핵심 개념
1. 지워지는 쪽 끝과 지워지지 않는 쪽 끝을 먼저 가른다
x 2 + 2 x \sqrt{x^2+2x} x 2 + 2 x ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x → ∞ x\to\infty x → ∞ ∣ x ∣ = x |x|=x ∣ x ∣ = x x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ ∣ x ∣ = − x |x|=-x ∣ x ∣ = − x x x x
식 x → ∞ x\to\infty x → ∞ x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ x 2 + 2 x − x \sqrt{x^2+2x}-x x 2 + 2 x − x x − x x-x x − x ( − x ) − x (-x)-x ( − x ) − x ∞ \infty ∞ x 2 + 2 x + x \sqrt{x^2+2x}+x x 2 + 2 x + x x + x x+x x + x ∞ \infty ∞ ( − x ) + x (-x)+x ( − x ) + x
맞서는 쪽에서만 극한값을 알 수 없는 ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ ∞ \infty ∞
y = x 2 + 2 x − x y=\sqrt{x^2+2x}-x y = x 2 + 2 x − x 오른쪽 끝에서만 지워진다
y = x 2 + 2 x + x y=\sqrt{x^2+2x}+x y = x 2 + 2 x + x 왼쪽 끝에서만 지워진다
같은 근호와 같은 x x x 1 1 1
쉽게 말하면 — 근호의 값은 0 이상이고 ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x x x “지금 이 끝에서 맞서는가” 만 판단하면 됩니다.
2. 맞서는 식은 켤레식을 곱해 유리화한다
A − B \sqrt{A}-B A − B A + B \sqrt{A}+B A + B 0 0 0 x x x ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x x x ( A − B ) ( A + B ) = A − B 2 (\sqrt A-B)(\sqrt A+B)=A-B^2 ( A − B ) ( A + B ) = A − B 2 x 2 x^2 x 2
x 2 + 4 x − x = ( x 2 + 4 x − x ) ( x 2 + 4 x + x ) x 2 + 4 x + x = 4 x x 2 + 4 x + x \sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(\sqrt{x^2+4x}-x)(\sqrt{x^2+4x}+x)}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} x 2 + 4 x − x = x 2 + 4 x + x ( x 2 + 4 x − x ) ( x 2 + 4 x + x ) = x 2 + 4 x + x 4 x 분자는 큰 부분이 지워져 일차식이 되고, x → ∞ x\to\infty x → ∞ 0 0 \dfrac00 0 0 0 0 \dfrac00 0 0 0 0 0
쉽게 말하면 — 두 큰 수의 차는 곱셈공식으로 한 번에 작게 줄일 수 있습니다. 같은 수를 분자와 분모에 곱했으므로 값은 변하지 않고, 어려운 차가 쉬운 합 위의 분수로 바뀝니다.
3. 유리화한 뒤 분모를 절댓값으로 읽어 두 끝을 구분한다
유리화한 식의 분모 x 2 + 4 x + x \sqrt{x^2+4x}+x x 2 + 4 x + x x x x ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x 2 + 4 x = x 1 + 4 x \sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac4x} x 2 + 4 x = x 1 + x 4
4 x x ( 1 + 4 x + 1 ) = 4 1 + 4 x + 1 ⟶ 4 2 = 2 \frac{4x}{x\left(\sqrt{1+\frac4x}+1\right)}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}\ \longrightarrow\ \frac{4}{2}=2 x ( 1 + x 4 + 1 ) 4 x = 1 + x 4 + 1 4 ⟶ 2 4 = 2 이다. x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ x 2 + a x = − x 1 + a x \sqrt{x^2+ax}=-x\sqrt{1+\frac ax} x 2 + a x = − x 1 + x a x 2 + a x + x \sqrt{x^2+ax}+x x 2 + a x + x x 2 + a x − x = − x ( 1 + a x + 1 ) \sqrt{x^2+ax}-x=-x\left(\sqrt{1+\frac ax}+1\right) x 2 + a x − x = − x ( 1 + x a + 1 )
일반적으로 다음이 성립한다.
