함수의 극한 — 다항함수의 극한값 구하기

핵심 개념

1. 극한값이란?

함수 $f(x)$ 에서 $x$ 의 값이 $a$ 가 아니면서 $a$ 에 한없이 가까워질 때, $f(x)$ 의 값이 어떤 일정한 값 $L$ 에 한없이 가까워지면, $x=a$ 에서 $f(x)$ 는 $L$ 에 수렴한다고 하고 다음과 같이 나타낸다.

\lim_{x \to a} f(x) = L

이때 $L$ 을 $x=a$ 에서의 $f(x)$ 의 극한값이라고 한다.

직접 확인해 보자. $f(x)=x^2-4x+6$ 에서 $x$ 를 $3$ 에 가까이 보내면 다음과 같다.

$x$	$f(x)$
$2.9$	$2.81$
$2.99$	$2.9801$
$2.999$	$2.998001$
$3$	$?$
$3.001$	$3.002001$
$3.01$	$3.0201$
$3.1$	$3.21$

왼쪽에서 다가가도, 오른쪽에서 다가가도 $f(x)$ 는 $3$ 에 한없이 가까워진다. 그래서 $\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=3$ 이다.

쉽게 말하면 — $x$ 를 $a$ 근처의 값으로 바꿔 가며 넣어 봤을 때, $f(x)$ 의 계산 결과가 어떤 한 값 주변에 계속 모이면 그 값이 극한값입니다. $x$ 에 $a$ 를 직접 넣는 것이 아니라, $a$ 근처에서 $f(x)$ 가 “어디로 향하고 있는지”를 보는 것입니다.

2. 극한값과 함숫값은 다를 수 있다

극한의 뜻에는 “ $x$ 가 $a$ 가 아니면서”라는 단서가 붙어 있다. 즉 극한값은 $x=a$ 한 점의 값을 빼고 그 주변에서 $f(x)$ 가 모이는 곳만 본다. 반면 함숫값 $f(a)$ 는 $x=a$ 한 점에서의 값이다.

\lim_{x \to a} f(x) \ \text{와} \ f(a) \ \text{는 서로 다른 값일 수 있다}

쉽게 말하면 — 극한값은 “가는 길에 보이는 높이”, 함숫값은 “도착한 그 지점에 실제로 찍혀 있는 값”입니다. 도착 지점에만 다른 표지판이 세워져 있어도, 가는 길의 풍경은 바뀌지 않습니다.

그러면 언제 두 값이 같을까? 다음 3번이 그 답이다.

3. 다항함수는 그냥 대입한다

$x$ 의 값이 $a$ 에 가까워지면 $x$ 자체는 $a$ 에 가까워진다. 이 사실과 극한의 성질(합·상수배·곱)을 이용하면 다음을 얻는다.

\lim_{x\to a}c=c \ (c\text{는 상수}), \qquad \lim_{x\to a}x=a, \qquad \lim_{x\to a}x^2=\lim_{x\to a}(x\cdot x)=a\cdot a=a^2

같은 방식으로 $\displaystyle\lim_{x\to a}x^3=a^3$ , $\displaystyle\lim_{x\to a}x^4=a^4$ 이다. 따라서 다항식은 항별로 나누어 계산할 수 있고, 결과는 $x$ 자리에 $a$ 를 넣은 값과 같다.

\lim_{x \to a}(px^3+qx^2+rx+s)=pa^3+qa^2+ra+s=f(a)

차수가 $1$ 이든 $4$ 이든 마찬가지이다. 정리하면 다음과 같다.

f(x)\text{가 다항함수} \ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)=f(a)

왼쪽에서 다가가도(

x\to a^{-}

), 오른쪽에서 다가가도(

x\to a^{+}

), 곡선이 끊어지지 않고 이어져 있으므로 높이는 항상

f(a)

로 모입니다.

쉽게 말하면 — 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있으면, 목적지 바로 앞까지 다가간 사람이 도착하는 곳은 목적지의 높이입니다. 직선이든 포물선이든 구불구불한 곡선이든, 다항함수의 그래프는 어디에서도 끊어지지 않습니다. 그래서 극한값을 구하려고 굳이 “가까이 가는” 계산을 할 필요 없이 그냥 대입하면 됩니다.

