고2 2학기함수의 극한난이도 중객관식·단답형

함수의 극한 — 경계점에서 극한값이 존재하는지 판정하기: 좌극한과 우극한, 함숫값과의 구분

극한값은 좌극한과 우극한이 같은 실수일 때만 존재합니다. 한쪽 극한이 각각 있어도 값이 다르면 극한값이 없다는 점, 경계의 함숫값은 판정에 끼지 않는다는 점, 좌극한과 우극한을 L, R로 놓고 조건을 연립하는 방법을 한 편에서 익힙니다.

· 수정 2026. 10. 28.

핵심 개념

1. 극한값이 존재한다는 것은 좌극한과 우극한이 같은 실수라는 뜻이다

x→ax\to a일 때의 극한값은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 같은 실수일 때만 존재한다.

limx→af(x)가 존재  ⟺  limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=L (L은 실수)\lim_{x\to a}f(x)\text{가 존재}\iff \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L\ (L\text{은 실수})

존재하면 그 공통값 LL이 극한값이다. 좌극한과 우극한이 모두 ∞\infty로 갈 때처럼 값이 실수가 아니면 극한값이 존재한다고 하지 않는다. 앞에서 본 것처럼 ∞\infty는 수가 아니라 “한없이 커지는 중”이라는 표시이기 때문이다.

limx→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
aa
LL
y=f(x)y=f(x)
두 조각이 같은 높이 LL에서 만나면 좌극한과 우극한이 같아서 x→ax\to a일 때의 극한이 존재하고, 그 값은 LL입니다.

쉽게 말하면 — 왼쪽 길과 오른쪽 길이 같은 높이에서 만나야 “x→ax\to a이면 여기로 간다”고 하나로 말할 수 있습니다. 두 길이 어떤 식으로 생겼는지는 상관이 없습니다.

2. 한쪽 극한이 각각 있어도 값이 다르면 극한값은 없다

한쪽 극한이 있다는 말과 극한값이 있다는 말을 구분해야 한다.

상황좌극한우극한극한값
같은 실수LLLL존재 (LL)
다른 실수LLMM존재하지 않음

좌극한이나 우극한 중 하나라도 ±∞\pm\infty이면 극한값은 존재하지 않는다.

표의 둘째 줄이 헷갈리는 부분이다. 좌극한도 분명한 값이 있고 우극한도 분명한 값이 있지만, 두 값이 다르면 극한값만 존재하지 않는다. “극한값이 없다”는 말이 “한쪽 극한도 없다”는 뜻은 아니다.

x→a−x\to a^{-}
x→a+x\to a^{+}
aa
p(a)p(a)
q(a)q(a)
y=f(x)y=f(x)
왼쪽에서는 직선 조각을 따라 높이 p(a)p(a)로, 오른쪽에서는 곡선 조각을 따라 높이 q(a)q(a)로 향합니다. 두 높이가 다르므로 x→ax\to a일 때의 극한은 존재하지 않습니다. ○는 그래프에 포함되지 않는 점이고 ●는 (a, f(a))(a,\,f(a))입니다.

쉽게 말하면 — 방향마다 도착지가 있는 것과, 모든 방향이 같은 도착지를 가리키는 것은 다른 이야기입니다. 극한값이 존재한다는 말은 뒤쪽입니다.

3. 함숫값은 판정에 끼지 않는다

x=ax=a에서의 함숫값 f(a)f(a)는 그 한 점에 실제로 대응된 값이고, 극한값은 x=ax=a를 뺀 주변에서 함숫값이 향하는 곳이다. 그래서 극한값의 존재 여부와 그 값은 f(a)f(a)가 얼마인지와 상관없이 좌극한과 우극한만으로 정해진다.

limx→af(x)를 구할 때, f(a)가 얼마로 정의되어 있는지는 계산에 관여하지 않는다\lim_{x\to a}f(x)\text{를 구할 때, }f(a)\text{가 얼마로 정의되어 있는지는 계산에 관여하지 않는다}

다만 f(a)f(a)가 어느 조각에서 정해지는지는 읽어야 한다. f(a)f(a)는 등호가 붙은 구간의 식으로 계산한다. 그 조각이 x≥ax\ge a 쪽이면 f(a)f(a)는 우극한과 같은 값이 되고(다항식일 때), x≤ax\le a 쪽이면 좌극한과 같은 값이 된다.

x→a−x\to a^{-}
x→a+x\to a^{+}
aa
LL
f(a)f(a)
왼쪽·오른쪽에서 다가가는 높이는 똑같이 LL로 모이지만(x=ax=a 자리는 빈 점), 실제 함숫값 f(a)f(a)는 그와 무관하게 다른 자리에 따로 찍혀 있습니다.

쉽게 말하면 — x=ax=a 자리에 어떤 값이 찍혀 있든 그것은 도착지의 팻말일 뿐, 도착지 바로 앞까지 가는 길의 방향에는 영향을 주지 못합니다. 팻말은 어느 쪽 길과 이어진 점인지만 읽으면 됩니다.

