함수의 극한 — 조각함수의 좌극한과 우극한: 방향 기호가 고르는 식으로 구하기

핵심 개념

1. 좌극한과 우극한은 다가가는 방향에 붙인 이름이다

$x$ 가 $a$ 보다 작은 값을 가지면서 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 가 일정한 값 $L$ 에 한없이 가까워지면, $L$ 을 $x=a$ 에서의 좌극한이라 한다. $x$ 가 $a$ 보다 큰 값을 가지면서 가까워질 때의 값 $M$ 은 우극한이라 한다.

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L,\qquad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=M

앞의 글들에서 $x\to a^{+}$ 같은 표기를 이미 써 왔는데, 여기서 뜻을 정식으로 정리하는 것이다. 다항식처럼 식 하나에 값을 대입해서 극한을 구하는 함수에서는 두 방향의 값이 같아서 굳이 구별하지 않았지만, 식이 갈리는 곳에서는 두 값이 다를 수 있다. 그래서 두 극한을 각각 따로 구해야 한다.

왼쪽에서는 왼쪽 조각을 따라 높이

p(a)

로, 오른쪽에서는 오른쪽 조각을 따라 높이

q(a)

로 향합니다. ○는 그 점이 그래프에 포함되지 않는다는 뜻이고, ●는 그래프에 포함된 점

(a,\,f(a))

이며

f(a)=q(a)

입니다.

쉽게 말하면 — 좌극한은 “왼쪽에서 걸어가면 도착하는 높이”, 우극한은 “오른쪽에서 걸어가면 도착하는 높이”입니다. 길이 한 줄이면 어느 쪽에서 가도 같은 곳에 닿지만, 길이 중간에서 갈리면 방향마다 닿는 높이가 따로 있습니다.

2. 방향 기호가 조각을 고른다

$x=a$ 를 경계로 식이 갈리는 함수를 생각하자.

f(x)=\begin{cases} p(x) & (x<a) \\ q(x) & (x\ge a) \end{cases}

$x\to a^{-}$ 는 $x<a$ 인 값만 보므로 $p(x)$ 를, $x\to a^{+}$ 는 $x>a$ 인 값만 보므로 $q(x)$ 를 쓴다.

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}p(x),\qquad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}q(x)

고르는 기준은 접근 방향과 부등호가 맞는 조각이다. 식이 적힌 순서(위쪽인지 아래쪽인지)나 이차식인지 일차식인지는 상관이 없다. 등호가 $x\ge a$ 쪽에 붙어 있다는 사실도 극한에는 영향을 주지 않는다. 등호는 $x=a$ 한 점의 함숫값이 어느 조각에 속하는지만 알려 줄 뿐, 극한은 $x=a$ 가 아닌 주변의 값만 보기 때문이다.

경계가 아닌 점 $c$ 에서는 $c$ 근처가 한 조각 안에 통째로 들어 있으므로, 쓸 식은 방향과 상관없이 그 조각의 식 하나로 정해진다. 그 식이 다항식이면 방향을 나누지 않고 $c$ 를 대입하면 된다. 식이 갈리는 경계에서는 방향마다 쓰는 식이 달라지므로 좌극한과 우극한을 따로 구한다.

쉽게 말하면 — $x\to a^{+}$ 의 $+$ 는 “오른쪽 구간의 식을 쓴다”, $x\to a^{-}$ 의 $-$ 는 “왼쪽 구간의 식을 쓴다”는 표시입니다. 식이 어떤 순서로 적혀 있든 부등호만 보면 됩니다.

3. 고른 조각이 다항식이면 경계의 값을 대입한다

다항식의 극한값은 대입한 값이다. 한쪽 극한도 마찬가지로, 고른 조각이 다항식이면 그 식에 $x=a$ 를 넣은 값이 곧 한쪽 극한이다.

\lim_{x\to a^{-}}p(x)=p(a),\qquad \lim_{x\to a^{+}}q(x)=q(a)

$x<a$ 인 조각에 $x=a$ 를 넣는 것이 어색해 보일 수 있다. 하지만 극한은 $x=a$ 일 때의 값이 아니라 $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 그 식이 향해 가는 높이를 묻는다. 그 높이를 계산하는 가장 빠른 방법이 대입일 뿐이다.

쉽게 말하면 — 직선이든 곡선이든 그 조각을 경계 바로 앞까지 쭉 따라가면 도착하는 높이가 있고, 그 높이는 식에 경계의 값을 넣으면 나옵니다.

