함수의 극한 — 절댓값을 같은 일차식으로 나눈 식: 좌우가 갈리는 극한과 존재 조건

$x=3$을 기준으로 $x-3$의 부호가 바뀌어 $|x-3|$을 푸는 방식이 달라지므로 경우를 나누어 $f(x)$를 정리한다.

$x>3$일 때는 $x-3>0$이므로 $|x-3|=x-3$이고,

$x<3$일 때는 $x-3<0$이므로 $|x-3|=-(x-3)$이고,

따라서 좌극한과 우극한은 각각

이고, $-1 \neq 1$이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다. 그러므로

핵심 개념 1번·2번: $\dfrac{|x-a|}{x-a}$ 꼴의 식은 실제 크기와 무관하게 $x-a$의 부호만 그대로 알려주는 식이 된다.

이 식은 $x=a$에서는 분모가 $0$이 되어 아예 정의되지 않고, $a$를 제외한 모든 곳에서 $1$ 또는 $-1$ 두 값만 가진다.

쉽게 말하면 — 이 식은 숫자의 크기를 재는 식이 아니라 지금 $a$보다 큰 쪽에 있는지, 작은 쪽에 있는지만 알려주는 신호등입니다. $x$가 얼마나 $a$에 가까운지는 전혀 상관없고, 어느 쪽에 서 있느냐에 따라 신호가 $+1$ 또는 $-1$로 고정됩니다.

절댓값 안의 $x+2$의 부호가 바뀌는 지점은 $x+2=0$, 즉 $x=-2$이다. $x=-2$의 오른쪽과 왼쪽으로 나누어 $g(x)$를 정리한다.

(i) 우극한

$x>-2$이면 $x+2>0$이므로 $|x+2|=x+2$이고,

(ii) 좌극한

$x<-2$이면 $x+2<0$이므로 $|x+2|=-(x+2)$이고,

(iii) 답 구하기

핵심 개념 1번·4번: $x-a$ 꼴을 읽을 때는 $a$의 부호에 주의한다. $x+2=x-(-2)$이므로 $\dfrac{|x+2|}{x+2}$에서 $a=-2$이고,

이다. 이 신호등 값을 $x^2$에 더한 것이 $g(x)$이므로, $x\to -2$일 때 $x^2\to 4$이고 신호등 값만 $\pm1$로 갈린다.

쉽게 말하면 — $x^2$ 부분은 어느 쪽에서 다가가도 똑같이 $4$로 향합니다. 다른 점은 신호등이 $+1$을 더하느냐 $-1$을 더하느냐 하나뿐입니다.

$g(x) = x^2+kx-6$이라 하면 $g(x)$는 다항식이라 $x=2$를 대입한 값이 곧 극한값이고, $\dfrac{|x-2|}{x-2}$는 문제 1에서 본 것처럼 $x>2$에서 $1$, $x<2$에서 $-1$의 값을 갖는다.

$x>2$일 때 $f(x) = g(x)$이므로

$x<2$일 때 $f(x) = -g(x)$이므로

극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로

이 식은 $k$에 대한 일차방정식이므로 해는 오직 $k=1$ 하나뿐이다. 따라서 $a=1$이고, 이때

이므로 $b=0$이다.

핵심 개념 2번·3번: 다항식 $g(x)$와 부호만 알려주는 $\dfrac{|x-a|}{x-a}$가 곱해진 식의 극한은 다음 조건으로 정리된다.

$g(2)=0$이라는 것은 인수정리에 의해 $g(x)$가 $(x-2)$를 인수로 가진다는 뜻이기도 하다. 실제로 $k=1$일 때 $g(x) = x^2+x-6=(x-2)(x+3)$이므로

로 약분되어, 분모의 $(x-2)$는 사라지고 절댓값 $|x-2|$만 남는다.

쉽게 말하면 — $g(2)=0$이라는 조건은 $x=2$를 넣으면 $0$이 되는 식이어야 한다는 뜻이고, 이는 곧 $g(x)$ 안에 $(x-2)$라는 인수가 숨어 있다는 신호입니다. 그 인수가 분모의 $(x-2)$를 정확히 상쇄해 주기 때문에 극한이 깨지지 않고 존재하게 되는 것입니다.

$f(x)$는 $x>2$에서 $1$, $x<2$에서 $-1$이다.

(i) ㄱ 조사하기

좌극한과 우극한이 다르므로 극한값은 존재하지 않는다. (거짓)

(ii) ㄴ 조사하기

$x\ne2$에서 $|f(x)|=1$이므로

이고 극한값이 존재한다. (참)

(iii) ㄷ 조사하기

$x^2-4=(x-2)(x+2)$이므로 $x\ne2$에서

이다. $x\to2$이면 $(x+2)\to4$, $|x-2|\to0$이므로 극한값은 $0$이고 존재한다. (참)

옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

핵심 개념 3번·5번: 같은 신호등을 두고 서로 다른 세 가지를 물었다.

