함수의 극한 — 무리함수의 무한대에서의 극한: 근호 안의 이차식과 절댓값으로 양 끝의 부호 구분하기

$f(x)=\sqrt{-4x+3}$은 $-4x+3\ge0$, 즉 $x\le\dfrac34$에서 정의된다. 계수가 $-4<0$이므로 정의역이 왼쪽으로 한없이 뻗어 있어 $x\to-\infty$를 생각할 수 있다.

$x$가 한없이 작아지면 $-4x$는 오히려 한없이 커지므로 $-4x+3$도 한없이 커지고, 그 제곱근인 $f(x)$도 한없이 커진다.

따라서

이다.

핵심 개념 1번: 정의역이 뻗은 방향으로 가면 근호 안이 한없이 커진다.

$p=-4<0$이므로 정의역이 왼쪽으로 뻗어 있고 곧바로 $\infty$로 발산한다. 상수항 $3$은 발산 여부에 영향을 주지 않는다.

쉽게 말하면 — 계수 $p$의 부호만 확인하면 그래프가 어느 쪽으로 뻗어 있는지, 그래서 $x\to-\infty$를 물을 수 있는지가 정해집니다.

$x$의 절댓값이 충분히 크면 $4x^2+x>0$이므로 근호 안에서 $x^2$을 묶어 $|x|$를 꺼낸다.

(i) $x\to\infty$

$|x|=x$이므로

(ii) $x\to-\infty$

$|x|=-x$이므로

(i), (ii)에서

이다.

핵심 개념 3번과 4번: 근호 안이 이차식($a>0$)이고 분모가 일차식($p\ne0$)이면 $|x|$를 꺼내고, 분모의 $x$는 부호를 가진 채로 약분한다.

이 문제는 $a=4$, $p=1$이므로 $\dfrac{2}{1}$과 $-\dfrac{2}{1}$이다.

쉽게 말하면 — 분자의 근호는 어느 쪽 끝이든 양수 $2|x|$로 읽히고, 분모의 $x$는 오른쪽에서 양수, 왼쪽에서 음수입니다. 그러니 같은 몫이 한쪽에서는 $2$, 다른 쪽에서는 $-2$입니다.

(i) ㄱ

$\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$이고 $x\to-\infty$이면 $|x|=-x$이므로

이다. ㄱ은 참이다.

(ii) ㄴ

분자와 분모를 $x$로 나눈다. $x>0$이므로 $\dfrac{\sqrt{4x+1}}{x}=\sqrt{\dfrac{4x+1}{x^2}}=\sqrt{\dfrac4x+\dfrac1{x^2}}$이다.

이다. ㄴ은 참이다.

(iii) ㄷ

$\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+\frac1{x^2}}$이고 $x\to-\infty$이면 $|x|=-x$이므로

이다. $1$이라고 한 ㄷ은 거짓이다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

핵심 개념 2번, 3번, 4번: 근호 안이 이차식이면 $|x|$를 꺼내 두 끝의 부호를 구분하고, 근호 안이 일차식이면 $x$보다 느리게 커진다.

• 근호 안이 이차식: $x\to-\infty$에서 $\sqrt{x^2}=-x$이므로 부호가 갈린다.
• 근호 안이 일차식: 분모가 $x$ 일차이면 $\dfrac{\sqrt{x}}{x}\to0$이다.

쉽게 말하면 — 근호 안이 $x^2$ 꼴이면 부호를 의심하고, $x$ 꼴이면 느린 주자로 보고 분모에 맡깁니다.

(i) 정의역이 왼쪽으로 뻗어 있어야 한다

$x\to-\infty$인 극한을 생각하려면 정의역이 왼쪽으로 한없이 뻗어 있어야 하고, 이는 $a\le0$일 때 가능하다. $a>0$이면 정의역이 $x\ge-\dfrac{12}{a}$ 꼴로 오른쪽으로만 뻗어 있어 왼쪽에는 그래프 자체가 없으므로 극한을 물을 수 없다.

(ii) $a=0$은 제외된다

$a=0$이면 $f(x)=\sqrt{12}$인 상수함수라 $x\to-\infty$일 때 발산이 아니라 $\sqrt{12}$로 수렴한다. 정의역 조건은 $a\le0$이지만 발산 조건은 $a<0$이다.