4. 조각이 셋 이상이면 경계마다 따로 본다

$a<b$ 인 두 경계에서 식이 바뀌는 함수를 생각하자.

f(x)=\begin{cases} p(x) & (x<a) \\ q(x) & (a\le x<b) \\ r & (x\ge b) \end{cases}

경계마다 왼쪽 이웃 조각과 오른쪽 이웃 조각이 다르다. 한쪽 극한에는 가까워지는 쪽의 조각 하나만 쓰인다.

극한	$x\to a^{-}$	$x\to a^{+}$	$x\to b^{-}$	$x\to b^{+}$
조각	$p(x)$	$q(x)$	$q(x)$	$r$

가운데 조각 $q(x)$ 는 두 경계 사이에 끼어 있어서, 경계 $a$ 에서는 우극한에, 경계 $b$ 에서는 좌극한에 쓰인다. 반대로 바깥쪽에서 다가가는 $x\to a^{-}$ 와 $x\to b^{+}$ 에는 가운데 조각이 나타나지 않는다.

왼쪽에서

a

로 가까워지면 직선 조각을 따라 높이

p(a)

로, 오른쪽에서

b

로 가까워지면 수평선 조각을 따라 높이

r

로 향합니다. 회색 가운데 곡선 조각은 이 두 극한에 쓰이지 않습니다. ○는 그래프에 포함되지 않는 점이고 ●는 그래프 위의 점입니다.

쉽게 말하면 — 극한을 구하는 점에 서서 “내가 어느 쪽에서 오고 있는가”를 먼저 정하면, 식이 몇 개 적혀 있든 쓸 식은 하나로 정해집니다.

5. 고른 조각이 무리식이면 근호 안의 극한부터 구한다

고른 조각에 근호가 있으면 앞에서 배운 대로 근호 안의 극한을 먼저 구한다. 근호 안의 값이 양수 $k$ 에 가까워지면 근호를 씌운 값은 $\sqrt{k}$ 에 가까워진다.

\lim_{x\to a^{+}}g(x)=k\ (k>0)\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a^{+}}\sqrt{g(x)}=\sqrt{k}

방향이 조각을 고르는 규칙은 그대로이고, 고른 조각의 극한을 계산하는 방법만 달라진다.

쉽게 말하면 — 어느 조각을 쓸지는 방향이 정하고, 그 조각 안의 극한은 평소 하던 대로 계산합니다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 4단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

$a$ 가 줄이 나뉘는 경계이고 극한이 $a^-$ 또는 $a^+$ 이면, $-$ 는 $x<a$ 쪽 줄의 식을, $+$ 는 $x>a$ 쪽 줄의 식을 고릅니다.
$a$ 가 경계이고 방향 표시가 없으면 $a^-$ 와 $a^+$ 를 각각 구해서 같은 숫자이면 그 값이 극한값, 다르면 극한값이 없습니다.
$a$ 가 경계가 아니면 방향과 상관없이 그 점이 속한 줄의 식을 고릅니다.
고른 식의 $x$ 자리에 극한에서 $x$ 가 가까워지는 값 $a$ 를 넣습니다.

※ $x$ 가 실수 값으로 가까워지고 줄의 식이 다항식일 때의 기본형입니다. 루트가 든 줄은 루트 안에 넣은 값이 $0$ 보다 큰지 먼저 확인하고, 줄이 셋 이상이면 극한마다 어느 줄인지 따로 정하세요.

유제

문제 1 · 기본

함수

f(x)=\begin{cases} 2x+1 & (x<3) \\ -x+10 & (x\ge 3) \end{cases}

에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)$ 의 값은?

① 1
② 3
③ 7
④ 10
⑤ 13

정답과 해설 보기

정답 ③

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요2단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

위첨자 $-$ 는 “왼쪽( $x<3$ )에서 온다”는 뜻이므로 $x<3$ 인 줄의 식 $2x+1$ 을 씁니다.
그 식의 $x$ 자리에 $3$ 을 넣습니다. $2\times3+1=7$ → 정답 ③

※ $x=a$ 에서 식이 나뉘는 경계로 가까워지는 극한일 때, $a^-$ 는 $x<a$ 쪽 줄의 식을, $a^+$ 는 $x>a$ 쪽 줄의 식을 씁니다. 경계의 등호( $\ge$ )가 어느 줄에 붙어 있어도 한쪽 극한에는 상관없습니다.

자세한 풀이 보기

(i) 어느 식을 쓸지 정하기

$x\to 3^{-}$ 는 $x$ 가 $3$ 보다 작은 쪽에서 $3$ 에 가까워진다는 뜻이다. 이때 $x<3$ 이므로 $f(x)=2x+1$ 이 쓰인다.