4. 좌극한을 L, 우극한을 R로 놓고 조건을 연립한다

조건이 좌극한과 우극한의 합, 곱, 크기 같은 관계로 주어지면 미지수 aa, bb를 바로 건드리지 말고 좌극한을 LL, 우극한을 RR이라 이름 붙인다. LL과 RR을 먼저 구한 뒤 거꾸로 aa, bb를 정한다.

합과 곱이 주어지면 LL, RR은 t2−(L+R) t+LR=0t^{2}-(L+R)\,t+LR=0의 두 근이다. 합과 곱은 두 수를 바꿔도 같으므로 어느 쪽이 LL인지는 크기 조건 같은 별도의 정보로 정한다.

쉽게 말하면 — 조건이 여러 개여도 모두 “좌극한과 우극한 두 수”에 대한 이야기입니다. 두 수를 먼저 알아내면 그다음은 한 줄씩 풀립니다.

5. 상수가 들어 있으면 L=R이 방정식이 된다

경계의 어느 조각에 상수가 들어 있고 극한값이 존재해야 한다면, 좌극한과 우극한을 같게 하는 방정식이 곧 그 상수를 정한다.

limx→a−f(x)=limx→a+f(x)\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)

이 식은 상수에 대한 방정식이다. x=ax=a에서 따로 정의된 함숫값은 이 방정식에 들어가지 않는다. 상수가 여러 개이거나 경계가 여러 개인 경우는 이 식을 경계마다 세워서 푼다.

쉽게 말하면 — 상수는 경계에서 한쪽 조각이 향하는 높이를 조절하는 손잡이입니다. 그 높이를 다른 쪽 조각의 도착 높이에 맞추는 것이 “극한값이 존재한다”는 조건의 전부입니다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 4단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

  1. x→a−x\to a^-이면 x<ax<a쪽 줄의 식에 aa를 넣은 값이 답이고, x→a+x\to a^+이면 x>ax>a쪽 줄의 식에 aa를 넣은 값이 답입니다. 한쪽 극한은 여기서 끝납니다.
  2. 방향 표시가 없는 x→ax\to a이면 위 1번처럼 왼쪽 값과 오른쪽 값을 각각 구합니다.
  3. 두 값이 같은 숫자이면 그 값이 극한값이고, 다르면 극한값이 없습니다.
  4. 경계 자리에 따로 정해진 함숫값은 판정에 쓰지 않습니다.

※ 줄의 식이 다항식인 기본형입니다. 구해야 할 상수(문자)가 들어 있는 문제는 응용형이므로 아래 문제 해설을 보세요.

유제

문제 1 · 기본

함수 f(x)f(x)가

f(x)={x−4(x≥4)−x+4(x<4)f(x) = \begin{cases} x-4 & (x \geq 4) \\ -x+4 & (x < 4) \end{cases}

로 정의되어 있다. limx→4f(x)\displaystyle\lim_{x \to 4} f(x)의 값은?

  • ① 0
  • ② -4
  • ③ -1
  • ④ 1
  • ⑤ 극한값은 존재하지 않는다.
정답과 해설 보기
정답 ①

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

  1. x→4x\to4에는 방향 표시가 없으므로 왼쪽과 오른쪽을 따로 구합니다. 왼쪽(x<4x<4)은 −x+4-x+4 줄에 x=4x=4를 넣어 00입니다.
  2. 오른쪽(x≥4x\ge4)은 x−4x-4 줄에 x=4x=4를 넣어 00입니다.
  3. 두 값이 같으면 그 값이 극한값입니다. 같은 00이므로 극한값은 00입니다. → 정답 ①

※ 두 값이 다르면 “극한값은 존재하지 않는다”입니다.

자세한 풀이 보기

x→4x \to 4의 좌극한과 우극한을 각각 해당하는 식으로 구한다.

x<4x<4일 때 f(x)=−x+4f(x) = -x+4이므로

limx→4−f(x)=limx→4−(−x+4)=−4+4=0\lim_{x \to 4^{-}} f(x) = \lim_{x \to 4^{-}} (-x+4) = -4+4 = 0

x≥4x\geq 4일 때 f(x)=x−4f(x) = x-4이므로

limx→4+f(x)=limx→4+(x−4)=4−4=0\lim_{x \to 4^{+}} f(x) = \lim_{x \to 4^{+}} (x-4) = 4-4 = 0
44
00
x→4−x\to 4^{-}
x→4+x\to 4^{+}
x=4x=4보다 작은 쪽에서 다가가도, 큰 쪽에서 다가가도 함숫값은 00에 가까워집니다.

좌극한과 우극한이 모두 00으로 같으므로 극한값이 존재하고,

limx→4f(x)=0\lim_{x \to 4} f(x) = 0

이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번: 좌극한과 우극한이 같은 실수이면 극한값이 존재하고, 그 공통값이 극한값이다.

