. 이 식은 $x$ 가 $3$ 보다 작을 때 정의되지 않고, $3$ 보다 클 때는 한없이 커지므로 극한값이 $\dfrac14$ 일 수 없다. 따라서 $b>0$ 은 따로 주어지지 않아도 저절로 정해진다. 마지막에 구한 $a=1$ 이 근호 안 $x+1$ 을 양수로 만드는지 확인하면 검산이 끝난다.

다음 문제

문제 7 · 응용

함수 $f(x)$ 가 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}=3$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+f(x)}-1}{x}$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답

\dfrac{3}{2}

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$\frac{f(x)}{x}$ 의 극한이 숫자( $3$ )로 주어졌고 아래 $x$ 는 $0$ 으로 가므로, $f(x)$ 도 $0$ 으로 갑니다. (이유는 정석 풀이에서 확인합니다.)
구하는 식의 위쪽 $\sqrt{1+f(x)}-1$ 에 켤레식 $\sqrt{1+f(x)}+1$ 을 곱합니다. 위는 $(1+f(x))-1=f(x)$ 가 되어 $\frac{f(x)}{x}\times\frac{1}{\sqrt{1+f(x)}+1}$ 로 바뀝니다.
앞부분 $\frac{f(x)}{x}$ 는 조건에서 $3$ 으로 갑니다.
뒷부분은 $f(x)$ 가 $0$ 으로 가므로 $f(x)$ 자리에 $0$ 을 넣습니다. $\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$
두 값을 곱합니다. $3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ → 정답 $\frac{3}{2}$

※ 극한값이 숫자로 주어졌을 때만 1번 규칙을 쓸 수 있습니다.

자세한 풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=3$ 이므로, $x\to 0$ 일 때

f(x)=x\cdot\frac{f(x)}{x}\ \longrightarrow\ 0\cdot 3=0

이다. 따라서 $x\to 0$ 에서 $\sqrt{1+f(x)}-1\to \sqrt{1}-1=0$ 이고 분모도 $0$ 이므로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이다. 분자의 켤레식 $\sqrt{1+f(x)}+1$ 을 곱하면

\frac{\sqrt{1+f(x)}-1}{x}=\frac{(1+f(x))-1}{x(\sqrt{1+f(x)}+1)}=\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+f(x)}+1}

$x\to 0$ 에서 $\dfrac{f(x)}{x}\to 3$ 이고 $f(x)\to 0$ 이므로 $\dfrac{1}{\sqrt{1+f(x)}+1}\to\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ 이다. 두 극한이 모두 존재하므로 곱의 극한은 극한의 곱이다.

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+f(x)}-1}{x}=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·2번: 근호가 분자에 있으므로 분자의 켤레식을 곱한다. 이때 $(1+f(x))-1=f(x)$ 가 되어 주어진 조건의 모양 $\dfrac{f(x)}{x}$ 가 그대로 나타난다. 두 극한이 각각 존재하면 곱의 극한은 극한의 곱이다.

쉽게 말하면 — 함수식이 주어지지 않아도 괜찮습니다. 유리화를 하고 나면 주어진 조건 $\dfrac{f(x)}{x}$ 가 저절로 만들어집니다. 나머지 부분은 $f(x)\to0$ 만 알면 계산됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

$f(x)$ 가 구체적으로 주어지지 않아서 막막해 보이지만, 필요한 정보는 두 가지뿐이다. $\dfrac{f(x)}{x}\to 3$ 과 $f(x)\to 0$ 이다. 둘째는 첫째에서 $f(x)=x\cdot\dfrac{f(x)}{x}$ 로 쓰면 바로 얻어진다.

유리화의 효과는 근호를 없애는 데서 그치지 않는다. 분자가 $f(x)$ 한 덩어리로 정리되어 조건과 같은 모양이 나온다. 문제에서 주어진 극한과 같은 모양을 만들도록 식을 변형한다는 관점은 함수 조건이 주어진 문제 전반에서 쓸모가 있다. 예를 들어 $f(x)=3x+x^2$ 이라고 두고 직접 계산해 보면 같은 값 $\dfrac32$ 가 나오는지로 검산할 수 있다.

#함수의 극한#부정형#0/0 꼴#유리화#켤레식#미정계수#미적분Ⅰ