(ii) 극한값 구하기

\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}(2x+1)=2\cdot 3+1=7

(iii) 검산

오른쪽 식에 $x=3$ 을 넣으면 $-3+10=7$ 로 같은 높이이다. 두 조각이 $x=3$ 에서 이어져 있으므로 좌극한과 우극한이 모두 $7$ 이다.

x

가

3

보다 작은 쪽에서 가까워지든 큰 쪽에서 가까워지든 점은 높이

7

인 이음매로 향한다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·3번: 방향 기호가 쓸 조각을 고르고, 고른 다항식에 경계의 값을 대입한다.

$x=a$ 를 경계로 식이 갈리는 함수 $f(x)=\begin{cases}p(x) & (x<a)\\ q(x) & (x\ge a)\end{cases}$ 에서

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}p(x),\qquad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}q(x)

이다. 일차식은 다항식이므로 $x$ 에 $a$ 를 대입한 값이 곧 극한값이다. 또 $p(a)=q(a)$ 이면 좌극한과 우극한이 같아서 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=p(a)$ 이다.

쉽게 말하면 — 어느 쪽에서 다가가는지가 “어느 식을 볼지”를 정해 주고, 그 식에 $a$ 를 넣으면 답이 나옵니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가장 많이 막히는 곳은 “ $x<3$ 인 식에 $x=3$ 을 넣어도 되나?”라는 의문이다. 극한은 $x=3$ 에서의 값이 아니라, $x<3$ 인 점들이 향해 가는 높이를 묻는다. 직선 $y=2x+1$ 은 $x=3$ 바로 앞까지 쭉 올라가고 있으니, 그 직선이 $x=3$ 자리에서 갖는 높이 $7$ 이 곧 극한값이다.

이음매가 이어져 있는 함수라면 왼쪽 식과 오른쪽 식 중 무엇을 넣어도 같은 답이 나온다. 그래서 두 식의 대입값을 비교하는 것은 이음매의 높이가 같은지(두 조각이 이어져 있는지)를 확인하는 방법이다. 식을 제대로 골랐는지까지 걸러 주지는 못한다 — 이 문제에서도 좌극한에 오른쪽 식을 잘못 써 보면 $-3+10=7$ 로 똑같은 값이 나온다. 어느 식을 쓸지는 접근 방향( $3^{-}$ 인지 $3^{+}$ 인지)과 구간 조건( $x<3$ 인지 $x\ge 3$ 인지)이 맞물리는지를 따로 확인해야 한다.

다음 문제

문제 2 · 기본

함수

f(x)=\begin{cases} 2x-1 & (x<3) \\ x^{2}-4x+1 & (x\ge 3) \end{cases}

에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)$ 의 값은?

① $-3$
② $-2$
③ 1
④ 5
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요2단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

위첨자 $+$ 는 “오른쪽( $x>3$ )에서 온다”는 뜻이므로 $x\ge3$ 인 줄의 식 $x^2-4x+1$ 을 씁니다.
그 식의 $x$ 자리에 $3$ 을 넣습니다. $9-12+1=-2$ → 정답 ②

자세한 풀이 보기

(i) 어느 식을 쓸지 정하기

$x\to 3^{+}$ 는 $x$ 가 $3$ 보다 큰 쪽에서 $3$ 에 가까워진다는 뜻이다. 이때 $x>3$ 이므로 $f(x)=x^{2}-4x+1$ 이 쓰인다.

(ii) 극한값 구하기

\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}(x^{2}-4x+1)=3^{2}-4\cdot 3+1=-2

(iii) 확인

왼쪽 식으로는 $2\cdot 3-1=5$ 이므로 좌극한은 $5$ 이고 우극한 $-2$ 와 다르다. 따라서 $x\to 3$ 일 때의 양쪽 극한은 존재하지 않지만, 문제가 묻는 것은 우극한이므로 답은 $-2$ 이다.

오른쪽에서

x=3

에 가까워지는 점은 곡선을 따라 높이

-2

로 향하고, 왼쪽에서는 직선을 따라 높이

5

로 향한다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·3번: 방향 기호가 쓸 조각을 고르고, 고른 다항식에 경계의 값을 대입한다.

$x=a$ 를 경계로 식이 갈리는 함수 $f(x)=\begin{cases}p(x) & (x<a)\\ q(x) & (x\ge a)\end{cases}$ 에서

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}p(x),\qquad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}q(x)

이다. 다항식의 극한값은 대입한 값이므로 $p(x)$ , $q(x)$ 가 일차식이든 이차식이든 극한값은 $x$ 에 $a$ 를 대입한 값과 같다.