l i m x → ∞ ( x 2 + a x + b − x ) = a 2 , l i m x → − ∞ ( x 2 + a x + b + x ) = − a 2 \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+b}-x\right)=\frac a2,\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+b}+x\right)=-\frac a2 x → ∞ lim ( x 2 + a x + b − x ) = 2 a , x → − ∞ lim ( x 2 + a x + b + x ) = − 2 a
쉽게 말하면 — 유리화한 분모는 두 큰 양수의 합입니다. 오른쪽 끝에서는 x x x x x x 2 x 2x 2 x − x -x − x − x -x − x − 2 x -2x − 2 x
4. 두 근호의 차와 곱의 꼴도 유리화로 한 분수를 만든다
두 근호의 차 A − B \sqrt A-\sqrt B A − B A + B ≠ 0 \sqrt A+\sqrt B\ne0 A + B = 0 x x x A − B A + B \dfrac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B} A + B A − B ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x 2 x^2 x 2 1 1 1 x → ∞ x\to\infty x → ∞ x + x x+x x + x 2 x 2x 2 x 2 2 2 x 2 x^2 x 2
x 2 + 5 x − x 2 − x = 6 x x 2 + 5 x + x 2 − x ⟶ 6 2 = 3 \sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2-x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x}}\ \longrightarrow\ \frac62=3 x 2 + 5 x − x 2 − x = x 2 + 5 x + x 2 − x 6 x ⟶ 2 6 = 3 x ( x 2 + 10 − x ) x\left(\sqrt{x^2+10}-x\right) x ( x 2 + 10 − x ) ∞ × 0 \infty\times0 ∞ × 0 10 x x 2 + 10 + x \dfrac{10x}{\sqrt{x^2+10}+x} x 2 + 10 + x 10 x x x x x ( x + 2 − x ) \sqrt{x}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\right) x ( x + 2 − x ) x \sqrt{x} x
쉽게 말하면 — 모양이 ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ ∞ × 0 \infty\times0 ∞ × 0
5. 극한값이 주어지면 큰 부분이 지워져야 한다
x 2 + a x + 3 − b x \sqrt{x^2+ax+3}-bx x 2 + a x + 3 − b x ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x x x 1 1 1 ( 1 − b ) x (1-b)x ( 1 − b ) x b = 1 b=1 b = 1 a 2 \dfrac a2 2 a a a a
b ≠ 1 ⇒ x ( 1 + a x + 3 x 2 − b ) → ± ∞ , b = 1 ⇒ l i m = a 2 b\ne1\ \Rightarrow\ x\left(\sqrt{1+\tfrac ax+\tfrac3{x^2}}-b\right)\to\pm\infty,\qquad b=1\ \Rightarrow\ \lim=\frac a2 b = 1 ⇒ x ( 1 + x a + x 2 3 − b ) → ± ∞ , b = 1 ⇒ lim = 2 a
쉽게 말하면 — 극한값이 유한하다는 것은 큰 부분이 정확히 지워진다는 말입니다. 지워지려면 두 큰 부분의 크기가 같아야 하므로 x x x
누구나 풀 수 있어요기본형은 3단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.
오른쪽 끝에서 x 2 + ⋯ − x \sqrt{x^2+\cdots}-x x 2 + ⋯ − x “큰 수 빼기 큰 수” 입니다. 켤레식 x 2 + ⋯ + x \sqrt{x^2+\cdots}+x x 2 + ⋯ + x
위는 (루트 안)− x 2 -x^2 − x 2 x + x = 2 x x+x=2x x + x = 2 x
위아래에서 x x x
※ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x 2 + a x + b − x \sqrt{x^2+ax+b}-x x 2 + a x + b − x a a a b b b x 2 = − x \sqrt{x^2}=-x x 2 = − x
유제
문제 1 · 기본
l i m x → ∞ ( x 2 + 4 x − x ) \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right) x → ∞ lim ( x 2 + 4 x − x )
정답과 해설 보기
정답 2
■ 정석 풀이
누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.