단, 이 방법은 분모가 없는 다항함수일 때의 이야기이다. 분수 꼴에서 대입했더니 $\dfrac{0}{0}$ 이 되는 경우는 뒤에서 따로 다룬다.

4. 곱으로 주어진 식은 전개하지 않는다

두 함수의 극한값이 각각 존재하면 합·차·곱의 극한은 다음과 같이 각각의 극한값으로 계산할 수 있다.

\lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x), \qquad \lim_{x\to a}\{f(x)g(x)\}=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)

그래서 $(x+2)(x^2-x+4)$ 처럼 곱으로 주어진 식은 괄호를 전개하지 않고, 괄호마다 $x=a$ 를 따로 대입해 나온 두 수를 곱하면 된다.

쉽게 말하면 — 곱해져 있는 두 식을 굳이 하나로 풀어헤칠 필요가 없습니다. 각 괄호에 따로 $a$ 를 넣어 숫자를 만든 다음, 그 숫자끼리 곱하면 끝입니다.

5. 극한값이 주어지면 방정식으로 바꾼다

다항함수에서는 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 이므로, “극한값이 $k$ 이다”라는 조건은 “ $f(a)=k$ 이다”라는 조건과 완전히 같다. $\lim$ 기호를 지우고 평범한 방정식으로 바꾸면 미지수를 구할 수 있다.

정리: 다항함수 극한 문제를 푸는 순서

분모가 없는 다항식(또는 그 곱)인지 확인한다.

$x$ 자리에 $a$ 를 대입한다. (곱이면 괄호마다 따로 대입한다.)

극한값이 주어져 있으면 $\lim$ 기호를 지우고 방정식(연립방정식)을 푼다.

누구나 풀 수 있어요기본형은 2단계로 풉니다. 응용형은 아래 문제 해설의 “단계별로 풀어 보기”에서 안내합니다.

$\lim$ 기호는 잊고, 식의 $x$ 자리마다 $a$ 를 넣습니다. 괄호가 곱해져 있으면 괄호마다 따로 넣어 곱합니다.
극한값이 주어져 있으면 넣은 결과를 그 값과 같다고 놓고 방정식을 풉니다.

※ $x$ 가 한 점 $a$ 로 가까워지는 극한이고 식이 다항식(곱하고 더하고 빼기만 있는 식)일 때의 기본형입니다. 줄이 나뉜 함수는 아래 문제 해설을 보세요.

유제

문제 1 · 기본

삼차함수 $f(x) = 2x^3 - x^2 - 3$ 에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x)$ 의 값은?

① -8
② -6
③ -4
④ -2
⑤ 6

정답과 해설 보기

정답 ②

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요3단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

$\lim$ 기호는 잊고, 식의 $x$ 자리마다 $-1$ 을 넣습니다. $2\times(-1)^3-(-1)^2-3$
거듭제곱부터 계산합니다. $(-1)^3=-1$ , $(-1)^2=1$ 이므로 $2\times(-1)-1-3$
나머지를 계산합니다. $-2-1-3=-6$ → 정답 ②

※ 이 문제처럼 곱하고 더하고 빼기만 있는 식(다항식)일 때만 이렇게 하세요. 분모에 $x$ 가 있는 식은 다른 방법입니다.

자세한 풀이 보기

$f(x)=2x^3-x^2-3$ 은 분모가 없는 다항함수이므로 $x=-1$ 을 그대로 대입한다.

\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 2\cdot(-1)^3 - (-1)^2 - 3 = -2-1-3 = -6

x

가

-1

보다 작은 쪽·큰 쪽 어디서 다가가도, 곡선 위의 점은 끊김 없이

(-1,-6)

으로 다가갑니다

즉 $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = -6$ 이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 3번: 다항함수이면 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 이다. 삼차함수도 $\displaystyle\lim_{x\to a}x^3=a^3$ 이므로 항별로 대입하면 된다.

쉽게 말하면 — 삼차항 $x^3$ 도 결국 $x\cdot x\cdot x$ 입니다. 차수가 높아져도 계산 방법은 똑같이 “그 자리에 $a$ 를 넣는다”입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

삼차함수의 그래프는 이차함수의 포물선보다 훨씬 구불구불해서, 많은 학생이 “차수가 높아졌으니 극한 계산도 더 까다롭겠다”고 느낀다.