절댓값은 부호를 지우므로 ㄴ이 성립하고, 앞에 $x\to2$일 때 $0$으로 가는 식($x^2-4$는 $x=2$에서 $0$인 다항식)을 곱하면 신호등의 $\pm1$이 지워지므로 ㄷ이 성립한다.

쉽게 말하면 — ㄱ은 신호등 그대로라 극한이 없습니다. ㄴ은 신호의 색을 지우고 밝기만 남겨 $1$이 되고, ㄷ은 신호등 앞에 $0$으로 가는 값을 곱해서 신호를 꺼 버립니다.

먼저 $x^2-9=(x-3)(x+3)$으로 인수분해한다. $x=3$ 근처에서는 $x+3>0$이므로 $x^2-9$의 부호는 $x-3$의 부호와 같다.

(i) 우극한

$x>3$이면 $x^2-9>0$이므로 $|x^2-9|=x^2-9$이고,

(ii) 좌극한

$3$에 가까운 $x<3$(예: $2<x<3$)이면 $x^2-9<0$이므로 $|x^2-9|=-(x^2-9)$이고,

(iii) 답 구하기

핵심 개념 4번: 절댓값 안이 이차식일 때는 인수분해해서 $x=a$ 양쪽의 부호를 따로 확인한다.

$x=3$ 근처에서 $|x+3|=x+3$으로 그대로 벗겨지므로, 부호가 뒤집히는 것은 $|x-3|$ 하나뿐이다. 신호등 앞에 곱해진 식이 $x+3$이므로 좌극한은 $-(3+3)=-6$, 우극한은 $3+3=6$이 그대로 나온다.

쉽게 말하면 — $x^2-9$처럼 식이 복잡해 보여도, 절댓값을 벗길 때 확인할 것은 “$x=3$ 바로 왼쪽과 바로 오른쪽에서 이 식이 양수인가 음수인가” 단 하나입니다. 인수분해하면 그 답이 보입니다.

$g(x)=x^2+ax+b$라 하자.

(i) 극한값의 존재 조건으로 식 하나 세우기

$x>2$에서 $f(x)=g(x)$, $x<2$에서 $f(x)=-g(x)$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to2^{+}}f(x)=g(2)$, $\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}f(x)=-g(2)$이다. 두 값이 같으려면

(ii) 함숫값 조건으로 식 하나 더 세우기

$3>2$이므로 $\dfrac{|3-2|}{3-2}=1$이고 $f(3)=g(3)$이다.

②에서 ①을 빼면 $5+a=4$이므로 $a=-1$이고, ①에서 $b=-2$이다.

(iii) $f(0)$ 구하기

$g(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$이다. $0<2$이므로 $\dfrac{|0-2|}{0-2}=-1$이고

이다. 약분한 식 $f(x)=(x+1)|x-2|$에 $x=0$을 넣어도 $1\times2=2$로 같다.

핵심 개념 1번·3번: 극한값이 존재하면 $g(2)=0$이므로 $g(x)=(x-2)(x+c)$ 꼴이다.

이렇게 신호등이 사라지면 $f$는 구간에 상관없이 한 식으로 정리된다. 이 문제에서는 $f(3)=3+c=4$에서 $c=1$이 바로 나온다.

쉽게 말하면 — 극한이 존재한다는 조건 하나가 “$x^2+ax+b$는 $(x-2)$를 인수로 가진다”는 말로 바뀝니다. 미지수가 둘에서 하나로 줄어드는 셈입니다.

두 신호등 $\dfrac{|x+1|}{x+1}$, $\dfrac{|x-3|}{x-3}$는 각각 $x=-1$, $x=3$에서 부호가 갈린다. 한 지점에서 극한을 따질 때 다른 쪽 신호등은 그 지점 근처에서 한 값으로 고정된다.

(i) $x=-1$에서 극한값이 존재할 조건

$x=-1$ 근처에서는 $x<3$이므로 $\dfrac{|x-3|}{x-3}=-1$이고, 둘째 항은 $-(x+b)$ 한 식이라 그대로 대입된다. 첫째 항만 좌우가 갈린다.

두 값이 같아야 하므로 $a-1=-(a-1)$, 즉 $a=1$이다.

(ii) $x=3$에서 극한값이 존재할 조건

$x=3$ 근처에서는 $x>-1$이므로 $\dfrac{|x+1|}{x+1}=1$이고, 첫째 항은 $x+a$ 한 식이라 그대로 대입된다. 둘째 항만 좌우가 갈린다.

두 값이 같아야 하므로 $3+b=-(3+b)$, 즉 $b=-3$이다. (i), (ii)는 각각 $a$, $b$에 대한 일차방정식이므로 $(a,b)=(1,-3)$이 유일하다.

(iii) 두 극한값 구하기

$a=1$, $b=-3$이면 $f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{|x+1|}{x+1} + (x-3)\cdot\dfrac{|x-3|}{x-3} = |x+1|+|x-3|$이므로