루트와 x x x “큰 수 빼기 큰 수” 모양이라 바로 구할 수 없습니다. 켤레식 x 2 + 4 x + x \sqrt{x^2+4x}+x x 2 + 4 x + x
위는 ( x 2 + 4 x ) − x 2 = 4 x (x^2+4x)-x^2=4x ( x 2 + 4 x ) − x 2 = 4 x 4 x x 2 + 4 x + x \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} x 2 + 4 x + x 4 x
위아래를 x x x 4 1 + 4 / x + 1 \frac{4}{\sqrt{1+4/x}+1} 1 + 4/ x + 1 4 4 / x 4/x 4/ x 0 0 0 4 1 + 1 = 2 \frac{4}{1+1}=2 1 + 1 4 = 2 2 2 2
※ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x 2 + a x + b − x \sqrt{x^2+ax+b}-x x 2 + a x + b − x a a a b b b
자세한 풀이 보기
x → ∞ x\to\infty x → ∞ x 2 + 4 x \sqrt{x^2+4x} x 2 + 4 x x x x ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ x 2 + 4 x + x \sqrt{x^2+4x}+x x 2 + 4 x + x
x 2 + 4 x − x = ( x 2 + 4 x ) − x 2 x 2 + 4 x + x = 4 x x 2 + 4 x + x \sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} x 2 + 4 x − x = x 2 + 4 x + x ( x 2 + 4 x ) − x 2 = x 2 + 4 x + x 4 x x > 0 x>0 x > 0 x 2 + 4 x = x 1 + 4 x \sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\dfrac4x} x 2 + 4 x = x 1 + x 4 x ( 1 + 4 x + 1 ) x\left(\sqrt{1+\dfrac4x}+1\right) x ( 1 + x 4 + 1 )
4 x x ( 1 + 4 x + 1 ) = 4 1 + 4 x + 1 ⟶ 4 1 + 1 = 2 \frac{4x}{x\left(\sqrt{1+\frac4x}+1\right)}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}\ \longrightarrow\ \frac{4}{1+1}=2 x ( 1 + x 4 + 1 ) 4 x = 1 + x 4 + 1 4 ⟶ 1 + 1 4 = 2
x x x y = 2 y=2 y = 2
따라서
l i m x → ∞ ( x 2 + 4 x − x ) = 2 \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)=2 x → ∞ lim ( x 2 + 4 x − x ) = 2 이다.
■ 관련 개념 및 공식
관련 개념 및 공식 보기
핵심 개념 2번과 3번: 맞서는 식은 켤레식으로 유리화한 뒤 분모를 x x x
l i m x → ∞ ( x 2 + a x + b − x ) = a 2 \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+b}-x\right)=\frac a2 x → ∞ lim ( x 2 + a x + b − x ) = 2 a 이 문제는 a = 4 a=4 a = 4 4 2 = 2 \dfrac42=2 2 4 = 2
쉽게 말하면 — 두 큰 값의 차는 둘이 얼마나 가까운지가 답입니다. x 2 + 4 x x^2+4x x 2 + 4 x x x x 2 2 2
■ 직관적 통찰 및 비법
항별로 ∞ − ∞ = 0 \infty-\infty=0 ∞ − ∞ = 0 x x x 4 x 4x 4 x x 2 − x = 0 \sqrt{x^2}-x=0 x 2 − x = 0 4 x 4x 4 x x 2 x^2 x 2 x 2 + 4 x \sqrt{x^2+4x} x 2 + 4 x x x x x 2 + 4 x ≈ x + 2 \sqrt{x^2+4x}\approx x+2 x 2 + 4 x ≈ x + 2 2 2 2
x = 100 x=100 x = 100 10400 ≈ 101.98 \sqrt{10400}\approx101.98 10400 ≈ 101.98 101.98 − 100 ≈ 1.98 101.98-100\approx1.98 101.98 − 100 ≈ 1.98 2 2 2
다음 문제
문제 2 · 기본
l i m x → ∞ ( x 2 + 5 x − x 2 − x ) \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2-x}\right) x → ∞ lim ( x 2 + 5 x − x 2 − x )
정답과 해설 보기
정답 3
■ 정석 풀이
누구나 풀 수 있어요4단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.
두 루트가 둘 다 한없이 커지는 “큰 수 빼기 큰 수” 모양입니다. 켤레식 x 2 + 5 x + x 2 − x \sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x} x 2 + 5 x + x 2 − x
위는 ( x 2 + 5 x ) − ( x 2 − x ) = 6 x (x^2+5x)-(x^2-x)=6x ( x 2 + 5 x ) − ( x 2 − x ) = 6 x
아래의 두 루트는 각각 x x x x + x = 2 x x+x=2x x + x = 2 x
x x x 6 2 = 3 \frac{6}{2}=3 2 6 = 3 3 3 3
※ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x 2 + a x − x 2 + c x \sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+cx} x 2 + a x − x 2 + c x a a a c c c x 2 x^2 x 2 1 1 1
자세한 풀이 보기
두 근호가 모두 x x x ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ x 2 + 5 x + x 2 − x \sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x} x 2 + 5 x + x 2 − x