이 함수는 사실 절댓값을 이용해 f(x)=∣x−4∣f(x) = |x-4|로 한 줄에 쓸 수 있다. x≥4x\geq 4일 때 x−4≥0x-4\geq 0이므로 ∣x−4∣=x−4|x-4|=x-4이고, x<4x<4일 때 x−4<0x-4<0이므로 ∣x−4∣=−(x−4)=−x+4|x-4|=-(x-4)=-x+4이기 때문이다.

limx→af(x)가 존재한다  ⟺  limx→a−f(x)=limx→a+f(x)\lim_{x \to a} f(x) \text{가 존재한다} \iff \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x)

이 조건에서 f(x)=∣x−4∣f(x)=|x-4|처럼 두 식이 만나는 지점의 높이가 같으면(여기서는 둘 다 00) 극한값은 그 공통 높이로 존재한다.

쉽게 말하면 — 절댓값 그래프는 뾰족하게 꺾여 있을 뿐 끊어져 있지 않습니다. 꺾인 점에서도 왼쪽 선과 오른쪽 선이 정확히 만나기 때문에, “뾰족함”과 “끊어짐”을 같은 것으로 혼동하지만 않으면 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가장 흔한 착각은 함수가 두 개의 식으로 나뉘어 있는 것을 보고 반사적으로 “조각함수니까 극한값이 없을 것 같다”고 생각하는 것이다. 하지만 조각으로 나뉘어 있다는 사실 자체는 아무 의미가 없다 — 중요한 건 오직 경계에서 두 조각의 높이가 같은지뿐이다.

이 문제에서는 x→4−x\to 4^{-}일 때도, x→4+x\to 4^{+}일 때도 식의 값이 00을 향해 간다. 마치 다른 길로 걸어가도 같은 대문 앞에서 만나는 것과 같다 — 길이 다르게 생겼다고 해서 도착지까지 달라지지는 않는다.

다음 문제
문제 2 · 기본

함수

f(x)={x2−2x+3(x<1)−x+4(x≥1)f(x)=\begin{cases} x^{2}-2x+3 & (x<1) \\ -x+4 & (x\ge 1) \end{cases}

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. limx→1−f(x)=2\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2

ㄴ. limx→1+f(x)=f(1)\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)

ㄷ. limx→1f(x)\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)의 값이 존재한다.

  • ① ㄱ
  • ② ㄴ
  • ③ ㄱ, ㄴ
  • ④ ㄴ, ㄷ
  • ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답과 해설 보기
정답 ③

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

  1. 경계 x=1x=1에서 왼쪽(x<1x<1)은 x2−2x+3x^2-2x+3 줄에 x=1x=1을 넣어 22입니다. 오른쪽(x≥1x\ge1)은 −x+4-x+4 줄에 x=1x=1을 넣어 33입니다.
  2. ㄱ: 좌극한이 22이므로 옳습니다.
  3. ㄴ: 우극한은 33이고, f(1)f(1)은 x=1x=1이 속한 x≥1x\ge1 줄에 11을 넣어 33입니다. 같으므로 옳습니다.
  4. ㄷ: 좌극한 22와 우극한 33이 다르므로 극한값이 없습니다. ㄷ은 틀립니다.
  5. 옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다. → 정답 ③
자세한 풀이 보기

(i) ㄱ: 좌극한

x→1−x\to 1^{-}이면 x<1x<1이므로 x2−2x+3x^{2}-2x+3이 쓰인다.

limx→1−f(x)=1−2+3=2\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=1-2+3=2

따라서 ㄱ은 참이다.

(ii) ㄴ: 우극한과 함숫값

x→1+x\to 1^{+}이면 x>1x>1이므로 −x+4-x+4가 쓰인다. 또 x=1x=1은 x≥1x\ge 1에 속하므로 f(1)f(1)도 같은 식으로 계산한다.

limx→1+f(x)=−1+4=3,f(1)=−1+4=3\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=-1+4=3,\qquad f(1)=-1+4=3

두 값이 같으므로 ㄴ은 참이다.

(iii) ㄷ: 극한값의 존재

좌극한 22와 우극한 33이 서로 다르므로 limx→1f(x)\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)는 존재하지 않는다. ㄷ은 거짓이다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

11
22
33
OO
y=f(x)y=f(x)
x=1x=1의 왼쪽에서는 곡선이 높이 22로, 오른쪽에서는 직선이 높이 33으로 향한다. ●는 f(1)=3f(1)=3이다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·2번·3번: 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하고, 한쪽 극한이 각각 있어도 값이 다르면 극한값은 없으며, 함숫값은 등호가 붙은 조각이 정한다.

극한값이 존재하는 것은 좌극한과 우극한이 같은 실수일 때뿐이다.

limx→af(x)가 존재  ⟺  limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=L (L은 실수)\lim_{x\to a}f(x)\text{가 존재}\iff \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L\ (L\text{은 실수})

따라서 좌극한이 존재하고 우극한도 존재하더라도 두 값이 다르면 x→ax\to a일 때의 극한값은 존재하지 않는다. 한쪽 극한이 존재하는 것과 극한값이 존재하는 것은 서로 다른 말이다.