쉽게 말하면 — 방향이 조각을 고르고, 그 조각에 $a$ 를 넣으면 답입니다. 이차식이라고 해서 대입하는 방법이 달라지지는 않습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

가장 먼저 헷갈리는 곳은 “ $x\to 3^{+}$ 인데 왜 $x\ge 3$ 쪽 식을 쓰는가”이다. $3^{+}$ 의 $+$ 는 $3$ 보다 큰 쪽이라는 표시이고, $x>3$ 인 점들은 모두 $x\ge 3$ 조건 안에 들어 있다. 그러니 $+$ 가 보이면 이차식 조각, $-$ 가 보이면 일차식 조각이라고 읽으면 된다.

두 번째로 “좌극한이 $5$ 로 다르면 우극한도 없는 것 아닌가”라는 의심이 생긴다. 양쪽 극한이 존재하지 않는 것과 한쪽 극한이 존재하지 않는 것은 다른 이야기다. 오른쪽 곡선은 $x=3$ 바로 옆에서 아무 문제 없이 높이 $-2$ 로 향하고 있고, 왼쪽 직선의 사정은 이 값에 영향을 주지 않는다.

그래프에서 곡선이 $x=3$ 에 닿는 점이 곧 ●인 $(3,-2)$ 이니, 이 문제의 우극한은 함숫값 $f(3)$ 을 읽는 것과 같다.

다음 문제

문제 3 · 기본

함수

f(x)=\begin{cases} -x+4 & (x<3) \\ x^{2}-5 & (x\ge 3) \end{cases}

에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 3^{+}}f(x)+\lim_{x\to 4}f(x)$ 의 값은?

① 18
② 7
③ 11
④ 15
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ①

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요4단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x\to1$ 은 경계( $x=3$ )가 아니라 $x<3$ 인 줄 안쪽이므로 $-x+4$ 를 씁니다. $x=1$ 을 넣으면 $3$
$x\to3^+$ 는 $+$ 이므로 $x\ge3$ 인 줄의 식 $x^2-5$ 를 씁니다. $x=3$ 을 넣으면 $9-5=4$
$x\to4$ 는 $x\ge3$ 인 줄 안쪽이므로 $x^2-5$ 를 씁니다. $x=4$ 를 넣으면 $16-5=11$
더합니다. $3+4+11=18$ → 정답 ①

※ 경계가 아닌 곳은 방향을 나누지 않고 그 자리가 속한 줄의 식을 그대로 씁니다.

자세한 풀이 보기

(i) $x\to 1$

$1$ 은 경계 $x=3$ 이 아니고 $x<3$ 인 구간 안에 있다. $x$ 가 $1$ 에 가까우면 $x<3$ 이므로 $-x+4$ 가 쓰인다. 왼쪽에서 오든 오른쪽에서 오든 같은 식이다.

\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(-x+4)=3

(ii) $x\to 3^{+}$

$x>3$ 이므로 $x^{2}-5$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=3^{2}-5=4

(iii) $x\to 4$

$4$ 는 $x\ge 3$ 인 구간 안에 있으므로 $x$ 가 $4$ 에 가까우면 $x^{2}-5$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 4}f(x)=4^{2}-5=11

(iv) 합 구하기

3+4+11=18

x=3

의 왼쪽은 직선이 높이

1

로, 오른쪽은 곡선이 높이

4

로 향한다.

x=1

은 직선 위에,

x=4

는 곡선 위에 있어서 방향을 나누지 않고 그 식에 대입하면 된다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·3번: 경계에서는 방향이 조각을 고르고, 경계가 아닌 점에서는 그 점이 속한 조각의 식에 대입한다.

경계가 아닌 점 $x=c$ 에서는 $c$ 근처가 한 조각 안에 통째로 들어 있으므로, 그 조각의 식 하나가 근처의 모든 $x$ 에 쓰인다. 이 문제의 두 조각은 다항식이므로 좌극한과 우극한을 나눌 필요 없이 그 식에 $c$ 를 대입하면 된다.

c<3\ \Rightarrow\ \lim_{x\to c}f(x)=-c+4,\qquad c>3\ \Rightarrow\ \lim_{x\to c}f(x)=c^{2}-5

이 함수에서 식이 갈리는 곳은 경계 $x=3$ 뿐이므로, 방향을 나눠 따져야 하는 곳도 여기뿐이다.

