함수의 극한 — 그래프에서 극한값의 존재 판정 종합: 지점마다 같은 순서로 판정하기

핵심 개념

1. 지점마다 같은 세 단계로 판정한다

그래프에서 $x=a$ 의 극한값이 존재하는지는 그 자리에 찍힌 점이 아니라 양옆 조각이 향하는 높이로 정한다. 지점마다 다음 순서를 똑같이 적용한다.

$x=a$ 위에 찍힌 점( $\bullet$ , $\circ$ )은 가린다.
왼쪽 조각이 향하는 높이(좌극한)와 오른쪽 조각이 향하는 높이(우극한)를 각각 읽는다.
두 높이가 같은 실수이면 극한값이 존재하고, 다르거나 $\infty$ , $-\infty$ 로 달아나면 존재하지 않는다.

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L\ (L\text{은 실수})\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=L

앞 글 그래프의 한 점에서 극한 읽기와 그래프로 점근선 읽기에서 읽은 방법을 한 지점마다 반복하는 것이다.

꺾인 점과 구멍이 있는 점은 양쪽이 같은 높이

L

로 이어져 극한값이 있습니다. 높이가 어긋난 점과 끝없이 뻗는 점은 극한값이 없습니다.

쉽게 말하면 — 그 자리를 손가락으로 가리고, 양쪽 길이 같은 높이에서 만나는지만 보세요. 꺾여 있어도, 구멍이 있어도, 엉뚱한 곳에 점이 찍혀 있어도 길이 이어지는 높이가 곧 극한값입니다.

2. 보기나 조건이 붙은 문제는 지점별 표를 먼저 만든다

“극한값이 존재하는 것을 고르시오”, “극한값이 존재하지 않는 정수 $a$ 의 합을 구하시오”처럼 여러 지점을 한꺼번에 묻는 문제는 지점마다 좌극한, 우극한, 극한값을 표로 정리한 뒤 마지막에 문제의 조건을 적용한다. 표를 먼저 만들면 조건을 읽다가 지점을 빠뜨리는 실수가 줄어든다.

지점	좌극한	우극한	극한값
$a$	읽은 높이	읽은 높이	같으면 그 값, 다르면 없음

점근선에서 한쪽이라도 $\infty$ 나 $-\infty$ 로 달아나면 그 지점은 “없음”에 넣는다.

쉽게 말하면 — 문제가 무엇을 묻든 먼저 모든 지점의 사정을 한 장의 표로 적어 두세요. 그다음에는 표에서 조건에 맞는 칸만 고르면 됩니다.

3. 여러 그래프를 비교할 때는 있음·없음을 먼저 가르고 값은 나중에 읽는다

그래프 여러 개에서 극한값이 존재하는 것만 골라 값을 더하는 문제는 두 단계로 나눈다. 먼저 그래프마다 “있음” 또는 “없음”을 매기고, “있음”인 그래프에서만 높이를 읽는다. “없음”인 그래프는 값을 읽을 필요조차 없다.

쉽게 말하면 — 값부터 읽으면 극한값이 없는 그래프의 한쪽 높이나 따로 찍힌 점의 높이를 슬쩍 더하게 됩니다. 있음·없음을 먼저 가르면 그런 실수가 구조적으로 막힙니다.

4. 합·차·곱은 한쪽 극한끼리 계산하고, f(−x)가 든 식은 접근 방향이 뒤집힌다

두 함수의 한쪽 극한이 각각 실수로 존재할 때, 합, 차, 곱의 한쪽 극한은 한쪽 극한끼리 더하고 빼고 곱해서 구한다. 그 결과 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한값이 존재한다.

\lim_{x\to a^{\pm}}\{f(x)+g(x)\}=\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)+\lim_{x\to a^{\pm}}g(x)

두 함수의 극한값이 모두 존재하지 않아도 합이나 곱의 극한값은 존재할 수 있다. 한쪽 함수가 위로 뛴 만큼 다른 쪽이 아래로 뛰어 서로 지워질 수 있기 때문이다. 반대로 한 함수는 극한값이 존재하고 다른 함수는 존재하지 않으면 합의 극한값은 반드시 존재하지 않는다.

$f(-x)$ 가 들어 있으면 $x\to a^{+}$ 일 때 $-x\to(-a)^{-}$ 이므로 앞 글에서 익힌 대로 접근 방향이 좌우로 뒤집힌다.

쉽게 말하면 — “둘 다 안 된다고 합쳐도 안 된다”는 보장은 없습니다. 하지만 “한쪽은 되고 한쪽은 안 되면, 합쳐도 안 된다”는 보장은 있습니다.

5. 그림 밖은 대칭이나 반복으로 옮겨 읽는다

짝함수( $f(-x)=f(x)$ )에서는 $a$ 의 부호를 바꾸면 접근 방향도 함께 바뀌고 함숫값은 그대로 가져온다.

\lim_{x\to -a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x),\qquad \lim_{x\to -a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x),\qquad f(-a)=f(a)

주기가 $p$ 인 함수( $f(x+p)=f(x)$ )에서는 접근 방향은 그대로 두고 위치만 $p$ 의 배수만큼 옮긴다.