x 2 + 5 x − x 2 − x = ( x 2 + 5 x ) − ( x 2 − x ) x 2 + 5 x + x 2 − x = 6 x x 2 + 5 x + x 2 − x \sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2-x}=\frac{(x^2+5x)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x}}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2-x}} x 2 + 5 x − x 2 − x = x 2 + 5 x + x 2 − x ( x 2 + 5 x ) − ( x 2 − x ) = x 2 + 5 x + x 2 − x 6 x x > 0 x>0 x > 0 x x x
6 1 + 5 x + 1 − 1 x ⟶ 6 1 + 1 = 3 \frac{6}{\sqrt{1+\frac5x}+\sqrt{1-\frac1x}}\ \longrightarrow\ \frac{6}{1+1}=3 1 + x 5 + 1 − x 1 6 ⟶ 1 + 1 6 = 3
두 근호의 차는 x x x 3 3 3
따라서 극한은 3 3 3
■ 관련 개념 및 공식
관련 개념 및 공식 보기
핵심 개념 4번: 두 근호의 차는 A − B A + B \dfrac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B} A + B A − B
x 2 + a x − x 2 + c x ⟶ a − c 2 ( x → ∞ ) \sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+cx}\ \longrightarrow\ \frac{a-c}{2}\quad(x\to\infty) x 2 + a x − x 2 + c x ⟶ 2 a − c ( x → ∞ ) 이 문제는 a = 5 a=5 a = 5 c = − 1 c=-1 c = − 1 5 − ( − 1 ) 2 = 3 \dfrac{5-(-1)}{2}=3 2 5 − ( − 1 ) = 3
쉽게 말하면 — 두 근호는 모두 x x x 6 x 6x 6 x 2 x 2x 2 x 6 2 = 3 \dfrac62=3 2 6 = 3
■ 직관적 통찰 및 비법
x 2 + a x ≈ x + a 2 \sqrt{x^2+ax}\approx x+\dfrac a2 x 2 + a x ≈ x + 2 a x x x x x x 5 5 5 − 1 -1 − 1 5 − ( − 1 ) 2 \dfrac{5-(-1)}{2} 2 5 − ( − 1 )
이 어림은 식을 푸는 대신 검산에만 쓰고, 풀이는 켤레식 곱으로 정식 전개한다. 분모의 두 근호가 모두 x x x 2 x 2x 2 x 6 6 6 2 2 2
다음 문제
문제 3 · 응용
l i m x → − ∞ ( x 2 + 6 x + x ) \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right) x → − ∞ lim ( x 2 + 6 x + x )
정답과 해설 보기
정답 -3
■ 정석 풀이
단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.
“큰 수 빼기 큰 수” 모양이라 켤레식을 곱합니다. x 2 + 6 x + x \sqrt{x^2+6x}+x x 2 + 6 x + x x 2 + 6 x − x \sqrt{x^2+6x}-x x 2 + 6 x − x 위는 ( x 2 + 6 x ) − x 2 = 6 x (x^2+6x)-x^2=6x ( x 2 + 6 x ) − x 2 = 6 x 6 x x 2 + 6 x − x \frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}-x} x 2 + 6 x − x 6 x
왼쪽 끝(x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ x 2 + 6 x \sqrt{x^2+6x} x 2 + 6 x − x -x − x − x − x = − 2 x -x-x=-2x − x − x = − 2 x
x x x 6 − 2 = − 3 \frac{6}{-2}=-3 − 2 6 = − 3 − 3 -3 − 3
※ 왼쪽 끝에서는 x 2 \sqrt{x^2} x 2 x x x − x -x − x
자세한 풀이 보기
x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ x 2 + 6 x \sqrt{x^2+6x} x 2 + 6 x x x x ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ x 2 + 6 x − x \sqrt{x^2+6x}-x x 2 + 6 x − x
x 2 + 6 x + x = ( x 2 + 6 x ) − x 2 x 2 + 6 x − x = 6 x x 2 + 6 x − x \sqrt{x^2+6x}+x=\frac{(x^2+6x)-x^2}{\sqrt{x^2+6x}-x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}-x} x 2 + 6 x + x = x 2 + 6 x − x ( x 2 + 6 x ) − x 2 = x 2 + 6 x − x 6 x x < 0 x<0 x < 0 ∣ x ∣ = − x |x|=-x ∣ x ∣ = − x x 2 + 6 x = − x 1 + 6 x \sqrt{x^2+6x}=-x\sqrt{1+\dfrac6x} x 2 + 6 x = − x 1 + x 6
− x 1 + 6 x − x = − x ( 1 + 6 x + 1 ) -x\sqrt{1+\frac6x}-x=-x\left(\sqrt{1+\frac6x}+1\right) − x 1 + x 6 − x = − x ( 1 + x 6 + 1 ) 이므로
6 x − x ( 1 + 6 x + 1 ) = − 6 1 + 6 x + 1 ⟶ − 6 2 = − 3 \frac{6x}{-x\left(\sqrt{1+\frac6x}+1\right)}=-\frac{6}{\sqrt{1+\frac6x}+1}\ \longrightarrow\ -\frac{6}{2}=-3 − x ( 1 + x 6 + 1 ) 6 x = − 1 + x 6 + 1 6 ⟶ − 2 6 = − 3 이다.
x x x y = − 3 y=-3 y = − 3
따라서
l i m x → − ∞ ( x 2 + 6 x + x ) = − 3 \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right)=-3 x → − ∞ lim ( x 2 + 6 x + x ) = − 3 이다.