쉽게 말하면 — 식이 바뀌는 자리에 서 있을 때만 “어느 쪽에서 오는가”가 중요하고, 한 식 안쪽에 서 있으면 어느 쪽에서 와도 같은 식을 봅니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

식이 두 개 적혀 있다고 해서 모든 극한을 좌우로 나눌 필요는 없다. 이 문제에서 나눠야 하는 곳은 부등호의 경계인 $x=3$ 하나뿐이다. $x\to 1$ 과 $x\to 4$ 에는 방향 기호가 붙어 있지 않지만, 두 점은 각각 한 조각의 안쪽에 있어서 $x\to 1$ 이면 첫째 식, $x\to 4$ 이면 둘째 식으로 정해진다.

가장 흔한 실수는 방향 기호가 없는 극한에도 맨 위에 적힌 식을 그대로 쓰는 것이다. $x\to 4$ 에 $-x+4$ 를 넣어 $0$ 으로 계산하면 $3+4+0=7$ 이 나온다. 극한을 구하는 점이 부등호의 어느 쪽에 있는지를 먼저 확인하면 된다. 또 이 함수는 $x=3$ 에서 좌극한 $1$ 과 우극한 $4$ 가 다르지만, 문제가 묻는 극한 세 개에는 두 값이 함께 등장하지 않으므로 극한값이 존재하지 않는다는 말은 이 문제와 상관이 없다.

다음 문제

문제 4 · 기본

함수

f(x)=\begin{cases} x^{2}-2x+4 & (x\ge 1) \\ -3x+5 & (x<1) \end{cases}

에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)+\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ 의 값은?

① 1
② 2
③ 3
④ 5
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ④

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

앞의 극한은 위첨자 $-$ 이므로 $x<1$ 인 줄의 식 $-3x+5$ 를 씁니다. $x=1$ 을 넣으면 $2$
뒤의 극한은 위첨자 $+$ 이므로 $x\ge1$ 인 줄의 식 $x^2-2x+4$ 를 씁니다. $x=1$ 을 넣으면 $1-2+4=3$
더합니다. $2+3=5$ → 정답 ④

※ 좌극한과 우극한이 달라도, 문제가 한쪽 극한을 각각 구해서 더하라고 했으면 그대로 구하면 됩니다.

자세한 풀이 보기

(i) 좌극한 구하기

$x\to 1^{-}$ 는 $x<1$ 인 쪽에서 $1$ 에 가까워진다는 뜻이므로 $f(x)=-3x+5$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(-3x+5)=-3\cdot 1+5=2

(ii) 우극한 구하기

$x\to 1^{+}$ 는 $x>1$ 인 쪽에서 $1$ 에 가까워진다는 뜻이므로 $f(x)=x^{2}-2x+4$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(x^{2}-2x+4)=1-2+4=3

(iii) 합 구하기

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)+\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=2+3=5

좌극한 $2$ 와 우극한 $3$ 이 서로 다르므로 $x\to 1$ 일 때의 극한 자체는 존재하지 않는다. 그러나 문제가 묻는 것은 두 한쪽 극한의 합이므로 답은 $5$ 이다.

왼쪽에서는 직선을 따라 높이

2

로, 오른쪽에서는 곡선을 따라 높이

3

으로 향한다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 1번·2번: 좌극한과 우극한은 각각 따로 구하고, 쓸 조각은 적힌 순서가 아니라 부등호가 정한다.

$x=a$ 를 경계로 식이 갈리는 함수 $f(x)=\begin{cases}q(x) & (x\ge a)\\ p(x) & (x<a)\end{cases}$ 에서

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}p(x),\qquad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}q(x)

이다. 다항식의 극한값은 대입한 값이므로 일차식이든 이차식이든 극한값은 $a$ 를 대입한 값과 같다.

쉽게 말하면 — 부등호가 방향을 정하고, 방향이 식을 고르고, 그 식에 $a$ 를 넣으면 답입니다. 좌극한과 우극한은 이 과정을 각각 한 번씩 거칠 뿐입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

이 문제에서 학생들이 가장 많이 걸려 넘어지는 곳은 두 가지다. 하나는 식이 적힌 순서다. 이차식이 위에 먼저 적혀 있으니 “첫 번째 식 = 왼쪽”이라고 읽기 쉬운데, 왼쪽을 정하는 것은 적힌 위치가 아니라 부등호 $x<1$ 이다. 좌극한에는 아래쪽 일차식이 쓰인다.

다른 하나는 ⑤번 함정이다. “ $x\to 1$ 일 때의 극한이 없다”는 사실과 “한쪽 극한도 없다”는 전혀 다른 말이다. 좌극한 $2$ 와 우극한 $3$ 은 각각 분명한 값이 있고, 그래프에서도 두 조각이 서로 다른 높이로 향한다. 극한이 존재하지 않는 것은 이 두 높이가 어긋나 있기 때문이지, 한쪽 극한이 없어서가 아니다.