\lim_{x\to (a+np)^{\pm}}f(x)=\lim_{x\to a^{\pm}}f(x),\qquad f(a+np)=f(a)

그림이 한 주기만 주어진 경우, 옮겨 온 자리가 그림의 끝이면 그려진 쪽만 읽을 수 있다.

쉽게 말하면 — 그림 밖의 질문은 거울에 비추거나 복사해서 이어 붙인 그림 안의 질문으로 번역합니다. 번역할 때 바뀌는 것은 위치(또는 좌우 이름)뿐이고 높이는 그대로입니다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 4단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

지점마다 같은 순서로 읽습니다. 그 자리의 왼쪽 높이와 오른쪽 높이를 읽습니다. 따로 찍힌 점은 읽지 않습니다.
두 높이가 같은 숫자이면 극한값이 있고, 다르거나 위·아래로 끝없이 뻗으면 극한값이 없습니다.
보기나 조건이 붙은 문제는 지점마다 “왼쪽 값, 오른쪽 값, 있음·없음”을 표로 적습니다.
표에서 문제가 요구한 조건에 맞는 지점을 고릅니다. 고른 지점의 번호를 쓰거나 문제가 요구한 개수·합을 계산합니다.

※ 대상 지점의 양쪽에 그래프가 있고, 각 쪽이 하나의 실수 높이로 향하거나 위·아래로 끝없이 뻗는 그림에서 읽는 기본형입니다. 합·곱, $f(-x)$ , 그림 밖의 값을 묻는 문제는 아래 문제 해설을 보세요.

유제

문제 1 · 기본

함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같다. <보기>에서 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

x=-2

와

x=1

에서 그래프가 끊어져 있고,

x=3

에서는 꺾여 있다

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to -2}f(x)$

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답과 해설 보기

정답 ③

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

보기마다 그 $x$ 자리의 왼쪽 조각 높이와 오른쪽 조각 높이를 읽습니다. 그 자리에 따로 찍힌 점은 읽지 않습니다.
ㄱ $x=-2$ : 왼쪽 $2$ , 오른쪽 $2$ 로 같으므로 극한값이 있습니다.
ㄴ $x=1$ : 왼쪽 $2$ , 오른쪽 $4$ 로 다르므로 극한값이 없습니다.
ㄷ $x=3$ : 꺾여 있지만 끊어지지 않아 왼쪽 $1$ , 오른쪽 $1$ 로 같으므로 극한값이 있습니다.
극한값이 있는 것은 ㄱ, ㄷ입니다. → 정답 ③

※ 뾰족하게 꺾인 곳은 끊어진 곳이 아닙니다. 양쪽 높이가 같으면 극한값이 있습니다.

자세한 풀이 보기

세 지점에서 각각 $x=a$ 위의 점은 가리고 좌극한과 우극한을 따로 읽는다.

지점	좌극한	우극한	극한값
$x=-2$	$2$	$2$	$2$
$x=1$	$2$	$4$	존재하지 않음
$x=3$	$1$	$1$	$1$

ㄱ. $x\to -2$ : 왼쪽 조각은 높이 $2$ 의 $\circ$ 를 향하고, 오른쪽 수평선도 높이 $2$ 에서 시작한다. 좌극한과 우극한이 같으므로 극한값 $2$ 가 존재한다. $x=-2$ 위에 따로 찍힌 점 $f(-2)=1$ 은 읽지 않는다.

ㄴ. $x\to 1$ : 왼쪽 수평선은 높이 $2$ 를 향하고, 오른쪽 조각은 높이 $4$ 에서 시작한다. 좌극한과 우극한이 다르므로 극한값은 존재하지 않는다.

ㄷ. $x\to 3$ : 그래프가 $x=3$ 에서 꺾이지만 끊어지지는 않는다. 왼쪽과 오른쪽 모두 높이 $1$ 로 이어지므로 극한값 $1$ 이 존재한다.

x=-2

와

x=3

은 양쪽이 같은 높이로 이어지고,

x=1

은 양쪽 높이가

2

와

4

로 다릅니다.

극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번: $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재할 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같은 것이다.

\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L

극한값은 $x=a$ 의 양옆 모습만으로 정해지므로 $f(a)$ 가 정의되어 있는지, 어떤 값인지는 판단에 쓰이지 않는다.

쉽게 말하면 — “왼쪽 사람이 도착하는 자리”와 “오른쪽 사람이 도착하는 자리”가 같으면 극한값이 있고, 다르면 없습니다. 도착 지점에 놓인 표지판( $f(a)$ )은 두 사람의 도착 자리를 바꾸지 못합니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가장 헷갈리는 것은 꺾인 점과 끊어진 점이다. 모양이 뾰족해서 불안해 보이는 쪽은 꺾인 점(ㄷ)이지만 극한값은 멀쩡히 존재한다. 반대로 겉보기에 얌전한 ㄴ은 두 조각의 높이가 달라 극한값이 없다.

기준은 하나다. 그 자리를 손가락으로 가리고, 양쪽 선이 같은 높이에서 만나는가. 꺾임은 방향만 바뀔 뿐 높이가 이어지고, 끊김은 높이 자체가 어긋난다.