■ 관련 개념 및 공식
관련 개념 및 공식 보기
핵심 개념 1번과 3번: x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ x 2 + a x + x \sqrt{x^2+ax}+x x 2 + a x + x − x -x − x − x -x − x
l i m x → − ∞ ( x 2 + a x + b + x ) = − a 2 \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+b}+x\right)=-\frac a2 x → − ∞ lim ( x 2 + a x + b + x ) = − 2 a 이 문제는 a = 6 a=6 a = 6 − 3 -3 − 3
쉽게 말하면 — 왼쪽 끝에서는 근호가 양수이고 x x x “근호 빼기 x x x 와 같고 답의 부호만 반대입니다.
■ 직관적 통찰 및 비법
x = − t x=-t x = − t t → ∞ t\to\infty t → ∞ x 2 + 6 x + x = t 2 − 6 t − t \sqrt{x^2+6x}+x=\sqrt{t^2-6t}-t x 2 + 6 x + x = t 2 − 6 t − t a 2 \dfrac a2 2 a a = − 6 a=-6 a = − 6 − 3 -3 − 3
실수하기 쉬운 곳은 x 2 = x \sqrt{x^2}=x x 2 = x x ( 1 + 6 x − 1 ) x\left(\sqrt{1+\frac6x}-1\right) x ( 1 + x 6 − 1 ) ∞ × 0 \infty\times0 ∞ × 0 x < 0 x<0 x < 0
다음 문제
문제 4 · 응용
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. l i m x → ∞ ( x 2 + 2 x − x ) = 1 \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)=1 x → ∞ lim ( x 2 + 2 x − x ) = 1
ㄴ. l i m x → − ∞ ( x 2 + 2 x − x ) = ∞ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)=\infty x → − ∞ lim ( x 2 + 2 x − x ) = ∞
ㄷ. l i m x → − ∞ ( x 2 + 2 x + x ) = 1 \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}+x\right)=1 x → − ∞ lim ( x 2 + 2 x + x ) = 1
① ㄱ② ㄴ③ ㄷ④ ㄱ, ㄴ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답과 해설 보기
정답 ④
■ 정석 풀이
단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.
보기마다 루트와 x x x
ㄱ: 오른쪽 끝의 x 2 + 2 x − x \sqrt{x^2+2x}-x x 2 + 2 x − x 2 x x 2 + 2 x + x \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} x 2 + 2 x + x 2 x 2 x 2x 2 x 2 2 = 1 \frac{2}{2}=1 2 2 = 1
ㄴ: 왼쪽 끝에서 x 2 + 2 x \sqrt{x^2+2x} x 2 + 2 x − x -x − x ∞ \infty ∞
ㄷ: 왼쪽 끝의 x 2 + 2 x + x \sqrt{x^2+2x}+x x 2 + 2 x + x 2 x x 2 + 2 x − x \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x} x 2 + 2 x − x 2 x − 2 x -2x − 2 x 2 − 2 = − 1 \frac{2}{-2}=-1 − 2 2 = − 1 1 1 1
옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다. → 정답 ④
※ 왼쪽 끝에서는 x 2 \sqrt{x^2} x 2 x x x − x -x − x
자세한 풀이 보기
(i) ㄱ: 오른쪽 끝에서 근호와 x x x
켤레식을 곱한다.
x 2 + 2 x − x = 2 x x 2 + 2 x + x = 2 1 + 2 x + 1 ⟶ 2 2 = 1 \sqrt{x^2+2x}-x=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1}\ \longrightarrow\ \frac22=1 x 2 + 2 x − x = x 2 + 2 x + x 2 x = 1 + x 2 + 1 2 ⟶ 2 2 = 1 ㄱ은 참이다.