하지만 다항함수의 극한은 차수와 상관없이 항별로 대입한 값이다. 극한의 합·곱 성질에 따라 $x^3$ , $x^2$ 도 $(-1)^3$ , $(-1)^2$ 으로 바뀌기 때문이다. 그래서 절차는 언제나 “그냥 대입”이다.

실제로 틀리는 지점은 계산이 아니라 부호이다. $(-1)^3=-1$ , $(-1)^2=1$ 이므로 $-(-1)^2$ 은 $-1$ 인데, 이를 $+1$ 로 잘못 쓰는 실수가 흔하다. 홀수 제곱은 원래 부호를 그대로 가져가고 $0$ 이 아닌 수의 짝수 제곱은 항상 양수가 된다는 점을 대입 직전에 한 번 더 확인하자.

다음 문제

문제 2 · 응용

함수 $f(x)$ 가

f(x) = \begin{cases} -4 & (x \neq 5) \\ \ \ 1 & (x = 5) \end{cases}

로 정의되어 있다. $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = a$ , $f(5) = b$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 -3

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기3단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

극한값 $a$ 는 “ $x\ne5$ 일 때”의 줄에서 읽습니다. 그 줄의 값이 $-4$ 이므로 $a=-4$
함숫값 $b$ 는 “ $x=5$ 일 때”의 줄에서 읽습니다. 그 줄의 값이 $1$ 이므로 $b=1$
두 값을 더합니다. $-4+1=-3$

※ 이 문제처럼 $x\ne5$ 인 줄이 상수이면 그 상수가 극한값입니다. $x\ne5$ 인 줄이 상수가 아니면 그 식의 극한을 따로 구해야 합니다. 함숫값은 $x=5$ 인 줄에서 읽습니다.

자세한 풀이 보기

(i) 극한값 $a$ 구하기

$x \to 5$ 는 $x$ 가 $5$ 가 아니면서 $5$ 에 한없이 가까워진다는 뜻이므로, 극한값을 따질 때 쓰이는 것은 $x \neq 5$ 인 부분의 식뿐이다. $x \neq 5$ 일 때 $f(x) = -4$ 이므로

a = \lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5} (-4) = -4

(ii) 함숫값 $b$ 구하기

$b$ 는 $x=5$ 한 점에서의 값이므로 정의에서 그대로 읽는다.

b = f(5) = 1

(iii) 답 구하기

a + b = (-4) + 1 = -3

x=5

에서만 점 하나가 위로 떨어져 있고, 그 자리의 선에는 구멍이 뚫려 있다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 2번: 극한값은 $x=a$ 를 뺀 주변의 값만 보고, 함숫값 $f(a)$ 는 $x=a$ 한 점의 값이다. 이 문제처럼 $x=a$ 한 점만 따로 다르게 정의하면 두 값이 달라진다. 또 상수함수의 극한 $\displaystyle\lim_{x \to a} c = c$ 를 $x \neq 5$ 인 부분에 적용해 $a=-4$ 를 얻는다.

쉽게 말하면 — 극한값은 “가는 길에 보이는 높이”, 함숫값은 “도착한 그 지점에 실제로 찍혀 있는 값”입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

그래프를 떠올리면 한눈에 끝난다. 높이 $-4$ 짜리 수평선이 쭉 뻗어 있는데, $x=5$ 자리에만 구멍이 하나 뚫려 있고 그 구멍 위쪽 $1$ 의 높이에 점이 따로 찍혀 있는 모양이다.

극한값: 구멍을 향해 걸어가면서 보는 높이 → 왼쪽에서 가도 오른쪽에서 가도 계속 $-4$
함숫값: 구멍 자리에 실제로 찍힌 점 → $1$

핵심 감각은 “극한은 구멍을 무시한다”는 것이다. $x=5$ 한 점의 값을 $1$ 이 아니라 $100$ 으로 바꿔도, 아예 정의하지 않아도 극한값은 여전히 $-4$ 이다. 점 하나는 선의 방향을 바꾸지 못하기 때문이다.