쉽게 말하면 — 왼쪽 길의 도착 높이와 오른쪽 길의 도착 높이가 각각 분명해도, 두 높이가 다르면 “x→1x\to 1이면 여기로 간다”고 하나로 말할 수 없습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

ㄷ에서 가장 흔한 실수는 ㄱ과 ㄴ이 참이라는 사실에 끌려 ㄷ도 참이라고 판단하는 것이다. ㄱ과 ㄴ은 각각 한쪽 방향에 대한 말이고, ㄷ은 두 방향이 만나는지에 대한 말이다. 앞의 둘이 참이어도 두 값 22, 33을 나란히 놓고 비교하기 전에는 ㄷ을 판단할 수 없다.

ㄴ은 함숫값 f(1)f(1)이 우극한과 같다는 말이므로 좌극한과는 무관하다. x=1x=1에 찍힌 점의 높이는 x≥1x\ge 1 쪽 조각이 정하기 때문에 우극한 33과 같고, 좌극한 22와는 다르다. 그래프에서 ●는 오른쪽 직선 위에 있고 ○는 왼쪽 곡선의 끝에 있다.

다음 문제
문제 3 · 기본

함수 f(x)f(x)가

f(x)={x2−3x+5(x>2)10(x=2)4x−5(x<2)f(x) = \begin{cases} x^2-3x+5 & (x>2) \\ 10 & (x=2) \\ 4x-5 & (x<2) \end{cases}

로 정의되어 있다. limx→2f(x)\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)의 값은?

  • ① 2
  • ② 3
  • ③ 4
  • ④ 10
  • ⑤ 극한값은 존재하지 않는다.
정답과 해설 보기
정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

  1. 경계 x=2x=2에서 왼쪽(x<2x<2)은 4x−54x-5 줄에 x=2x=2를 넣어 33입니다.
  2. 오른쪽(x>2x>2)은 x2−3x+5x^2-3x+5 줄에 x=2x=2를 넣어 4−6+5=34-6+5=3입니다.
  3. 두 값이 33으로 같으므로 극한값은 33입니다. x=2x=2 자리에 따로 정해진 1010은 쓰지 않습니다. → 정답 ②

※ 극한값은 그 자리의 함숫값과 상관없이 왼쪽 값과 오른쪽 값만 봅니다.

자세한 풀이 보기

x→2x \to 2의 좌극한과 우극한을 각각 해당하는 식으로 구한다.

x<2x<2일 때 f(x)=4x−5f(x) = 4x-5이므로

limx→2−f(x)=4(2)−5=3\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = 4(2)-5 = 3

x>2x>2일 때 f(x)=x2−3x+5f(x) = x^2-3x+5이므로

limx→2+f(x)=22−3(2)+5=3\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = 2^2-3(2)+5 = 3
33
1010
22
f(2)=10f(2)=10
x=2x=2의 왼쪽과 오른쪽에서 다가가는 높이는 모두 33이지만, x=2x=2에서 실제로 정의된 함숫값은 따로 1010입니다.

좌극한과 우극한이 모두 33으로 같으므로 극한값이 존재하고,

limx→2f(x)=3\lim_{x \to 2} f(x) = 3

이다. f(2)=10f(2)=10은 이 계산과 무관한 값이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번: 극한값은 좌극한과 우극한만으로 정해지고, 경계에 따로 정의된 함숫값은 관여하지 않는다.

x2−3x+5x^2-3x+5와 4x−54x-5는 모두 다항식이므로 대입한 값이 곧 극한값이다. 그래서 x→2+x \to 2^{+}의 우극한은 x2−3x+5x^2-3x+5에 x=2x=2를 대입한 값과 같고, x→2−x \to 2^{-}의 좌극한은 4x−54x-5에 x=2x=2를 대입한 값과 같다.

limx→a−f(x)=limx→a+f(x)  ⟹  limx→af(x)가 존재\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) \implies \lim_{x \to a} f(x)\text{가 존재}

이 문제는 x=2x=2에서의 함숫값을 두 다항식과 전혀 다른 1010으로 따로 정의해 두었지만, 극한값의 존재 여부와 그 값은 오직 좌극한·우극한의 일치 여부로만 결정된다(좌극한과 우극한이 같은 실수일 때 극한값이 존재한다).

쉽게 말하면 — 좌우 극한을 구하는 건 각 조각의 식에 x=2x=2를 대입하는 계산일 뿐입니다. f(2)f(2)라는 별도의 정의는 이 계산에 재료로도 쓰이지 않습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

이 문제의 함정은 선택지에 1010이 버젓이 놓여 있다는 것이다. f(2)=10f(2)=10이라는 문장을 보고 “x=2x=2에서의 값이니까 이게 답 아닐까”라고 반사적으로 반응하면 걸려든다.

극한값을 구하라는 질문은 애초에 x=2x=2라는 점 자체에는 관심이 없다. 좌우에서 다가가는 두 다항식이 같은 높이 33에서 만난다는 사실 하나만 확인하면 끝이고, 그 자리에 1010이라는 팻말이 꽂혀 있다는 정보는 통째로 무시해도 된다.