ㄱ처럼 점이 엉뚱한 곳에 찍혀 있어도, 가린 자리 양쪽 높이가 같다면 극한값은 그 높이이다.

다음 문제

문제 2 · 응용

다음은 다섯 함수 (가)~(마)의 그래프이다. 각 그래프에서 $x$ 축에 눈금으로 표시된 값이 $a$ 이다. $\circ$ 는 속이 빈 점으로 그래프에 포함되지 않는 점이며, (라)의 그래프는 점선(점근선)에 한없이 가까워지면서 위로 끝없이 뻗는다. 각 함수에 대하여 $x=a$ 에서의 극한값이 존재하는 함수만 골라, 그 극한값을 모두 더한 값을 구하시오.

다섯 함수의 그래프. 눈금이 표시된 곳이

x=a

이다

정답과 해설 보기

정답 6

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

그래프마다 $x=a$ 의 왼쪽 높이와 오른쪽 높이를 읽습니다. 두 높이가 같으면 극한값이 있고, 다르거나 위·아래로 끝없이 뻗으면 없습니다. 그 자리에 따로 찍힌 점은 읽지 않습니다.
(가)는 $1$ 과 $1$ 이라 있고 값은 $1$ 입니다. (나)는 $2$ 와 $3$ 이라 없습니다. (다)는 $3$ 과 $3$ 이라 있고 값은 $3$ 입니다.
(라)는 양쪽 모두 위로 끝없이 뻗으므로 없습니다. (마)는 $2$ 와 $2$ 라 있고 값은 $2$ 입니다.
극한값이 있는 것만 더합니다. $1+3+2=6$ → 정답 $6$

자세한 풀이 보기

(i) 있음·없음 먼저 가르기

각 그래프에서 $x=a$ 위의 점은 가리고 좌극한과 우극한을 읽는다.

그래프	$a$	좌극한	우극한	극한값
(가)	$1$	$1$	$1$	$1$
(나)	$3$	$2$	$3$	없음
(다)	$2$	$3$	$3$	$3$
(라)	$2$	$\infty$	$\infty$	없음
(마)	$3$	$2$	$2$	$2$

(가) : $x=1$ 에서 꺾이지만 끊어지지 않아 양쪽 모두 높이 $1$ 로 이어진다.
(나) : 왼쪽은 높이 $2$ 를, 오른쪽은 높이 $3$ 을 향해 서로 다르다. 왼쪽 조각 끝의 속이 찬 점 $f(3)=2$ 는 읽지 않는다.
(다) : 구멍의 높이가 $3$ 이고 양쪽 선이 모두 그 높이를 향한다. 따로 찍힌 점 $f(2)=1$ 은 극한값과 무관하다.
(라) : 양쪽 모두 위로 끝없이 뻗으므로 극한값이 존재하지 않는다.
(마) : 곡선이 이어지며 양쪽 모두 높이 $2$ 를 향한다.

(가), (다), (마)에서만 극한값이 존재하고 그 값은 각각

1

3

2

입니다.

(ii) 값 더하기

극한값이 존재하는 것은 (가), (다), (마)이므로

1+3+2=6

이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번: 극한값은 $x=a$ 를 뺀 주변에서 함숫값이 가까워지는 값이므로 다음 순서를 지킨다.

먼저 존재 여부를 판정한다. 좌극한과 우극한이 같은 실수인가?
존재할 때만 그 높이를 극한값으로 읽는다.

\lim_{x\to a}f(x)\ \text{와}\ f(a)\ \text{는 서로 다른 값일 수 있다}

쉽게 말하면 — 극한값은 “가는 길에 보이는 높이”이고, 함숫값은 “도착한 자리에 찍힌 점의 높이”입니다. 합을 구할 때는 도착 자리의 점이 아니라 길이 향하는 높이를 더합니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

이 문제에서 점수를 잃는 길은 두 가지이다. 하나는 (다)의 따로 찍힌 점 $f(2)=1$ 을 극한값으로 읽어 $1$ 을 더하는 것이고, 다른 하나는 극한값이 없는 (나)의 한쪽 높이를 슬쩍 더해 넣는 것이다.

그래서 풀이를 있음·없음 먼저, 값은 나중에 두 단계로 나눈다. 각 그래프에 O 또는 X를 먼저 매기고, O인 그래프에서만 높이를 읽는다. X가 붙은 그래프는 값을 읽을 필요조차 없다.