문제 1의 다항함수에서는 극한값과 함숫값이 같았지만, 그것은 다항함수의 극한이 항별로 대입한 값이기 때문이다. “극한값 = 대입한 값”은 다항식처럼 대입이 보장되는 식에서만 쓰는 지름길이라는 점을 기억하자. 앞으로 $\dfrac{0}{0}$ 꼴에서 분모가 $0$ 이 되는 점을 약분으로 없애도 되는 이유도 같다 — 그 한 점은 애초에 극한의 관심사가 아니다.

다음 문제

문제 3 · 기본

함수 $f(x) = (x+2)(x^2-x+4)$ 에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ 의 값은?

① 4
② 8
③ 12
④ 16
⑤ 20

정답과 해설 보기

정답 ③

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요4단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

괄호는 풀지 말고 그대로 둡니다.
왼쪽 괄호 $(x+2)$ 의 $x$ 자리에 $1$ 을 넣습니다. $1+2=3$
오른쪽 괄호 $(x^2-x+4)$ 의 $x$ 자리에 $1$ 을 넣습니다. $1-1+4=4$
나온 두 숫자를 곱합니다. $3\times4=12$ → 정답 ③

※ 이 문제처럼 곱하고 더하고 빼기만 있는 식(다항식)일 때만 이렇게 하세요. 분모에 $x$ 가 있는 식은 다른 방법입니다.

자세한 풀이 보기

$f(x)=(x+2)(x^2-x+4)$ 는 일차식 $x+2$ 와 이차식 $x^2-x+4$ 의 곱이다. 괄호마다 $x=1$ 을 따로 대입하면

\lim_{x \to 1}(x+2) = 1+2 = 3, \qquad \lim_{x \to 1}(x^2-x+4) = 1-1+4 = 4

두 극한값이 모두 존재하므로 곱의 극한의 성질에 의해

\lim_{x \to 1} f(x) = 3\times 4 = 12

x

가

1

보다 작은 쪽·큰 쪽 어디서 다가가도, 곡선 위의 점은 끊김 없이

(1,12)

로 다가갑니다

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번: 곱의 극한의 성질 (두 극한값이 각각 존재할 때)

\lim_{x\to a}\{f(x)g(x)\} = \lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)

이 문제에서는 일차식과 이차식이 각각 극한값 $3$ , $4$ 를 가지므로 곧바로 곱해서 $12$ 를 얻는다.

쉽게 말하면 — 괄호 두 개를 굳이 전개해서 $x^3+x^2+2x+8$ 이라는 하나의 삼차식으로 만들 필요가 없습니다. 괄호를 그대로 둔 채 각 괄호에 $1$ 을 넣어서 나온 두 숫자를 곱하면 그게 바로 답입니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

전개하면 계산이 길어지고 틀릴 곳도 늘어난다. 괄호가 둘이면 “숫자 두 개를 만들어 곱한다”로 생각하자. 다만 이차식 쪽을 대입할 때 가운데 항의 부호를 놓치는 실수가 잦다.

빠른 검산법 하나: $x^2-x+4$ 는 판별식이 $1-16=-15<0$ 이고 $x^2$ 의 계수가 양수이므로 모든 실수 $x$ 에 대해 항상 양수이다. 그러므로 최종 답의 부호는 일차식 $x+2$ 의 부호만 보면 미리 예측된다. 이 문제는 $x+2$ 가 양수이므로 답도 반드시 양수여야 하고, 실제로 $12$ 로 맞아떨어진다.

다음 문제

문제 4 · 응용

사차함수 $g(x) = x^4 + 2x^3 - ax + 5$ 에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to -1} g(x) = 10$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 6

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$\lim$ 기호는 잊고, $g(x)$ 의 $x$ 자리마다 $-1$ 을 넣습니다. $(-1)^4+2\times(-1)^3-a\times(-1)+5$
계산합니다. $1-2+a+5=a+4$ ( $-a\times(-1)$ 은 $+a$ 입니다.)
이 값이 $10$ 이라고 놓습니다. $a+4=10$
풉니다. $a=6$

※ $g(x)$ 가 이 문제처럼 곱하고 더하고 빼기만 있는 식(다항식)일 때만 이렇게 하세요.