(ii) ㄴ: 왼쪽 끝에서는 맞서지 않는다
x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ − x → ∞ -x\to\infty − x → ∞ x 2 + 2 x ≥ 0 \sqrt{x^2+2x}\ge0 x 2 + 2 x ≥ 0
x 2 + 2 x − x ≥ − x ⟶ ∞ \sqrt{x^2+2x}-x\ \ge\ -x\ \longrightarrow\ \infty x 2 + 2 x − x ≥ − x ⟶ ∞ 이다. 두 항이 모두 양수로 더해져 ∞ \infty ∞
(iii) ㄷ: 왼쪽 끝에서 근호와 x x x
켤레식 x 2 + 2 x − x \sqrt{x^2+2x}-x x 2 + 2 x − x x < 0 x<0 x < 0 x 2 + 2 x = − x 1 + 2 x \sqrt{x^2+2x}=-x\sqrt{1+\frac2x} x 2 + 2 x = − x 1 + x 2
x 2 + 2 x + x = 2 x x 2 + 2 x − x = 2 x − x ( 1 + 2 x + 1 ) = − 2 1 + 2 x + 1 ⟶ − 1 \sqrt{x^2+2x}+x=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}=\frac{2x}{-x\left(\sqrt{1+\frac2x}+1\right)}=-\frac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1}\ \longrightarrow\ -1 x 2 + 2 x + x = x 2 + 2 x − x 2 x = − x ( 1 + x 2 + 1 ) 2 x = − 1 + x 2 + 1 2 ⟶ − 1 1 1 1
ㄱ
ㄴ
ㄷ
ㄱ은 오른쪽 끝에서 1 1 1 − 1 -1 − 1
옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
■ 관련 개념 및 공식
관련 개념 및 공식 보기
핵심 개념 1번: 근호의 값은 0 이상이므로 − x -x − x
식 오른쪽 끝 왼쪽 끝 x 2 + 2 x − x \sqrt{x^2+2x}-x x 2 + 2 x − x 1 1 1 ∞ \infty ∞ x 2 + 2 x + x \sqrt{x^2+2x}+x x 2 + 2 x + x ∞ \infty ∞ − 1 -1 − 1
쉽게 말하면 — 보기마다 “이 끝에서 근호와 x x x 를 먼저 묻습니다. 맞서면 유리화로 답을 구하고, 맞서지 않으면 그대로 ∞ \infty ∞
■ 직관적 통찰 및 비법
ㄴ을 유리화하려고 하면 분모가 x 2 + 2 x + x \sqrt{x^2+2x}+x x 2 + 2 x + x ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞
ㄷ의 함정은 오른쪽 끝의 ㄱ을 보고 + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1
다음 문제
문제 5 · 응용
l i m x → ∞ x ( x 2 + 10 − x ) \displaystyle\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+10}-x\right) x → ∞ lim x ( x 2 + 10 − x )
정답과 해설 보기
정답 5
■ 정석 풀이
단계별로 풀어 보기3단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.
괄호 안 x 2 + 10 − x \sqrt{x^2+10}-x x 2 + 10 − x x 2 + 10 + x \sqrt{x^2+10}+x x 2 + 10 + x 10 x 2 + 10 + x \frac{10}{\sqrt{x^2+10}+x} x 2 + 10 + x 10
앞의 x x x 10 x x 2 + 10 + x \frac{10x}{\sqrt{x^2+10}+x} x 2 + 10 + x 10 x
위아래를 x x x 10 1 + 10 / x 2 + 1 \frac{10}{\sqrt{1+10/x^2}+1} 1 + 10/ x 2 + 1 10 10 / x 2 10/x^2 10/ x 2 0 0 0 10 1 + 1 = 5 \frac{10}{1+1}=5 1 + 1 10 = 5 5 5 5
※ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x ( x 2 + a − x ) x(\sqrt{x^2+a}-x) x ( x 2 + a − x ) a a a
자세한 풀이 보기
괄호 안은 x 2 + 10 − x → 0 \sqrt{x^2+10}-x\to0 x 2 + 10 − x → 0 x x x ∞ \infty ∞ ∞ × 0 \infty\times0 ∞ × 0
x ( x 2 + 10 − x ) = x ⋅ ( x 2 + 10 ) − x 2 x 2 + 10 + x = 10 x x 2 + 10 + x x\left(\sqrt{x^2+10}-x\right)=x\cdot\frac{(x^2+10)-x^2}{\sqrt{x^2+10}+x}=\frac{10x}{\sqrt{x^2+10}+x} x ( x 2 + 10 − x ) = x ⋅ x 2 + 10 + x ( x 2 + 10 ) − x 2 = x 2 + 10 + x 10 x x > 0 x>0 x > 0 x x x