다음 문제
문제 4 · 응용

상수 aa, bb에 대하여 함수

f(x)={ax+2(x<2)x2−4x+b(x≥2)f(x)=\begin{cases} ax+2 & (x<2) \\ x^{2}-4x+b & (x\ge 2) \end{cases}

가 다음 조건을 만족시킨다.

  • limx→2+f(x)=1\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=1
  • limx→2−f(x)−f(2)=5\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)-f(2)=5

a+ba+b의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 7

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 우극한은 x≥2x\ge2 줄 x2−4x+bx^2-4x+b에 x=2x=2를 넣은 값입니다. 4−8+b=b−44-8+b=b-4이고 이 값이 11이므로 b=5b=5
  2. f(2)f(2)는 x=2x=2가 속한 x≥2x\ge2 줄에 x=2x=2를 넣은 값입니다. 4−8+5=14-8+5=1
  3. 좌극한은 x<2x<2 줄 ax+2ax+2에 x=2x=2를 넣은 값입니다. 2a+22a+2
  4. 둘째 조건에 넣습니다. (2a+2)−1=5(2a+2)-1=5이므로 a=2a=2
  5. 더합니다. a+b=2+5=7a+b=2+5=7
자세한 풀이 보기

(i) 우극한으로 bb 구하기

x→2+x\to 2^{+}일 때는 x>2x>2이므로 f(x)=x2−4x+bf(x)=x^{2}-4x+b가 쓰인다.

limx→2+f(x)=22−4⋅2+b=b−4=1∴ b=5\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=2^{2}-4\cdot 2+b=b-4=1 \quad\therefore\ b=5

(ii) 함숫값 f(2)f(2) 구하기

x=2x=2는 x≥2x\ge 2 조건에 속하므로 f(2)f(2)도 이차식으로 계산한다.

f(2)=22−4⋅2+5=1f(2)=2^{2}-4\cdot 2+5=1

(iii) 좌극한으로 aa 구하기

x→2−x\to 2^{-}일 때는 x<2x<2이므로 f(x)=ax+2f(x)=ax+2가 쓰인다.

limx→2−f(x)=2a+2\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=2a+2

두 번째 조건에서 (2a+2)−1=5(2a+2)-1=5이므로 a=2a=2이다.

(iv) 답 구하기

a+b=2+5=7a+b=2+5=7

검산: a=2, b=5a=2,\ b=5이면 좌극한은 2⋅2+2=62\cdot 2+2=6, 우극한과 f(2)f(2)는 모두 11이다. 6−1=56-1=5로 두 번째 조건을 만족한다.

x→2−x\to 2^{-}
x→2+x\to 2^{+}
22
66
11
OO
y=f(x)y=f(x)
왼쪽 직선은 높이 66으로, 오른쪽 곡선은 높이 11로 향한다. ●는 f(2)=1f(2)=1이고 높이 차이는 6−1=56-1=5이다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번: 함숫값 f(2)f(2)는 등호가 붙은 조각이 정하고, 극한은 방향이 고르는 조각이 정한다.

x=2x=2를 경계로 식이 갈리고 각 조각이 다항식인 함수에서 세 값은 각각 다음 조각이 정한다.

limx→2−f(x)=(왼쪽 조각)∣x=2,limx→2+f(x)=f(2)=(오른쪽 조각)∣x=2\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=(\text{왼쪽 조각})\big|_{x=2},\qquad \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=(\text{오른쪽 조각})\big|_{x=2}

등호(=)가 붙은 x≥2x\ge 2 쪽 조각이 우극한과 함숫값을 함께 정하고, 등호가 없는 x<2x<2 쪽 조각은 좌극한만 정한다.

쉽게 말하면 — 경계 x=2x=2에 실제로 점을 찍는 조각은 하나뿐이고, 그 조각이 함숫값과 우극한을 한꺼번에 맡습니다. 좌극한은 점이 없는 쪽 조각이 “여기로 가고 있다”고 알려 주는 값입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

이 문제에서 가장 많이 틀리는 곳은 f(2)f(2)를 어느 식으로 계산하느냐이다. 식이 ax+2ax+2와 x2−4x+bx^{2}-4x+b 두 개 보이니 f(2)f(2)를 2a+22a+2로 쓰고 싶어지는데, 그러면 두 번째 조건이 (2a+2)−(2a+2)=5(2a+2)-(2a+2)=5, 즉 0=50=5가 되어 모순이 된다. 계산이 모순으로 끝난다면 함숫값을 잘못된 조각에서 읽었다는 신호이다.

f(2)f(2)는 x≥2x\ge 2 조각의 값이고 우극한과 같은 값이므로, 첫 번째 조건 하나로 f(2)=1f(2)=1이 한꺼번에 정해진다. 그러면 두 번째 조건은 “좌극한이 f(2)f(2)보다 55만큼 높다”는 뜻이어서, 왼쪽 직선이 높이 66으로 향하면 된다. 미지수 하나당 조건 하나씩, 조각 하나당 값 하나씩 나뉘어 풀린다.

