함수의 극한 — 분모가 0이 아닌 유리함수·무리함수의 극한값 구하기

분모 $x+2$는 $x=3$에서 $3+2=5\neq 0$이므로 분모의 극한이 $0$이 아니다. 몫의 극한 법칙에 따라 분자·분모에 각각 $x=3$을 대입하면

핵심 개념 1번: 분모의 극한이 $0$이 아니면 $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}$이다. 이 문제에서 분모의 극한은 $5$이므로 그대로 적용된다.

쉽게 말하면 — 분자는 분자대로, 분모는 분모대로 $x=3$을 넣고 마지막에 나누면 됩니다. 분모에 넣은 값이 $0$이 아닌지만 먼저 확인하면 나머지는 평소 분수 계산과 같습니다.

$f(x) = \underbrace{x^2+2x}_{\text{이차식}} + \underbrace{\dfrac{6}{x-4}}_{\text{분수식}}$이고, $x=1$에서 분모는 $1-4=-3\neq 0$이므로 분수식 부분의 분모의 극한은 $0$이 아니다. 합의 법칙에 의해

핵심 개념 2번: 두 극한이 각각 존재하면 합의 극한은 극한의 합이다. 이차식 부분의 극한은 $3$, 분수식 부분의 극한은 분모가 $0$이 아니므로 $-2$이고, 이 둘을 더한다.

쉽게 말하면 — 성격이 전혀 다른 두 식이지만 “$x=1$을 넣었을 때 문제가 없는가”만 각각 확인되면, 둘 다 그냥 대입해서 마지막에 더하면 됩니다.

$f(x)=\sqrt{2x+7}$은 $2x+7\ge 0$, 즉 $x\ge -\dfrac{7}{2}$인 범위에서 정의된다. $x=1$에서 루트 안은 $2\cdot 1+7=9>0$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to1}(2x+7)=9>0$이고, 근호의 극한 공식을 쓸 수 있다. 따라서

핵심 개념 3번: 루트 안의 극한값이 $0$보다 크면 $\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt{g(x)}=\sqrt{\lim_{x\to a}g(x)}$이다. 여기서 $g(x)=2x+7$의 극한값이 $9$이다.

쉽게 말하면 — 루트 안에 들어 있는 식이 어떤 값으로 정리되는지 먼저 보고, 그 값에 루트를 씌우는 것이 마지막 마무리입니다.

분자 $\sqrt{3x+3}$은 $x\ge -1$에서 정의된다. 분모는 $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$이므로 $x=1$, $x=3$에서만 $0$이 된다.

$x=2$는 $x\ge -1$을 만족하고 $1$, $3$ 중 어느 것과도 같지 않으므로 분자의 극한은 $\sqrt{9}=3$, 분모의 극한은 $-1\ne0$이므로 몫의 극한 법칙으로 그냥 대입한다.

핵심 개념 4번: 분모가 이차식이면 먼저 인수분해해서 $0$이 되는 $x$를 모두 찾고, $a$가 그중 하나와 같지 않은지 확인한다. 같지 않고 $pa+q>0$이면 $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{px+q}}{rx^2+sx+t}=\frac{\sqrt{pa+q}}{ra^2+sa+t}$이다.

쉽게 말하면 — 분모가 이차식이면 위험 지역이 최대 두 곳입니다. 인수분해로 그 두 곳의 좌표를 미리 확인해 두고, $a$가 거기에 해당하지 않으면 그냥 대입하면 됩니다.

분자 $\sqrt{2x+7}$은 $x\ge -\dfrac{7}{2}$에서 정의되고, $x=-3$은 $-3.5$보다 크므로 이 범위 안쪽에 있다. 루트 안은 $2\cdot(-3)+7=1>0$이다.

분모는 $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$이므로 어떤 $x$에서도 $4$ 이상이다. 즉 분모는 절대 $0$이 되지 않는다. 두 조건이 모두 만족되므로 그대로 대입한다.

이차식 $rx^2+sx+t$가 항상 양수인지 보는 방법은 두 가지이다. 하나는 완전제곱식 $r(x+m)^2+n$ 꼴로 바꿔 $r>0$이고 $n>0$임을 보이는 것, 다른 하나는 $r>0$이면서 판별식 $s^2-4rt<0$임을 보이는 것이다. 이 문제의 $x^2+2x+5$는 $r=1>0$이고 판별식이 $2^2-4\times 1\times 5=-16<0$이다. ($r<0$이면 판별식이 음수여도 식이 항상 음수가 되므로 $r>0$ 조건이 꼭 필요하다.)

쉽게 말하면 — 이차식을 완전제곱 꼴로 바꾸면 “가질 수 있는 가장 작은 값”이 눈에 보입니다. 그 최솟값이 이미 양수라면 그 식은 절대 $0$이 될 수 없습니다.

$x=2$에서 분자는 $2\cdot 2-1=3$으로 $0$이 아니므로, 극한값이 존재하려면 분모가 $0$이 아니어야 한다. 따라서 몫의 극한 법칙을 쓸 수 있어

조건에서 이 값이 $1$이므로 $\dfrac{3}{2+k}=1$이다. 양변에 $2+k$를 곱하면 $3=2+k$이고, $k=1$이다.

검산: $k=1$이면 분모는 $2+1=3\neq 0$이므로 처음 가정과 모순이 없다.

핵심 개념 5번: 극한값이 주어졌으므로 $g(2)=1$이 출발점이다. 문제 1과 달리 미지수 $k$가 분모에 있으므로, 방정식을 정리하려면 분모를 양변에 곱해 없애는 단계가 하나 더 필요하다.

쉽게 말하면 — 이 문제는 분자가 $x=2$에서 $3$으로 $0$이 아니므로, 극한값이 존재한다는 말 자체가 “분모가 $0$이 아니다”라는 힌트입니다. 마음 편하게 $\lim$ 기호를 지우고 대입 방정식으로 바꿔 풀면 됩니다. 다만 $k$가 분모에 있으니 풀고 나서 분모가 $0$이 되지 않는지 확인해야 합니다.

$x=2$ 근처에서 $f(x)$가 정의되어 극한값이 존재한다면, 극한값은 $x=2$를 대입한 값과 같다.

이 값이 $4$이므로 $\sqrt{6+a}=4$이다. 양변을 제곱하면 $6+a=16$이고 $a=10$이다.

검산: $a=10$이면 $6+a=16>0$이므로 $x=2$ 근처에서 $f(x)$가 문제없이 정의된다. $\sqrt{16}=4$로 조건과도 일치한다.

문제 3과 같은 성질 $\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt{px+q}=\sqrt{pa+q}$($pa+q>0$일 때)를 쓰되, 이번에는 극한값이 먼저 주어지고 미지수 $a$를 거꾸로 찾는다. “극한값 = 대입한 식”이라는 등식을 세운 뒤 무리방정식을 풀듯 양변을 제곱한다.

쉽게 말하면 — 정석 풀이가 “$x=2$를 넣으면 무엇이 나오는가”를 묻는다면, 이 문제는 “무엇을 넣어야 결과가 $4$가 되는가”를 묻는 것뿐입니다. 쓰이는 등식은 같고 묻는 방향만 반대입니다.