다음 문제

문제 3 · 응용

함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같다. 점선은 그래프의 점근선이고, 그래프는 점선에 한없이 가까워지면서 위와 아래로 계속 뻗는다.

x=-2

에서 끊어져 있고,

x=0

과

x=2

에는 구멍이 있으며,

x=1

은 점근선이다

$-3<a<3$ 인 정수 $a$ 중에서 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지 않는 모든 $a$ 의 값의 합을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 -1

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기6단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

정수 $a$ 는 $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ 입니다. 하나씩 왼쪽 높이와 오른쪽 높이를 읽습니다. 높이가 다르거나 점선을 따라 끝없이 뻗으면 극한값이 없습니다.
$a=-2$ : 왼쪽 $3$ , 오른쪽 $-2$ 로 달라서 극한값이 없습니다.
$a=-1$ : 양쪽 $0$ 으로 있습니다. $a=0$ : 구멍이 있어도 양쪽 $-1$ 로 같아 있습니다.
$a=1$ : 왼쪽은 아래로, 오른쪽은 위로 끝없이 뻗으므로 극한값이 없습니다.
$a=2$ : 구멍과 따로 찍힌 점이 있어도 양쪽 $3$ 으로 같아 있습니다.
극한값이 없는 $a$ 를 더합니다. $(-2)+1=-1$ → 정답 $-1$

자세한 풀이 보기

$-3<a<3$ 인 정수는 $a=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$ 이다. 각 지점에서 $x=a$ 위의 점은 가리고 좌극한과 우극한을 읽는다.

$a$	좌극한	우극한	극한값
$-2$	$3$	$-2$	없음
$-1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$-1$	$-1$	$-1$
$1$	$-\infty$	$\infty$	없음
$2$	$3$	$3$	$3$

$a=-2$ : 왼쪽 조각은 높이 $3$ 을, 오른쪽 조각은 높이 $-2$ 에서 시작해 좌극한과 우극한이 다르다.
$a=-1$ : 그래프가 꺾이지만 이어져 있어 양쪽 모두 $0$ 이다.
$a=0$ : $f(0)$ 은 정의되지 않았지만 양쪽 모두 $-1$ 로 이어진다.
$a=1$ : 왼쪽은 아래로, 오른쪽은 위로 끝없이 뻗는다. 수에 가까워지는 것이 아니므로 극한값이 없다.
$a=2$ : 구멍이 있고 $f(2)=1$ 이 따로 찍혀 있지만 양쪽 모두 $3$ 으로 이어진다.

x=-2

와

x=1

에서만 극한값이 존재하지 않습니다.

극한값이 존재하지 않는 정수는 $a=-2,\ 1$ 이므로 구하는 합은

(-2)+1=-1

이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번: 극한값이 존재한다는 것은 $x\to a$ 일 때 $f(x)$ 가 하나의 실수에 가까워진다는 뜻이다. 따라서 다음 중 하나라도 해당하면 극한값은 존재하지 않는다.

좌극한과 우극한이 모두 실수이지만 서로 다르다.
좌극한이나 우극한 중 하나라도 $\infty$ 또는 $-\infty$ 이다.

반대로 $f(a)$ 가 정의되지 않았다는 사실만으로는 극한값이 없다고 할 수 없다.

쉽게 말하면 — 극한값은 “그 자리를 비워 두고도 양쪽 길이 어디서 만나는가”입니다. 그 자리에 다리가 끊겨 있어도, 양쪽 길이 같은 높이를 향한다면 만나는 높이가 있습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

구멍( $\circ$ )을 보면 “여기는 함숫값이 없으니 극한도 없겠지”라고 반사적으로 생각하기 쉽다. 이 문제에서 $x=0$ 과 $x=2$ 가 바로 그 함정이다. 빈 원이 있다는 사실만으로 극한이 없다고 할 수는 없다. 기준은 빈 원의 양쪽 길이 같은 높이를 향하는지이며, $x=0$ 과 $x=2$ 는 그렇고 $x=-2$ 는 그렇지 않다.

극한값이 정말 없는 곳은 $x=-2$ 처럼 양쪽 높이가 어긋난 곳, $x=1$ 처럼 끝없이 뻗는 곳이다. 세로선 하나를 그어 놓고 양쪽 그래프가 한 숫자로 모이는지만 확인하면 된다.

다음 문제

문제 4 · 응용

정의역이 $\{x\mid -2\le x\le 3\}$ 인 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같다. <보기>에서 극한값이 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

x=0

과

x=1

에서 그래프가 끊어져 있고,

x=-1

근처에서는 매끄럽게 이어져 있다

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\{f(x)+f(-x)\}$

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\{f(x)-f(-x)\}$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답과 해설 보기

정답 ②

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

그래프에서 읽어 둡니다. $x=0$ 은 왼쪽 $1$ , 오른쪽 $3$ 입니다. $x=1$ 은 왼쪽 $2$ , 오른쪽 $4$ 입니다. $x=-1$ 근처는 이어져 있고 높이는 $2$ 입니다.
ㄱ: $x=0$ 에서 왼쪽 $1$ 과 오른쪽 $3$ 이 다르므로 극한값이 없습니다.
ㄴ: $f(-x)$ 는 부호가 뒤집혀 방향이 바뀝니다. 오른쪽에서 오면 $f(x)$ 는 오른쪽 값 $3$ , $f(-x)$ 는 왼쪽 값 $1$ 이라 합이 $4$ 입니다. 왼쪽에서 오면 $1+3=4$ 입니다. 같으므로 극한값이 있습니다.
ㄷ: $x\to1$ 이면 $-x\to-1$ 이고 거기는 이어져 있어 $f(-x)$ 는 양쪽 모두 $2$ 입니다. 왼쪽 $2-2=0$ , 오른쪽 $4-2=2$ 로 다르므로 극한값이 없습니다.
극한값이 있는 것은 ㄴ뿐입니다. → 정답 ②

자세한 풀이 보기

먼저 그래프에서 필요한 값을 읽어 둔다.