다음 문제
문제 5 · 응용

상수 aa, bb에 대하여 함수

f(x)={x2+ax(x≥2)bx−2(x<2)f(x)=\begin{cases} x^{2}+ax & (x\ge 2) \\ bx-2 & (x<2) \end{cases}

가 다음 조건을 만족시킨다.

  • (가) limx→2−f(x)+limx→2+f(x)=8\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)+\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=8
  • (나) limx→2−f(x)×limx→2+f(x)=12\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)\times\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=12
  • (다) limx→2−f(x)>limx→2+f(x)\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)>\lim_{x\to 2^{+}}f(x)

abab의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 -4

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 우극한 RR은 x≥2x\ge2 줄 x2+axx^2+ax에 x=2x=2를 넣은 4+2a4+2a입니다. 좌극한 LL은 x<2x<2 줄 bx−2bx-2에 x=2x=2를 넣은 2b−22b-2입니다.
  2. 합이 88, 곱이 1212인 두 수를 찾습니다. 22와 66입니다.
  3. (다)에서 좌극한이 우극한보다 크므로 L=6L=6, R=2R=2입니다.
  4. RR에서 4+2a=24+2a=2이므로 a=−1a=-1입니다. LL에서 2b−2=62b-2=6이므로 b=4b=4입니다.
  5. 곱합니다. ab=(−1)×4=−4ab=(-1)\times4=-4
자세한 풀이 보기

(i) 두 한쪽 극한을 aa, bb로 나타내기

x→2+x\to 2^{+}일 때는 x>2x>2이므로 x2+axx^{2}+ax가, x→2−x\to 2^{-}일 때는 x<2x<2이므로 bx−2bx-2가 쓰인다.

limx→2+f(x)=4+2a,limx→2−f(x)=2b−2\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=4+2a,\qquad \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=2b-2

(ii) 두 극한값 구하기

좌극한을 LL, 우극한을 RR이라 하자. (가)와 (나)에서 L+R=8L+R=8, LR=12LR=12이므로 LL, RR은 tt에 대한 이차방정식

t2−8t+12=0,(t−2)(t−6)=0t^{2}-8t+12=0,\qquad (t-2)(t-6)=0

의 두 근 22, 66이다. 이 중 어느 쪽이 LL인지는 (다) L>RL>R로 정해진다.

L=6,R=2L=6,\qquad R=2

(iii) aa, bb 구하기

4+2a=2 ⇒ a=−1,2b−2=6 ⇒ b=44+2a=2 \ \Rightarrow\ a=-1,\qquad 2b-2=6 \ \Rightarrow\ b=4

(iv) 답 구하기

ab=(−1)⋅4=−4ab=(-1)\cdot 4=-4

검산: a=−1a=-1, b=4b=4이면 f(x)=x2−x (x≥2)f(x)=x^{2}-x\ (x\ge 2), f(x)=4x−2 (x<2)f(x)=4x-2\ (x<2)이므로 좌극한은 4⋅2−2=64\cdot 2-2=6, 우극한은 4−2=24-2=2이다. 합 88, 곱 1212, 그리고 6>26>2로 세 조건을 모두 만족한다.

x→2−x\to 2^{-}
x→2+x\to 2^{+}
22
66
22
OO
y=f(x)y=f(x)
왼쪽 직선은 높이 66으로, 오른쪽 곡선은 높이 22로 향한다. ●는 f(2)=2f(2)=2이다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: 좌극한을 LL, 우극한을 RR로 놓고 조건을 먼저 풀어 두 수를 구한 뒤 상수를 정한다.

두 수 LL, RR의 합과 곱이 주어지면 LL, RR은 이차방정식 t2−(L+R) t+LR=0t^{2}-(L+R)\,t+LR=0의 두 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 거꾸로 쓰는 것이다.

한쪽 극한에서는 다음 대응이 그대로 쓰인다.

limx→2−f(x)=(x<2 쪽 식)∣x=2,limx→2+f(x)=(x≥2 쪽 식)∣x=2\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=(x<2\text{ 쪽 식})\big|_{x=2},\qquad \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=(x\ge 2\text{ 쪽 식})\big|_{x=2}

쉽게 말하면 — 합과 곱은 두 수를 바꿔 놓아도 값이 그대로여서 “두 수가 무엇인지”는 알려 주지만 “누가 어느 쪽인지”는 알려 주지 않습니다. 그 정보는 대소 관계 같은 별도 조건이 채워 줍니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

미지수 aa, bb를 곧바로 건드리지 말고 먼저 좌극한 LL, 우극한 RR이라는 이름을 붙이는 것이 출발점이다. 조건 세 개가 모두 LL과 RR에 대한 이야기이므로, LL과 RR을 먼저 풀고 마지막에 aa, bb를 거꾸로 구하면 계산이 한 줄씩 끝난다.