다음 문제

문제 5 · 기본

함수

f(x)=\begin{cases} 2x-1 & (x<2) \\ x^{2}-4x+5 & (2\le x<4) \\ 2 & (x\ge 4) \end{cases}

에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)+\lim_{x\to 4^{+}}f(x)$ 의 값은?

① 3
② 5
③ 6
④ 8
⑤ 극한값은 존재하지 않는다.

정답과 해설 보기

정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x\to2^-$ 는 $x<2$ 인 줄의 식 $2x-1$ 을 씁니다. $x=2$ 를 넣으면 $3$
$x\to4^+$ 는 $x\ge4$ 인 줄의 식 $2$ 를 씁니다. $2$ 는 그냥 $2$ 입니다.
더합니다. $3+2=5$ → 정답 ②

※ 가운데 줄( $2\le x<4$ )은 두 극한 모두 그 구간 밖에서 오기 때문에 쓰지 않습니다.

자세한 풀이 보기

(i) 좌극한 $x\to 2^{-}$ 구하기

$x\to 2^{-}$ 는 $x<2$ 인 쪽에서 $2$ 에 가까워진다는 뜻이므로 $x<2$ 일 때의 식 $f(x)=2x-1$ 이 쓰인다.

\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}(2x-1)=2\cdot 2-1=3

(ii) 우극한 $x\to 4^{+}$ 구하기

$x\to 4^{+}$ 는 $x>4$ 인 쪽에서 $4$ 에 가까워진다는 뜻이므로 $x\ge 4$ 일 때의 식 $f(x)=2$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 4^{+}}f(x)=\lim_{x\to 4^{+}}2=2

(iii) 합 구하기

\lim_{x\to 2^{-}}f(x)+\lim_{x\to 4^{+}}f(x)=3+2=5

가운데 식 $x^{2}-4x+5$ 는 $2\le x<4$ 에서만 쓰이는 식이다. $x\to 2^{-}$ 에서는 $x<2$ 이고 $x\to 4^{+}$ 에서는 $x>4$ 이므로, 두 극한 모두 $x$ 가 가운데 구간 밖에 있어서 이 식은 계산에 들어오지 않는다.

왼쪽에서

2

로 가까워지면 직선을 따라 높이

3

으로, 오른쪽에서

4

로 가까워지면 수평선을 따라 높이

2

로 향한다. 회색 곡선은 두 극한에 쓰이지 않는다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: 조각이 셋이면 경계마다 쓰이는 조각이 다르고, 바깥쪽에서 다가가면 가운데 조각은 쓰이지 않는다.

두 경계 $x=a$ , $x=b$ ( $a<b$ )에서 식이 바뀌고 각 조각 $p(x)$ , $q(x)$ , $r$ 이 다항식인 함수 $f(x)=\begin{cases}p(x) & (x<a)\\ q(x) & (a\le x<b)\\ r & (x\ge b)\end{cases}$ 에서

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}p(x)=p(a),\qquad \lim_{x\to b^{+}}f(x)=r

이다. 극한은 $x$ 가 가까워지는 쪽의 구간에서 쓰이는 식만 따른다. 다항식의 극한값은 대입한 값이므로 극한값은 경계의 값을 대입한 값이다.

쉽게 말하면 — 극한을 구하는 점에 서서 “내가 어느 쪽에서 오고 있는가”를 먼저 정하면 쓸 식이 한 개로 정해집니다. 식이 몇 개 적혀 있든 계산에 쓰는 식은 극한마다 하나입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

이 문제에서 가장 많이 걸려 넘어지는 곳은 가운데 식이다. 이차식이 가장 복잡해 보이고 두 경계 $2$ , $4$ 를 모두 품고 있어서 “이 식이 핵심”이라고 느끼기 쉽다. 그래서 $q(2)+q(4)=1+5=6$ (③)이나 $q(2)+r=1+2=3$ (①)으로 계산하는 오답이 나온다. ④번 $8$ 도 $p(2)+q(4)=3+5$ 로, 우극한 쪽에서 식을 잘못 고른 결과다.

판별은 부등호 한 줄이면 끝난다. $x\to 2^{-}$ 라는 말에는 이미 $x<2$ 가 들어 있고, 가운데 식은 $2\le x<4$ 에서만 산다. 두 조건은 겹칠 수 없다. $x\to 4^{+}$ 도 같은 방식으로 $x>4$ 이므로 마지막 식만 남는다. 경계의 바깥쪽에서 다가가는 극한은 가운데 조각을 건너뛰고 맨 끝 조각을 본다고 외워 두면, 조각이 네 개, 다섯 개로 늘어나도 같은 방법으로 풀린다.

