함수의 극한 — 분모에 절댓값이 있는 분수식: 분자의 인수 개수로 가르는 극한

$x\to 3$이면 $x-3$은 $0$이 아니면서 $0$에 가까워지는데, 절댓값은 부호를 지워 주므로 $|x-3|$은 $3$의 왼쪽에서 오든 오른쪽에서 오든 항상 양수이면서 $0$에 한없이 가까워진다.

그러므로 $|x-3|$의 역수인 $f(x) = \dfrac{1}{|x-3|}$의 값은 한없이 커진다. 즉 $f(x)$는 $x=3$에서 양의 무한대로 발산하므로,

이다.

핵심 개념 1번: $x$가 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때 $|x-a| \to 0^+$(항상 양수인 채로 $0$에 접근)이므로, 상수 $k \neq 0$에 대해 다음이 성립한다.

이 문제는 $k=1>0$인 경우이므로 양의 무한대로 발산한다.

쉽게 말하면 — 절댓값을 씌운 식은 항상 $0$ 이상이므로, $0$에 가까워지는 절댓값 식으로 나누는 것은 “아주 작은 양수로 나누는” 상황과 똑같습니다. 작은 양수로 나눌수록 몫은 한없이 커집니다.

분자를 인수분해하면 $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$이므로

이다. 절댓값 안의 $x+3$의 부호가 갈리는 지점은 $x=-3$이므로 오른쪽과 왼쪽으로 나누어 $f(x)$를 정리한다.

(i) 우극한

$x>-3$이면 $x+3>0$이므로 $|x+3|=x+3$이고,

(ii) 좌극한

$x<-3$이면 $x+3<0$이므로 $|x+3|=-(x+3)$이고,

(iii) 선지 확인

$\displaystyle\lim_{x \to -3^{+}} f(x) = -5$, $\displaystyle\lim_{x \to -3^{-}} f(x) = 5$이므로 ③

만 옳다. 좌극한과 우극한이 다르므로 $\displaystyle\lim_{x \to -3} f(x)$는 존재하지 않아 ④, ⑤도 옳지 않다.

핵심 개념 2번: $x\to a$일 때 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같아야 한다.

$|x+3|$에서 경계는 $x=-3$이며, $x+3=x-(-3)$이므로 $a=-3$으로 읽는다. 분자를 $(x-2)(x+3)$으로 분해하면 $h(x)=x-2$이고, $h(-3)=-5$이므로 우극한은 $h(-3)=-5$, 좌극한은 $-h(-3)=5$이다.

쉽게 말하면 — 분자의 $(x+3)$과 분모의 $|x+3|$이 만나면 오른쪽에서는 서로 지워지고, 왼쪽에서는 부호가 하나 남습니다. 지우고 남은 $x-2$에 $x=-3$을 넣은 값 $-5$가 오른쪽 답이고, 왼쪽 답은 그 부호를 바꾼 $5$입니다.

$g(x)=x^2+ax+b$라 하자.

(i) 분자가 $x=3$에서 $0$이어야 한다

$x \to 3$일 때 분모 $|x-3|$는 $0$에 가까워진다. 분자 $g(3)$이 $0$이 아니면 $|f(x)|$가 한없이 커져 극한값이 존재하지 않으므로

이다. 이때 $g(x)=x^2+ax-3a-9=(x-3)(x+a+3)$으로 인수분해된다.

(ii) 좌극한과 우극한을 같게 만들기

$x>3$이면 $|x-3|=x-3$이므로 $f(x)=x+a+3$이고,

$x<3$이면 $|x-3|=-(x-3)$이므로 $f(x)=-(x+a+3)$이고,

극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 하므로

이고, $b=-3(-6)-9=9$이다. 일차방정식의 해이므로 $a$, $b$는 이 한 쌍뿐이다. 이때 극한값은 $0$이다.

(iii) 답 구하기

핵심 개념 3번·4번: 분모가 $|x-a|$인 다항식 분수식의 극한값이 존재하기 위한 조건은 다음과 같다.

(i)에서 $g(a)=0$이므로 $g(x)=(x-a)q(x)$로 쓸 수 있고, $x=a$ 양쪽의 극한은 각각 $q(a)$, $-q(a)$이다. 둘이 같으려면 $q(a)=0$이어야 하며, 이는 $q(x)$도 $(x-a)$를 인수로 갖는다는 뜻이다. 이때 다음 약분이 성립한다.

쉽게 말하면 — 분모의 $|x-a|$는 분자의 $(x-a)$ 하나를 지우고 나면 좌우로 부호만 다른 신호등을 남깁니다. 신호등을 곱한 값이 양쪽에서 똑같아지려면 남은 식이 $x=a$에서 $0$이어야 하므로, 분자에는 $(x-a)$가 한 번이 아니라 두 번 들어 있어야 합니다.

(i) 분자에 $(x+1)$이 있어야 함

$x\to -1^{+}$일 때 분모 $|x+1|$은 $0$에 가까워진다. 우극한이 $-4$로 수렴하려면 분자도 $0$에 가까워져야 하므로 $x^2+ax+b$에 $x=-1$을 넣은 값이 $0$이다.

따라서 $x^2+ax+b=x^2+ax+(a-1)=(x+1)(x+a-1)$이다.

(ii) 우극한으로 $a$, $b$ 구하기

$x>-1$이면 $|x+1|=x+1$이므로

이 값이 $-4$이므로 $a=-2$이고, $b=a-1=-3$이다. (i)에서 $b$가 $a$에 대해 하나로 정해지고 (ii)에서 $a$도 하나로 정해지므로 $(a,b)=(-2,-3)$이 유일하다.