여기서 가장 위험한 곳은 (다) 조건을 건너뛰는 것이다. 합 88, 곱 1212만으로는 (L,R)=(6,2)(L,R)=(6,2)와 (2,6)(2,6)을 구별할 수 없다. 그리고 후자를 고르면 a=1a=1, b=2b=2가 되어 ab=2ab=2라는 그럴듯한 오답이 나온다. 그래프로 보면 (다)는 “왼쪽 직선이 오른쪽 곡선의 출발점보다 높은 곳을 향한다”는 말이고, 그림에서 직선의 도착 높이 66이 곡선의 출발 높이 22보다 높다는 것으로 바로 확인된다.

다음 문제
문제 6 · 응용

함수 f(x)f(x)가

f(x)={x2+kx−4(x>3)20(x=3)5x−7(x<3)f(x) = \begin{cases} x^2+kx-4 & (x>3) \\ 20 & (x=3) \\ 5x-7 & (x<3) \end{cases}

로 정의되어 있다. limx→3f(x)\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x)가 존재하도록 하는 상수 kk의 값을 mm, 이때의 limx→3f(x)\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x)의 값을 nn이라 하자. m+nm+n의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 9

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 왼쪽(x<3x<3)은 5x−75x-7 줄에 x=3x=3을 넣어 88입니다. 오른쪽(x>3x>3)은 x2+kx−4x^2+kx-4 줄에 x=3x=3을 넣어 5+3k5+3k입니다.
  2. 극한값이 있으려면 두 값이 같아야 합니다. 5+3k=85+3k=8이므로 k=1k=1, 즉 m=1m=1
  3. 이때 극한값은 88이므로 n=8n=8입니다. x=3x=3 자리에 따로 정해진 2020은 쓰지 않습니다.
  4. 더합니다. m+n=1+8=9m+n=1+8=9
자세한 풀이 보기

좌극한과 우극한을 각각 구한다. x<3x<3일 때 f(x)=5x−7f(x)=5x-7이므로

limx→3−f(x)=5(3)−7=8\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = 5(3)-7 = 8

x>3x>3일 때 f(x)=x2+kx−4f(x)=x^2+kx-4이므로

limx→3+f(x)=32+3k−4=3k+5\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = 3^2+3k-4 = 3k+5

극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로

3k+5=8 ⟹ k=13k+5 = 8 \ \Longrightarrow\ k=1

kk에 대한 일차방정식이므로 해는 오직 k=1k=1 하나뿐이다. 따라서 m=1m=1이고, 이때

limx→3f(x)=3k+5=3(1)+5=8\lim_{x \to 3} f(x) = 3k+5 = 3(1)+5 = 8

이므로 n=8n=8이다. f(3)=20f(3)=20으로 따로 정의된 값은 이 계산 어디에도 쓰이지 않는다.

88
2020
33
f(3)=20f(3)=20
y=5x−7y=5x-7
y=x2+kx−4y=x^2+kx-4
x=3x=3의 왼쪽 직선과 오른쪽 포물선이 높이 88에서 만나도록 kk를 정하면, x=3x=3에 따로 정의된 함숫값 2020과 무관하게 극한값은 88로 존재합니다.
m+n=1+8=9m+n = 1+8 = 9

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번·5번: 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하고, 경계에 따로 정의된 함숫값은 방정식에 넣지 않는다.

경계점 오른쪽 식에 미지수 kk가 들어 있을 때, “극한값이 존재한다”는 조건은 곧 좌극한과 우극한을 같게 만드는 방정식을 세우라는 뜻이다.

limx→a−f(x)=limx→a+f(x)\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x)

이 문제에서는 이 식이 3k+5=83k+5=8이고 kk의 계수 33이 00이 아니므로 k=1k=1로 해가 정확히 하나로 결정된다. x=ax=a에서의 함숫값이 이 식과 별개로 정의되어 있어도 그 값은 방정식에 등장하지 않는다. 방정식은 오직 두 다항식이 만나는 조건만 담는다.

쉽게 말하면 — 여기서 kk는 x=3x=3에서 오른쪽 포물선이 향하는 높이 3k+53k+5를 조절하는 값입니다. 그 높이를 왼쪽 직선의 높이(88)와 맞추면 그만이고, x=3x=3 자리에 2020이라는 값이 따로 찍혀 있다는 사실은 kk를 정하는 데 아무 참고가 안 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

이 문제의 함정은 문제 3보다 한 단계 더 교묘하다. f(3)=20f(3)=20이라는 숫자가 버젓이 눈에 보이니, “그럼 우극한식이 2020이 되도록 kk를 정해야 하나”라고 순간적으로 헷갈릴 수 있다. 하지만 맞춰야 할 상대는 2020이 아니라 좌극한 88이다. 2020은 애초에 방정식에 넣을 자격이 없는 숫자다.

한 번 걸러내고 나면 계산 자체는 단순하다. 좌극한은 kk와 무관하게 이미 88로 고정되어 있으므로, 우극한식을 그 88에 맞추는 순간 kk와 극한값이 동시에 정해진다. 문제 3이 “함숫값은 극한 계산의 재료가 아니다”를 눈으로 확인하는 문제였다면, 이 문제는 그 사실을 방정식을 세울 때도 잊지 말라고 요구하는 문제다.