$x=0$ 근처 : 왼쪽 조각은 높이 $1$ 의 $\circ$ 를 향하고, 오른쪽 조각은 높이 $3$ 의 $\bullet$ 에서 시작한다. 즉 $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=1$ , $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=3$ 이다.
$x=1$ 근처 : 왼쪽 조각은 높이 $2$ 의 $\circ$ 를 향하고, 오른쪽 조각은 높이 $4$ 의 $\bullet$ 에서 시작한다. 즉 $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2$ , $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=4$ 이다.
$x=-1$ 근처 : 그래프가 끊어지지 않고 매끄럽게 이어져 있으며 꼭짓점의 높이가 $2$ 이므로 $\displaystyle\lim_{x\to -1}f(x)=2$ 이다.

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$

좌극한 $1$ 과 우극한 $3$ 이 다르므로 극한값은 존재하지 않는다.

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\{f(x)+f(-x)\}$

$x\to 0^{+}$ 일 때 $f(x)\to 3$ 이고, $-x\to 0^{-}$ 이므로 $f(-x)\to 1$ 이다.

\lim_{x\to 0^{+}}\{f(x)+f(-x)\}=3+1=4

$x\to 0^{-}$ 일 때 $f(x)\to 1$ 이고, $-x\to 0^{+}$ 이므로 $f(-x)\to 3$ 이다.

\lim_{x\to 0^{-}}\{f(x)+f(-x)\}=1+3=4

좌극한과 우극한이 모두 $4$ 로 같으므로 극한값이 존재한다.

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\{f(x)-f(-x)\}$

$x\to 1$ 일 때 $-x\to -1$ 이고 $x=-1$ 근처는 매끄럽게 이어져 있으므로, 양쪽 어느 방향에서든 $f(-x)\to 2$ 이다.

\lim_{x\to 1^{-}}\{f(x)-f(-x)\}=2-2=0,\qquad \lim_{x\to 1^{+}}\{f(x)-f(-x)\}=4-2=2

좌극한 $0$ 과 우극한 $2$ 가 다르므로 극한값은 존재하지 않는다.

보기	좌극한	우극한	극한값
ㄱ	$1$	$3$	없음
ㄴ	$4$	$4$	$4$
ㄷ	$0$	$2$	없음

x=0

의 양쪽 높이는

1

과

3

이고,

x=1

의 양쪽 높이는

2

와

4

입니다.

따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ뿐이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: $f(-x)$ 는 $x$ 가 가는 방향과 반대쪽 조각을 읽는다.

x\to a^{+}\Longrightarrow -x\to(-a)^{-},\qquad x\to a^{-}\Longrightarrow -x\to(-a)^{+}

두 함수의 한쪽 극한이 각각 실수로 존재할 때 합이나 차의 한쪽 극한은 한쪽 극한끼리 더하거나 빼서 구하고, 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한값이 존재한다.

쉽게 말하면 — $f(x)$ 와 $f(-x)$ 는 서로 반대 길을 걷는 두 사람입니다. $x\to0$ 이라면 둘이 낸 결과를 더할 때 어느 쪽에서 출발하든 “왼쪽 길의 결과 + 오른쪽 길의 결과”가 되어 같은 값이 나옵니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

$f(x)+f(-x)$ 는 $x$ 를 $-x$ 로 바꿔도 값이 그대로인 식이다. 그래서 $x=0$ 에서 좌극한과 우극한은 거울에 비친 것처럼 항상 같다. $f$ 의 좌극한과 우극한이 각각 실수로 존재하기만 하면 ㄴ처럼 합의 극한값이 존재하고, 계산 없이 바로 판정해도 된다.

다만 합의 극한값이 존재해도 그 점의 함숫값과 같다는 뜻은 아니다. $g(x)=f(x)+f(-x)$ 라 하면 $g(0)=2f(0)=6$ 이지만 극한값은 $4$ 이다. 극한값과 함숫값은 여전히 따로 읽는다.

반면 ㄷ은 $x=1$ 에서 묻는다. $x=1$ 근처의 $-x$ 는 $-1$ 근처의 매끄러운 부분을 읽을 뿐이라 아무 일도 일으키지 못한다. 끊어진 $f(x)$ 만 남으므로 차도 끊어진다. 같은 모양의 식이라도 어디에서 묻는지에 따라 결과가 달라진다.

다음 문제

문제 5 · 응용

정의역이 $\{x\mid 0\le x\le 4\}$ 인 두 함수 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ 의 그래프가 그림과 같다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

f

는

x=1

에서 끊어져 있고

x=3

에서는 꺾여 있다.

g

는

x=1

과

x=3

에서 모두 끊어져 있다

ㄱ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ 와 $\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)$ 가 모두 존재하지 않으므로 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\{f(x)+g(x)\}$ 도 존재하지 않는다.