(iii) 좌극한 구하기

$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$이고, $x<-1$이면 $|x+1|=-(x+1)$이므로

(iv) 답 구하기

핵심 개념 2번·4번: 분모가 $|x-a|$이고 분자 $N(x)$가 다항식일 때, $x\to a$에서 어느 한쪽 극한이 유한한 값 $L$로 수렴하면 $N(x)$는 다음을 만족한다.

$N(a)\neq 0$이면 분자는 $0$이 아닌 값에 가까워지고 분모만 $0$에 가까워지므로 발산한다. 즉 $N(a)=0$은 “유한한 극한값이 존재하기 위한 필수 조건”이다. 이 문제에서는 경계가 $x=-1$이므로 $N(-1)=0$이고, $h(x)=x+a-1$에서 $h(-1)=a-2$가 우극한이 된다.

쉽게 말하면 — 분모가 $0$으로 가는데 분수가 유한한 값에 머문다면, 분자도 $0$이 되어야 한다는 증거입니다. 분자에 $(x+1)$이 숨어 있다는 뜻이니, 이 사실부터 식에 박아 넣고 시작하면 됩니다.

(i) 분자의 극한값 구하기

분자를 $N(x)=x^2-6x+k^2-2k+1$이라 하면

이다. $x\to 3$이면 분자는 $N(3)$에 가까워지고, 분모 $|x-3|$는 양수인 채로 $0$에 가까워진다. 분모가 왼쪽·오른쪽 모두 양수이므로 결과의 부호는 $N(3)$의 부호가 정한다.

(ii) $N(3)$의 부호에 따라 극한 구하기

• $N(3)>0$ : $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=\infty$
• $N(3)<0$ : $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=-\infty$
• $N(3)=0$ : $(k-4)(k+2)=0$에서 $k=4$ 또는 $k=-2$이다. 이때 $k^2-2k+1=9$이므로 $N(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2$이고, $x\neq 3$에서 $f(x)=\dfrac{(x-3)^2}{|x-3|}=|x-3|$이다. 따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=0$이어서 $\infty$가 아니다.

(iii) 조건을 만족시키는 $k$ 구하기

극한이 $\infty$이려면 $N(3)>0$이어야 하므로

$-6\le k\le 6$인 정수 중 이 범위에 드는 것은 $k=-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ 5,\ 6$이다. $k=-2,\ 4$는 극한이 $0$이고, $k=-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$은 극한이 $-\infty$이므로 제외된다. 따라서 구하는 개수는 $6$이다.

핵심 개념 1번·3번·4번: 분모가 $|x-a|$이고 분자의 극한값이 $c$인 분수식의 $x\to a$ 극한은 다음과 같이 정리된다.

| 분자의 극한값 $c$ | $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(\text{분자})}{|x-a|}$ | |:---:|:---:| | $c>0$ | $\infty$ | | $c<0$ | $-\infty$ | | $c=0$ | 분자를 $(x-a)$로 묶어 약분한 뒤 다시 계산 |

$c=0$일 때는 분자와 분모가 모두 $0$에 가까워지는 꼴이므로 위 규칙을 그대로 쓸 수 없고, 반드시 식을 정리해야 한다. 이 문제에서는 분자가 $(x-3)^2$이어서 $|x-3|$이 남았다. 분자가 $(x-3)h(x)$ 꼴이고 $h(3)\ne0$이었다면 $h(x)\cdot\dfrac{x-3}{|x-3|}$ 꼴이 되어 좌극한 $-h(3)$, 우극한 $h(3)$으로 갈라졌을 것이다.

쉽게 말하면 — 분모가 $0$으로 가고 분자가 $0$이 아닌 값으로 가면 결과는 “분자의 부호를 가진 무한대”입니다. 분자도 $0$으로 가면 식을 약분한 뒤 다시 계산해야 합니다.

(i) 통분하기

(ii) 우극한 ($x>0$)

$x>0$이면 $|x|=x$이므로 $f(x)=\dfrac{2x}{x\cdot x}=\dfrac{2}{x}$이다. $x\to 0^{+}$일 때 $\dfrac{2}{x}$는 양수이면서 한없이 커지므로

(iii) 좌극한 ($x<0$)

$x<0$이면 $|x|=-x$이므로 분자가 $|x|+x=-x+x=0$이다. 따라서 $x\neq 0$인 모든 음수 $x$에서 $f(x)=0$이고,

(iv) 선택지 판정

• ① 우극한이 발산하므로 극한값은 존재하지 않는다. (거짓)
• ② 우극한은 $2$가 아니라 $\infty$이다. (거짓)
• ③ 참
• ④ 좌우가 반대이다. (거짓)
• ⑤ 좌극한이 $0$이므로 $\infty$로 발산하지 않는다. (거짓)

핵심 개념 5번: 절댓값의 정의에 따라

이므로, $x\to 0^{+}$에서는 $|x|=x$, $x\to 0^{-}$에서는 $|x|=-x$로 바꿔 좌극한·우극한을 따로 구한다. 극한값 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$는 좌극한과 우극한이 모두 실수로 존재하고 같을 때에만 존재한다.

이 문제는 좌극한이 $0$, 우극한이 $\infty$이므로 극한값이 존재하지 않는다.

쉽게 말하면 — 같은 식이라도 $0$의 왼쪽에서는 $\dfrac{1}{x}$와 $\dfrac{1}{|x|}$가 서로 부호가 반대라 지워지고, 오른쪽에서는 부호가 같아 두 배가 됩니다.