10 1 + 10 x 2 + 1 ⟶ 10 2 = 5 \frac{10}{\sqrt{1+\frac{10}{x^2}}+1}\ \longrightarrow\ \frac{10}{2}=5 1 + x 2 10 + 1 10 ⟶ 2 10 = 5
x x x y = 5 y=5 y = 5
따라서 극한은 5 5 5
■ 관련 개념 및 공식
관련 개념 및 공식 보기
핵심 개념 4번: 곱의 꼴 ∞ × 0 \infty\times0 ∞ × 0
l i m x → ∞ x ( x 2 + a − x ) = a 2 \lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a}-x\right)=\frac a2 x → ∞ lim x ( x 2 + a − x ) = 2 a 이 문제는 a = 10 a=10 a = 10 5 5 5
쉽게 말하면 — 괄호 안은 0 0 0 x x x 0 0 0 a 2 x \dfrac{a}{2x} 2 x a x x x a 2 \dfrac a2 2 a
■ 직관적 통찰 및 비법
x 2 + 10 − x → 0 \sqrt{x^2+10}-x\to0 x 2 + 10 − x → 0 “0 0 0 0 0 0 이라고 답하기 쉽다. 그러나 x x x 0 0 0 0 0 0 5 x \dfrac{5}{x} x 5 x x x 5 5 5 0 0 0
유리화 후 분모가 x 2 + 10 + x ≈ 2 x \sqrt{x^2+10}+x\approx2x x 2 + 10 + x ≈ 2 x 10 x 2 x = 5 \dfrac{10x}{2x}=5 2 x 10 x = 5 10 x 10x 10 x 2 x 2x 2 x 10 2 \dfrac{10}{2} 2 10
다음 문제
문제 6 · 응용
상수 a a a b b b
l i m x → ∞ ( x 2 + a x + 3 − b x ) = 3 \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+3}-bx\right)=3 x → ∞ lim ( x 2 + a x + 3 − b x ) = 3 일 때, a + b a+b a + b
정답과 해설 보기
정답 7
■ 정석 풀이
단계별로 풀어 보기5단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.
루트 x 2 + a x + 3 \sqrt{x^2+ax+3} x 2 + a x + 3 x x x b x bx b x b = 1 b=1 b = 1
b = 1 b=1 b = 1 x 2 + a x + 3 + x \sqrt{x^2+ax+3}+x x 2 + a x + 3 + x ( x 2 + a x + 3 ) − x 2 = a x + 3 (x^2+ax+3)-x^2=ax+3 ( x 2 + a x + 3 ) − x 2 = a x + 3 아래는 x + x = 2 x x+x=2x x + x = 2 x x x x a 2 \frac{a}{2} 2 a
이 값이 3 3 3 a = 6 a=6 a = 6
더합니다. a + b = 6 + 1 = 7 a+b=6+1=7 a + b = 6 + 1 = 7
※ x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ x 2 + a x + 3 − b x \sqrt{x^2+ax+3}-bx x 2 + a x + 3 − b x b = 1 b=1 b = 1 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞
자세한 풀이 보기
(i) b b b
x > 0 x>0 x > 0 x 2 + a x + 3 = x 1 + a x + 3 x 2 \sqrt{x^2+ax+3}=x\sqrt{1+\dfrac ax+\dfrac3{x^2}} x 2 + a x + 3 = x 1 + x a + x 2 3
x 2 + a x + 3 − b x = x ( 1 + a x + 3 x 2 − b ) \sqrt{x^2+ax+3}-bx=x\left(\sqrt{1+\frac ax+\frac3{x^2}}-b\right) x 2 + a x + 3 − b x = x ( 1 + x a + x 2 3 − b ) 이다. 괄호 안은 1 − b 1-b 1 − b b ≠ 1 b\ne1 b = 1 x ⋅ ( 1 − b ) x\cdot(1-b) x ⋅ ( 1 − b ) ∞ \infty ∞ − ∞ -\infty − ∞
b = 1 b=1 b = 1 이다.
(ii) a a a
b = 1 b=1 b = 1
x 2 + a x + 3 − x = a x + 3 x 2 + a x + 3 + x = a + 3 x 1 + a x + 3 x 2 + 1 ⟶ a 2 \sqrt{x^2+ax+3}-x=\frac{ax+3}{\sqrt{x^2+ax+3}+x}=\frac{a+\frac3x}{\sqrt{1+\frac ax+\frac3{x^2}}+1}\ \longrightarrow\ \frac a2 x 2 + a x + 3 − x = x 2 + a x + 3 + x a x + 3 = 1 + x a + x 2 3 + 1 a + x 3 ⟶ 2 a 이다. 이 값이 3 3 3 a = 6 a=6 a = 6
a = 6 a=6 a = 6 b = 1 b=1 b = 1 y = 3 y=3 y = 3
(iii) 답 구하기
a + b = 6 + 1 = 7 a+b=6+1=7 a + b = 6 + 1 = 7 이다.