ㄴ. $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)g(x)$ 의 값이 존재한다.

ㄷ. $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$ 는 존재하고 $\displaystyle\lim_{x\to 3}g(x)$ 는 존재하지 않으므로 $\displaystyle\lim_{x\to 3}\{f(x)+g(x)\}$ 는 존재하지 않는다.

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답과 해설 보기

정답 ④

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기6단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

그래프에서 읽어 둡니다. $x=1$ 에서 $f$ 는 왼쪽 $1$ , 오른쪽 $3$ 이고 $g$ 는 왼쪽 $3$ , 오른쪽 $1$ 입니다. $x=3$ 에서 $f$ 는 양쪽 $2$ 이고 $g$ 는 왼쪽 $2$ , 오른쪽 $4$ 입니다.
이 문제에서는 각 함수의 왼쪽 값과 오른쪽 값이 모두 숫자입니다. 합이나 곱은 왼쪽 값끼리, 오른쪽 값끼리 따로 계산해서 비교합니다.
ㄱ: $x=1$ 에서 합은 왼쪽 $1+3=4$ , 오른쪽 $3+1=4$ 로 같으므로 극한값이 있습니다. “존재하지 않는다”고 했으므로 ㄱ은 틀립니다.
ㄴ: $x=1$ 에서 곱은 왼쪽 $1\times3=3$ , 오른쪽 $3\times1=3$ 으로 같으므로 극한값이 있습니다. ㄴ은 옳습니다.
ㄷ: $x=3$ 에서 합은 왼쪽 $2+2=4$ , 오른쪽 $2+4=6$ 으로 다르므로 극한값이 없습니다. ㄷ은 옳습니다.
옳은 것은 ㄴ, ㄷ입니다. → 정답 ④

※ 계산에 쓰는 각 함수의 왼쪽 값과 오른쪽 값이 숫자일 때 쓰는 방법입니다. 각 함수의 극한값이 없어도 괜찮습니다.

자세한 풀이 보기

보기에 나오는 두 지점 $x=1,\ 3$ 에서 두 함수의 좌극한과 우극한을 먼저 읽는다.

지점	$f$ 의 좌극한	$f$ 의 우극한	$g$ 의 좌극한	$g$ 의 우극한
$x=1$	$1$	$3$	$3$	$1$
$x=3$	$2$	$2$	$2$	$4$

x=1

에서는

f

가

1

에서

3

으로,

g

가

3

에서

1

로 뛰고,

x=3

에서는

f

는

2

로 모이지만

g

는 왼쪽이

2

, 오른쪽이

4

입니다.

ㄱ. $x=1$ 에서 $f$ 와 $g$ 는 모두 좌극한과 우극한이 달라 극한값이 존재하지 않는다. 그러나 합의 한쪽 극한을 각각 구하면

\lim_{x\to 1^{-}}\{f(x)+g(x)\}=1+3=4,\qquad \lim_{x\to 1^{+}}\{f(x)+g(x)\}=3+1=4

로 같으므로 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\{f(x)+g(x)\}=4$ 로 존재한다. 따라서 보기는 옳지 않다.

ㄴ. 곱의 한쪽 극한을 각각 구하면

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)g(x)=1\cdot 3=3,\qquad \lim_{x\to 1^{+}}f(x)g(x)=3\cdot 1=3

으로 같으므로 $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)g(x)=3$ 으로 존재한다. 옳다.

ㄷ. $x=3$ 에서 $f$ 는 좌극한과 우극한이 모두 $2$ 이므로 극한값이 존재하고, $g$ 는 좌극한 $2$ 와 우극한 $4$ 가 다르므로 존재하지 않는다. 합의 한쪽 극한은

\lim_{x\to 3^{-}}\{f(x)+g(x)\}=2+2=4,\qquad \lim_{x\to 3^{+}}\{f(x)+g(x)\}=2+4=6

으로 서로 다르므로 극한값이 존재하지 않는다. 옳다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: 두 함수의 한쪽 극한이 각각 실수로 존재할 때, 합이나 곱의 한쪽 극한은 한쪽 극한끼리 더하거나 곱해서 구한다.

\lim_{x\to a^{\pm}}\{f(x)+g(x)\}=\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)+\lim_{x\to a^{\pm}}g(x),\qquad \lim_{x\to a^{\pm}}f(x)g(x)=\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)\cdot\lim_{x\to a^{\pm}}g(x)

그 뒤 좌극한과 우극한이 같으면 극한값이 존재한다. 이때 두 사실을 구분해야 한다.

두 함수의 극한값이 모두 존재하지 않아도 합과 곱의 극한값은 존재할 수 있다. (ㄱ, ㄴ)
한 함수는 극한값이 존재하고 다른 함수는 존재하지 않으면, 합의 극한값은 반드시 존재하지 않는다. (ㄷ)

쉽게 말하면 — “둘 다 안 된다고 합쳐도 안 된다”는 보장은 없습니다. 하지만 “한쪽은 되고 한쪽은 안 되면, 합쳐도 안 된다”는 보장은 있습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

각 함수의 좌극한과 우극한이 모두 실수일 때, 합의 극한을 볼 때는 각 함수가 얼마나 뛰는지만 보면 된다. 합이 이어지려면 한쪽이 위로 뛴 만큼 다른 쪽이 아래로 뛰어 서로 지워져야 한다.