다음 문제
문제 7 · 응용

함수

f(x)={x+2(x<0)x2−2x+2(0≤x<2)−x+5(2≤x<4)1(x≥4)f(x)=\begin{cases} x+2 & (x<0) \\ x^{2}-2x+2 & (0\le x<2) \\ -x+5 & (2\le x<4) \\ 1 & (x\ge 4) \end{cases}

에 대하여 a=0, 2, 4a=0,\ 2,\ 4 중에서 limx→af(x)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)가 존재하는 aa를 모두 찾아, 그때의 극한값을 모두 더한 값을 구하시오.

정답과 해설 보기
정답 3

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

  1. 경계 a=0a=0, 22, 44를 하나씩 보고, 경계마다 왼쪽 값과 오른쪽 값을 따로 구합니다.
  2. a=0a=0: 왼쪽(x<0x<0)은 x+2x+2 줄에서 22, 오른쪽(0≤x<20\le x<2)은 x2−2x+2x^2-2x+2 줄에서 22입니다. 같으므로 극한값은 22입니다.
  3. a=2a=2: 왼쪽은 x2−2x+2x^2-2x+2 줄에서 22, 오른쪽(2≤x<42\le x<4)은 −x+5-x+5 줄에서 33입니다. 다르므로 극한값이 없습니다.
  4. a=4a=4: 왼쪽은 −x+5-x+5 줄에서 11, 오른쪽(x≥4x\ge4)은 11입니다. 같으므로 극한값은 11입니다.
  5. 극한값이 있는 것만 더합니다. 2+1=32+1=3
자세한 풀이 보기

경계마다 좌극한과 우극한을 따로 구해 비교한다.

(i) a=0a=0

limx→0−f(x)=0+2=2,limx→0+f(x)=0−0+2=2\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0+2=2,\qquad \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0-0+2=2

두 값이 같으므로 극한값이 존재하고 limx→0f(x)=2\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=2이다.

(ii) a=2a=2

limx→2−f(x)=4−4+2=2,limx→2+f(x)=−2+5=3\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=4-4+2=2,\qquad \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=-2+5=3

두 값이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다.

(iii) a=4a=4

limx→4−f(x)=−4+5=1,limx→4+f(x)=1\lim_{x\to 4^{-}}f(x)=-4+5=1,\qquad \lim_{x\to 4^{+}}f(x)=1

두 값이 같으므로 극한값이 존재하고 limx→4f(x)=1\displaystyle\lim_{x\to 4}f(x)=1이다.

(iv) 합 구하기

극한값이 존재하는 것은 a=0, 4a=0,\ 4이고, 극한값의 합은

2+1=32+1=3
22
44
11
22
33
OO
x=0x=0과 x=4x=4에서는 두 조각이 같은 높이에서 만나고, x=2x=2에서는 왼쪽이 높이 22로, 오른쪽이 높이 33으로 어긋난다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·2번: 경계마다 이웃한 두 조각이 같은 높이에 도착하는지 따로 비교해 극한값의 존재를 판정한다.

여러 경계가 있는 함수에서 극한값의 존재 여부는 경계마다 따로 판정한다. 각 경계에서 이웃한 두 조각의 경계값을 비교하면 된다.

limx→af(x)가 존재  ⟺  (왼쪽 이웃 조각)∣x=a=(오른쪽 이웃 조각)∣x=a\lim_{x\to a}f(x)\text{가 존재}\iff (\text{왼쪽 이웃 조각})\big|_{x=a}=(\text{오른쪽 이웃 조각})\big|_{x=a}

경계가 아닌 점에서는 한 식이 주변 전체를 덮으므로 따로 확인할 필요가 없다. 이 문제의 식은 모두 다항식(상수 포함)이다.

쉽게 말하면 — 이웃한 두 조각이 경계에서 같은 높이에 도착하는지만 하나씩 확인하면 됩니다. 조각이 몇 개든 확인할 것은 “경계의 개수만큼의 비교”입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가운데 두 조각은 비교에 두 번 불려 나온다. x2−2x+2x^{2}-2x+2는 경계 00에서는 오른쪽 이웃이고 경계 22에서는 왼쪽 이웃이다. 같은 식에 경계마다 다른 값을 넣게 되므로, 경계 하나를 정할 때마다 “왼쪽은 어느 식, 오른쪽은 어느 식”을 새로 적고 시작하면 실수가 줄어든다.

a=2a=2에서 f(2)=−2+5=3f(2)=-2+5=3이므로, 함숫값을 극한값으로 착각하면 a=2a=2를 존재하는 쪽에 넣고 33을 더하기 쉽다. 이 문제에서는 존재 여부를 판정하는 근거가 함숫값이 아니라 두 한쪽 극한의 일치이다. 어긋난 경계 하나(그림에서 계단처럼 올라가는 자리)를 정확히 걸러 내는 것이 이 문제의 핵심이다.

#함수의 극한#극한값의 존재#좌극한과 우극한#조각함수#함숫값#미적분Ⅰ

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