다음 문제

문제 6 · 기본

함수

f(x) = \begin{cases} \sqrt{2x+1} & (x < 4) \\ 8-\sqrt{x+5} & (x \geq 4) \end{cases}

에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 4^{-}} f(x) + \lim_{x \to 4^{+}} f(x)$ 의 값은?

① 2
② 6
③ 8
④ 10
⑤ 극한값이 존재하지 않으므로 구할 수 없다.

정답과 해설 보기

정답 ③

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$x\to4^-$ 는 $x<4$ 인 줄의 식 $\sqrt{2x+1}$ 을 씁니다. $x=4$ 를 넣으면 $\sqrt{9}=3$
$x\to4^+$ 는 $x\ge4$ 인 줄의 식 $8-\sqrt{x+5}$ 를 씁니다. $x=4$ 를 넣으면 $8-\sqrt{9}=5$
더합니다. $3+5=8$ → 정답 ③

※ 루트 안에 넣은 값이 $0$ 보다 클 때만 이렇게 하세요.

자세한 풀이 보기

(i) 좌극한 구하기

$x\to 4^{-}$ 이면 $x<4$ 이므로 $f(x)=\sqrt{2x+1}$ 을 쓴다. 근호 안 $2x+1$ 은 $9$ 에 가까워지므로

\lim_{x \to 4^{-}} f(x) = \sqrt{9} = 3

(ii) 우극한 구하기

$x\to 4^{+}$ 이면 $x>4$ 이므로 $f(x)=8-\sqrt{x+5}$ 를 쓴다. 근호 안 $x+5$ 는 $9$ 에 가까워지므로

\lim_{x \to 4^{+}} f(x) = 8-\sqrt{9} = 5

(iii) 합 구하기

\lim_{x \to 4^{-}} f(x) + \lim_{x \to 4^{+}} f(x) = 3+5 = 8

두 한쪽 극한이 $3$ 과 $5$ 로 서로 다르므로 $x=4$ 에서 극한값은 존재하지 않는다. 그러나 이 문제는 두 한쪽 극한을 각각 더하라는 것이므로 둘 다 존재하면 합을 구할 수 있다.

x=4

를 기준으로 왼쪽 가지는

3

으로, 오른쪽 가지는

5

로 향하며 두 값이 어긋난다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·5번: 방향이 조각을 고르고, 고른 조각이 무리식이면 근호 안의 극한부터 구한다.

구간에 따라 식이 달라지는 함수에서

\lim_{x \to a^{-}} f(x) \ \text{는 } x<a \text{ 쪽 식으로}, \quad \lim_{x \to a^{+}} f(x) \ \text{는 } x>a \text{ 쪽 식으로 계산한다}

근호 안의 값이 양수 $k$ 에 가까워지면 근호를 씌운 값은 $\sqrt{k}$ 에 가까워진다. 이 문제에서는 두 식 모두 근호 안이 $x\to 4$ 일 때 $9$ 로 모이므로 근호 부분은 똑같이 $3$ 이 된다. 서로 다른 것은 근호 바깥의 식이다.

쉽게 말하면 — 극한을 구할 때는 “내가 어느 쪽에서 오고 있는가”로 어떤 식을 쓸지를 정하고, 근호 안에는 그 식에 $x=4$ 를 넣은 값을 먼저 확인합니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

두 식에서 근호 부분 $\sqrt{9}=3$ 은 똑같다. 그런데 왼쪽 식은 $3$ 을 그대로 쓰고 오른쪽 식은 $8$ 에서 $3$ 을 뺀다. 이 차이가 곧 $x=4$ 에서 그래프가 $3$ 에서 $5$ 로 뛰는 점프이다. 좌우극한이 다른 함수는 한 점에서 그래프가 끊겨 있다는 신호이다.

가장 흔한 실수는 $f(4)$ 가 있는 아래쪽 식 하나만 보고 양쪽 극한에 모두 쓰는 것이다. 그러면 $5+5=10$ 이 나온다. 반대로 위쪽 식만 쓰면 $3+3=6$ 이다. $4^{-}$ 는 $4$ 보다 작은 쪽이므로 위 식, $4^{+}$ 는 큰 쪽이므로 아래 식이다.

⑤처럼 “극한이 존재하지 않는다”에 끌리기 쉽지만, 존재하지 않는 것은 $x\to 4$ 의 극한이고 한쪽 극한은 각각 존재한다. 한쪽 극한 둘의 합은 얼마든지 구할 수 있다.