$x=1$ 에서 $f$ 는 $1$ 에서 $3$ 으로 $+2$ 만큼 뛰고, $g$ 는 $3$ 에서 $1$ 로 $-2$ 만큼 뛰므로 합은 이어진다. $x=3$ 에서는 $f$ 가 뛰지 않고 $g$ 만 $+2$ 만큼 뛰므로 지워 줄 상대가 없어 합도 그대로 뛴다. ㄷ이 항상 성립하는 이유가 이것이다.

다음 문제

문제 6 · 응용

함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 정의되고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=f(x)$ 를 만족시킨다. $x\ge 0$ 에서 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같을 때, $\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x)+f(-2)$ 의 값은?

x\ge 0

에서의 그래프이다.

x=2

에서는

\circ

두 개와

\bullet

하나가 찍혀 있다

① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $6$

정답과 해설 보기

정답 ⑤

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$f(-x)=f(x)$ 이면 왼쪽 그래프는 오른쪽 그래프를 $y$ 축에 비춘 모양입니다. 그래서 $x=-2$ 의 왼쪽( $-2^-$ )은 $x=2$ 의 오른쪽( $2^+$ )과 같은 값을 읽습니다.
그림에서 $x=2$ 의 오른쪽 조각이 출발하는 높이를 읽습니다. $4$ 이므로 $\lim_{x\to-2^-}f(x)=4$
$f(-2)=f(2)$ 입니다. 그림에서 $x=2$ 자리에 실제로 찍힌 속이 찬 점(●)의 높이를 읽습니다. $2$
더합니다. $4+2=6$ → 정답 ⑤

※ $f(-x)=f(x)$ 일 때는 왼쪽과 오른쪽이 서로 바뀝니다.

자세한 풀이 보기

(i) 좌극한을 오른쪽 그래프의 우극한으로 바꾸기

$f(-x)=f(x)$ 이므로 $t=-x$ 로 놓으면 $x\to -2^{-}$ 일 때 $t\to 2^{+}$ 이다. 따라서

\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=\lim_{t\to 2^{+}}f(t)

이다. 그림에서 $x>2$ 인 조각은 $\circ$ $(2,4)$ 에서 출발하므로 $t\to 2^{+}$ 일 때 높이는 $4$ 에 가까워진다.

\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=4

(ii) 함숫값 구하기

그림에서 $x=2$ 의 $\bullet$ 은 $(2,2)$ 에 찍혀 있으므로 $f(2)=2$ 이고, $f(-2)=f(2)=2$ 이다.

(iii) 답 구하기

\lim_{x\to -2^{-}}f(x)+f(-2)=4+2=6

오른쪽 그래프를

y

축에 비춘 것이 왼쪽 그래프입니다.

-2

의 왼쪽에서 가까워지는 점은 높이

4

를 향하고,

f(-2)=2

입니다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번: 짝함수 $f(-x)=f(x)$ 에서는 $a$ 의 부호를 바꾸면 극한의 방향도 함께 바뀐다.

\begin{aligned} \lim_{x\to -a^{-}}f(x)&=\lim_{x\to a^{+}}f(x)\\ \lim_{x\to -a^{+}}f(x)&=\lim_{x\to a^{-}}f(x)\\ f(-a)&=f(a) \end{aligned}

이 문제는 $x=2$ 에서 세 값이 모두 다르다. $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=3$ , $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=4$ , $f(2)=2$ 이다.

쉽게 말하면 — 음수 쪽 질문은 “거울 속 양수 쪽 질문”으로 번역해서 답하면 됩니다. 번역할 때 “왼쪽에서”는 “오른쪽에서”로 함께 바뀌고, 함숫값은 그대로 가져옵니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가장 많이 틀리는 곳은 $x\to -2^{-}$ 를 보고 $x\to 2^{-}$ 로 읽어 극한값을 $4$ 가 아닌 $3$ 으로 잡고, 답을 ④( $3+2=5$ )로 쓰는 것이다. 음수 쪽 그래프를 직접 그려 보면 막을 수 있다. $-2$ 의 왼쪽은 원점에서 더 먼 쪽이고, 거울에 비추면 $2$ 의 더 먼 쪽, 곧 오른쪽이 된다. 부호가 바뀌면 “원점에서 멀다”는 성질은 유지되고 “왼쪽·오른쪽”이라는 이름만 바뀐다.

그래서 이 유형은 “원점에서 먼 쪽에서 가는가, 가까운 쪽에서 가는가”로 기억해 두면 편하다. $-2^{-}$ 는 먼 쪽이므로 오른쪽 그래프에서도 먼 쪽인 $2^{+}$ 조각( $4$ )을 보고, $-2^{+}$ 는 가까운 쪽이므로 $2^{-}$ 조각( $3$ )을 보면 된다. 함숫값 $f(-2)$ 는 방향이 없으니 $f(2)=2$ 를 그대로 쓴다.