(iii) $a<0$이면 항상 발산한다

$a<0$이면 $x\to-\infty$일 때 $ax$가 한없이 커지므로

이다. 조건을 만족하는 정수는 $-1,\ -2,\ -3,\ \dots$이고 가장 큰 것은

이다.

핵심 개념 1번: $x\to-\infty$에서 발산하려면 정의역이 왼쪽으로 뻗어야 하고 근호 안이 한없이 커져야 한다.

정의역 조건($a\le0$)과 발산 조건($a<0$)은 등호 하나가 다르다.

쉽게 말하면 — $a=0$은 뿌리 안에서 $x$가 사라지는 경계선입니다. $x$가 살아 있어야 $x\to-\infty$에 따라 값이 커지므로 계수가 진짜 음수여야 발산이 일어납니다.

분자와 분모를 $x$로 나눈다. $x>0$이므로 $\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$이다.

$x\to\infty$일 때 $\sqrt{x}\to\infty$이므로 $\dfrac{3}{\sqrt{x}}\to0$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$이다.

따라서

이다.

핵심 개념 2번: $\sqrt{x}$는 $x$보다 느리게 커지므로 $x$로 나누면 $\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$이다.

분자와 분모를 대장 $x$의 계수만 보면 $\dfrac{1}{2}$이다. $3\sqrt{x}$와 $-\sqrt{x}$는 계수가 얼마든 극한값에 관여하지 않는다.

쉽게 말하면 — $x$와 $\sqrt{x}$가 섞인 식에서는 $x$ 앞의 계수만 읽습니다. $\sqrt{x}$ 앞의 숫자는 아무리 커도 $x$ 앞에서는 힘을 쓰지 못합니다.

$\sqrt{x^2+3}=|x|\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}$이고, 분모는 $x+1=x\left(1+\dfrac1x\right)$이다.

(i) $x\to\infty$

$|x|=x$이므로 분자는 $2x-x\sqrt{1+\frac3{x^2}}=x\left(2-\sqrt{1+\frac3{x^2}}\right)$이고

이다.

(ii) $x\to-\infty$

$|x|=-x$이므로 분자는 $2x+x\sqrt{1+\frac3{x^2}}=x\left(2+\sqrt{1+\frac3{x^2}}\right)$이고

이다.

(i), (ii)에서

이다.

핵심 개념 3번과 4번: 근호 항 $\sqrt{x^2+3}$은 $x\to\infty$에서 $x$, $x\to-\infty$에서 $-x$로 읽는다.

분자에서 $2x$와 근호 항이 서로 마주 서는 구조이므로 두 끝에서 분자가 $x$ 또는 $3x$로 달라진다.

쉽게 말하면 — 근호 항이 두 끝에서 부호를 바꿔 나타나므로, 그 항과 더해지는 $2x$와의 결과가 달라집니다. 부호만 바뀌는 것이 아니라 크기까지 달라집니다.

$\sqrt{ax^2+4}=|x|\sqrt{a+\dfrac4{x^2}}$이고 $x+2=x\left(1+\dfrac2x\right)$이다.

(i) $x\to\infty$

$|x|=x$이므로

이다. 조건에서 $\sqrt a+b=7$이다.

(ii) $x\to-\infty$

$|x|=-x$이므로

이다. 조건에서 $-\sqrt a+b=1$이다.

(iii) 연립

두 식을 더하면 $2b=8$에서 $b=4$이고, 두 식을 빼면 $2\sqrt a=6$에서 $\sqrt a=3$이므로 $a=9$이다.

이다.

핵심 개념 5번: 근호 항은 두 끝에서 부호가 갈리고 $bx$ 항은 갈리지 않는다.

두 식의 합을 $2$로 나눈 것이 $b$, 차를 $2$로 나눈 것이 $\sqrt a$이다.

쉽게 말하면 — 오른쪽 끝의 값은 $\sqrt a$와 $b$를 더한 것이고 왼쪽 끝의 값은 뺀 것입니다. 더하고 빼는 두 사진이 있으면 각각을 따로 꺼낼 수 있습니다.