다음 문제

문제 7 · 응용

상수 $a$ , $b$ 에 대하여 함수

f(x)=\begin{cases} 2x+a & (x<1) \\ x^{2}+bx & (1\le x<3) \\ 4 & (x\ge 3) \end{cases}

가 $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=5$ , $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=6$ 을 만족시킬 때,

\lim_{x\to 1^{+}}f(x)+\lim_{x\to 3^{+}}f(x)

의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 4

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

첫째 조건 $x\to1^-$ 는 $x<1$ 인 줄의 식 $2x+a$ 를 씁니다. $x=1$ 을 넣으면 $2+a$ 이고, 이 값이 $5$ 이므로 $a=3$
둘째 조건 $x\to3^-$ 는 $1\le x<3$ 인 줄의 식 $x^2+bx$ 를 씁니다. $x=3$ 을 넣으면 $9+3b$ 이고, 이 값이 $6$ 이므로 $b=-1$
구하는 것 중 $x\to1^+$ 는 가운데 줄의 식 $x^2-x$ 를 씁니다. $x=1$ 을 넣으면 $0$
구하는 것 중 $x\to3^+$ 는 $x\ge3$ 인 줄의 식 $4$ 를 씁니다. 값은 $4$
더합니다. $0+4=4$ → 정답 $4$

자세한 풀이 보기

(i) 첫째 조건으로 $a$ 구하기

$x\to 1^{-}$ 이면 $x<1$ 이므로 $2x+a$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2\cdot 1+a=5 \quad\therefore\ a=3

(ii) 둘째 조건으로 $b$ 구하기

$x\to 3^{-}$ 이면 $x<3$ 이고 $x\ge 1$ 이므로 가운데 식 $x^{2}+bx$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=3^{2}+3b=6 \quad\therefore\ b=-1

(iii) 구하는 두 우극한

$x\to 1^{+}$ 이면 $1<x<3$ 이므로 가운데 식 $x^{2}-x$ 가, $x\to 3^{+}$ 이면 $x>3$ 이므로 마지막 식 $4$ 가 쓰인다.

\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=1^{2}-1=0,\qquad \lim_{x\to 3^{+}}f(x)=4

(iv) 합 구하기

0+4=4

x=1

의 왼쪽은 직선이 높이

5

로, 오른쪽은 곡선이 높이

0

으로 향하고,

x=3

의 왼쪽은 같은 곡선이 높이

6

으로, 오른쪽은 수평선이 높이

4

로 향한다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번·4번: 한쪽 극한에 쓰이는 조각을 방향으로 고르고, 가운데 조각이 경계마다 맡는 역할을 구분한다.

두 경계 $x=1$ , $x=3$ 사이의 조각 $q(x)$ 는 경계에 따라 맡는 역할이 다르다.

\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=q(1),\qquad \lim_{x\to 3^{-}}f(x)=q(3)

경계 $1$ 에서는 오른쪽 이웃이고, 경계 $3$ 에서는 왼쪽 이웃이다. 한쪽 극한의 값이 주어지면 그 극한에 쓰이는 조각의 식에서 미지수가 하나씩 정해진다.

쉽게 말하면 — 가운데 조각은 두 경계 사이에 끼어 있어서, 왼쪽 경계에서는 “오른쪽으로 가는 길”이고 오른쪽 경계에서는 “왼쪽으로 오는 길”입니다. 한쪽 경계에서 알아낸 정보를 다른 쪽 경계에서 그대로 다시 쓸 수 있습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

미지수가 두 개이지만 조건 하나가 미지수 하나씩만 건드린다. 첫째 조건은 맨 왼쪽 조각의 $a$ 만, 둘째 조건은 가운데 조각의 $b$ 만 정한다. 조각마다 미지수가 하나씩 들어 있으니 연립방정식을 세울 필요가 없다.

이 문제에서 가장 많이 틀리는 곳은 구하는 값을 읽는 단계이다. 가운데 식 $x^{2}+bx$ 는 둘째 조건에서는 $3^{-}$ 의 식으로 쓰였고, 이번에는 $1^{+}$ 의 식으로 다시 쓰인다. 같은 식이 경계에 따라 좌극한에도, 우극한에도 쓰인다는 점만 놓치지 않으면 된다. 또 $x\ge 3$ 인 마지막 조각은 $4$ 하나뿐이므로 $3^{+}$ 의 값은 $b$ 와 상관없이 $4$ 이다.

#함수의 극한#조각함수#좌극한#우극한#한쪽 극한#미적분Ⅰ