다음 문제

문제 7 · 응용

함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 정의되고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+3)=f(x)$ 를 만족시킨다. $0\le x\le 3$ 에서 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같을 때, $\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}f(x)+\lim_{x\to 6^{-}}f(x)$ 의 값은?

0\le x\le 3

에서의 그래프이다.

x=1

에서는

\circ

두 개와

\bullet

하나가,

x=3

에서는

\circ

하나와

\bullet

하나가 찍혀 있다

① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$

정답과 해설 보기

정답 ①

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$f(x+3)=f(x)$ 는 $0\le x\le3$ 그림이 $3$ 칸마다 반복된다는 뜻입니다. $x$ 에서 $3$ 을 빼서 그림 안의 자리로 옮기고, 왼쪽에서 오는 방향은 그대로 둡니다.
$x\to4^-$ 는 $4-3=1$ 이므로 $x\to1^-$ 입니다. 그림에서 $x=1$ 의 왼쪽 조각이 향하는 높이를 읽습니다. $1$
$x\to6^-$ 는 $6-3=3$ 이므로 $x\to3^-$ 입니다. 그림에서 $x=3$ 의 왼쪽 조각이 향하는 높이를 읽습니다. $2$
더합니다. $1+2=3$ → 정답 ①

※ 주기가 $3$ 이므로 $3$ 씩 빼서 그림 안으로 옮깁니다. 왼쪽( $-$ ), 오른쪽( $+$ ) 방향 표시는 바꾸지 않습니다.

자세한 풀이 보기

(i) $x\to 4^{-}$ 을 그림 안으로 옮기기

$f(x)=f(x-3)$ 이므로 $t=x-3$ 으로 놓으면 $x\to 4^{-}$ 일 때 $t\to 1^{-}$ 이다. 따라서

\lim_{x\to 4^{-}}f(x)=\lim_{t\to 1^{-}}f(t)

이다. 그림에서 $x<1$ 인 조각은 $\circ$ $(1,1)$ 을 향해 내려가므로 이 값은 $1$ 이다.

(ii) $x\to 6^{-}$ 을 그림 안으로 옮기기

같은 방법으로 $t=x-3$ 으로 놓으면 $x\to 6^{-}$ 일 때 $t\to 3^{-}$ 이다. 그림에서 $x<3$ 인 조각은 $\circ$ $(3,2)$ 를 향하므로

\lim_{x\to 6^{-}}f(x)=\lim_{t\to 3^{-}}f(t)=2

이다. $f(6)=f(0)=3$ 은 함숫값일 뿐 극한값과는 관계가 없다.

(iii) 답 구하기

\lim_{x\to 4^{-}}f(x)+\lim_{x\to 6^{-}}f(x)=1+2=3

0\le x\le 3

의 그래프가

3

칸마다 반복됩니다.

x\to 4^{-}

이면 높이는

1

에,

x\to 6^{-}

이면 높이는

2

에 가까워집니다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번: 주기가 $p$ 인 함수에서는 정수 $n$ 에 대하여 극한의 방향은 그대로 두고 위치만 $np$ 옮긴다.

\lim_{x\to (a+np)^{\pm}}f(x)=\lim_{x\to a^{\pm}}f(x),\qquad f(a+np)=f(a)

그림이 한 주기만 주어진 경우, 이 이동으로 도착한 점이 그림의 끝점이면 그 끝점의 그려진 쪽만 읽을 수 있다. $x=0$ 은 오른쪽이, $x=3$ 은 왼쪽이 그려져 있다. 이 문제의 $6^{-}$ 는 왼쪽 방향이므로 $3^{-}$ 에서 읽는다.

쉽게 말하면 — 복사해서 이어 붙인 그림은 위치만 달라졌지 모양은 그대로입니다. 그래서 질문의 점을 $3$ 의 배수만큼 왼쪽으로 옮겨 그림 안으로 데려오고, “왼쪽에서”라는 말은 바꾸지 않고 그대로 가져가면 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가장 많이 틀리는 곳은 $x\to 6^{-}$ 를 $0$ 쪽으로 옮기면서 그림이 있는 $0^{+}$ 조각을 읽어 $3$ 을 쓰는 것이다. 그러면 $1+3=4$ 가 되어 답을 ②로 쓰게 된다. $6^{-}$ 는 왼쪽에서 오는 점이므로 방향을 바꾸면 안 된다. $0$ 의 왼쪽에는 그려진 그림이 없고 $3$ 의 왼쪽에는 있으니 $3^{-}$ 에서 읽어야 한다.

한 주기를 고리로 이어 붙인다고 생각하자. $3$ 과 $0$ 은 같은 점이고, 그 점의 앞쪽은 그림의 오른쪽 끝( $3^{-}$ )에, 뒤쪽은 그림의 왼쪽 끝( $0^{+}$ )에 있다. 그래서 $6^{-}$ 는 오른쪽 끝에서, $6^{+}$ 는 왼쪽 끝에서 읽는다. 또 $\bullet$ $(3,3)$ 은 $f(3)=f(0)$ 이라는 함숫값이어서 극한값에는 쓰이지 않는다.