■ 관련 개념 및 공식
관련 개념 및 공식 보기
핵심 개념 5번: 극한값이 실수이면 큰 부분이 지워져야 하므로 x x x
b = 1 ⇒ l i m x → ∞ ( x 2 + a x + c − x ) = a 2 b=1\ \Rightarrow\ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+c}-x\right)=\frac a2 b = 1 ⇒ x → ∞ lim ( x 2 + a x + c − x ) = 2 a
쉽게 말하면 — 극한값이 유한하다는 조건은 “큰 부분 x x x 는 말입니다. 지워지는 순간 b = 1 b=1 b = 1 a a a
■ 직관적 통찰 및 비법
극한값이 3 3 3 “큰 부분이 지워진다” 는 정보를 먼저 준다. 근호 항의 크기는 x x x b x bx b x x x x b = 1 b=1 b = 1 b b b 1 1 1 ( 1 − b ) x (1-b)x ( 1 − b ) x ± ∞ \pm\infty ± ∞
b b b x 2 + a x + 3 + b x \sqrt{x^2+ax+3}+bx x 2 + a x + 3 + b x b = 1 b=1 b = 1 x → ∞ x\to\infty x → ∞ x > 0 x>0 x > 0 x 2 = x \sqrt{x^2}=x x 2 = x
다음 문제
문제 7 · 응용
l i m x → ∞ x ( x + 2 − x ) \displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\right) x → ∞ lim x ( x + 2 − x )
정답과 해설 보기
정답 1
■ 정석 풀이
단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.
괄호 안 x + 2 − x \sqrt{x+2}-\sqrt{x} x + 2 − x x + 2 + x \sqrt{x+2}+\sqrt{x} x + 2 + x 2 x + 2 + x \frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} x + 2 + x 2
앞의 x \sqrt{x} x 2 x x + 2 + x \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} x + 2 + x 2 x
아래의 두 루트는 각각 x \sqrt{x} x x + x = 2 x \sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x} x + x = 2 x
x \sqrt{x} x 2 2 = 1 \frac{2}{2}=1 2 2 = 1 1 1 1
※ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x ( x + k − x ) \sqrt{x}\,(\sqrt{x+k}-\sqrt{x}) x ( x + k − x ) k k k x x x 1 1 1 “x \sqrt{x} x 을 다시 계산해야 합니다.
자세한 풀이 보기
앞의 x \sqrt{x} x ∞ \infty ∞ 0 0 0 ∞ × 0 \infty\times0 ∞ × 0 x + 2 + x \sqrt{x+2}+\sqrt{x} x + 2 + x
x ( x + 2 − x ) = x ⋅ ( x + 2 ) − x x + 2 + x = 2 x x + 2 + x \sqrt{x}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}\cdot\frac{(x+2)-x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} x ( x + 2 − x ) = x ⋅ x + 2 + x ( x + 2 ) − x = x + 2 + x 2 x 분자와 분모를 x \sqrt{x} x x > 0 x>0 x > 0 x + 2 x = 1 + 2 x \dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}}=\sqrt{1+\dfrac2x} x x + 2 = 1 + x 2
2 1 + 2 x + 1 ⟶ 2 2 = 1 \frac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1}\ \longrightarrow\ \frac22=1 1 + x 2 + 1 2 ⟶ 2 2 = 1
x x x y = 1 y=1 y = 1
따라서 극한은 1 1 1
■ 관련 개념 및 공식
관련 개념 및 공식 보기
핵심 개념 4번: 근호 안이 일차식인 곱의 꼴도 괄호 안을 유리화하고 분자와 분모를 x \sqrt{x} x
l i m x → ∞ x ( x + a − x ) = a 2 \lim_{x\to\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\right)=\frac a2 x → ∞ lim x ( x + a − x ) = 2 a 이 문제는 a = 2 a=2 a = 2 1 1 1
쉽게 말하면 — 큰 수 x \sqrt{x} x x + 2 − x \sqrt{x+2}-\sqrt{x} x + 2 − x 2 2 x \dfrac{2}{2\sqrt{x}} 2 x 2 1 1 1
■ 직관적 통찰 및 비법
문제 5와 같은 도구이지만 서열이 다르다. 문제 5는 x 2 x^2 x 2 x x x x x x x \sqrt{x} x
x + 2 − x ≈ 1 x \sqrt{x+2}-\sqrt{x}\approx\dfrac{1}{\sqrt{x}} x + 2 − x ≈ x 1 x ⋅ 1 x = 1 \sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}=1 x ⋅ x 1 = 1 x x x “a a a 2 x 2\sqrt{x} 2 x 로 정리된다.