자세한 풀이 보기

$g(x)=x^4+2x^3-ax+5$ 는 다항함수이므로

\lim_{x \to -1} g(x) = g(-1) = (-1)^4 + 2\cdot(-1)^3 - a\cdot(-1) + 5 = 1-2+a+5 = a+4

조건에서 이 값이 $10$ 이므로 $a+4=10$ 이고, $a=6$ 이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번: “극한값이 $10$ ”을 “ $g(-1)=10$ ”으로 바꿔 쓰는 것이 출발점이다. 사차함수라 식은 길지만 $x\to -1$ 이므로 필요한 값은 $g(-1)$ 하나뿐이다.

쉽게 말하면 — “극한값이 $10$ ”이라는 말은 다항함수에서는 “대입한 값이 $10$ ”이라는 말과 같습니다. $\lim$ 기호를 지우고 $g(-1)=10$ 이라는 보통 방정식으로 풀면 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

사차식이라서 $a$ 에 대한 방정식도 사차방정식일 거라고 지레짐작하면 어렵게 느껴진다.

하지만 $x=-1$ 을 대입하는 순간 $x^4$ , $x^3$ 자리는 이미 $(-1)^4=1$ , $(-1)^3=-1$ 이라는 확정된 숫자로 바뀐다. 미지수 $a$ 는 애초에 $-ax$ 라는 일차항에만 붙어 있었으므로, 대입을 마치면 $a$ 에 대해서는 일차방정식 $a+4=10$ 만 남는다.

비법은 간단하다. 차수가 높아도, 미지수가 어느 항에 붙어 있는지부터 확인하자. 미지수가 붙은 항이 일차항이고 대입한 뒤 그 미지수에 곱해진 수가 $0$ 이 아니라면 대입 후 방정식도 일차로 끝난다.

다음 문제

문제 5 · 응용

함수 $h(x) = (x+a)(x^2-x+1)$ 에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 2} h(x) = 21$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 5

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기4단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

괄호마다 $x$ 자리에 $2$ 를 넣습니다. $(x+a)$ 는 $2+a$ , $(x^2-x+1)$ 은 $4-2+1=3$ 입니다.
두 값을 곱해서 $21$ 과 같다고 놓습니다. $(2+a)\times3=21$
양쪽을 $3$ 으로 나눕니다. $2+a=7$
풉니다. $a=5$

※ 각 괄호가 $x$ 에 대한 다항식인 곱일 때만 이렇게 하세요.

자세한 풀이 보기

$(x+a)$ 와 $(x^2-x+1)$ 에 각각 $x=2$ 를 대입하면

\lim_{x \to 2}(x+a) = 2+a, \qquad \lim_{x \to 2}(x^2-x+1) = 4-2+1 = 3

곱의 극한의 성질에 의해

\lim_{x \to 2} h(x) = (2+a)\times 3 = 6+3a

조건에서 이 값이 $21$ 이므로 $6+3a=21$ 이고, $a=5$ 이다.

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 4번(곱의 극한)과 5번(극한값 조건 → 방정식)을 함께 쓴 문제이다. 차이는 일차식 쪽에 미지수 $a$ 가 들어 있다는 점뿐이며, $x=2$ 를 대입하면 $2+a$ 라는 $a$ 에 대한 일차식이 남는다.

쉽게 말하면 — “극한값이 $21$ ”이라는 조건은 두 괄호에 각각 $2$ 를 대입해서 곱한 결과가 $21$ 이라는 뜻입니다. $\lim$ 기호를 지우고 $(2+a)\times 3 = 21$ 이라는 일차방정식을 풀면 됩니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

미지수가 들어 있지 않은 쪽부터 먼저 계산해 숫자로 확정해 두는 순서가 실수를 줄인다. 이 문제에서는 $(x^2-x+1)$ 쪽을 먼저 계산해 $3$ 으로 확정하면, 남는 식은 $(2+a)\times 3 = 21$ 이라는 단순한 일차방정식뿐이다.

미지수가 있는 쪽과 없는 쪽을 동시에 다루려 하지 말고, 없는 쪽부터 처리하는 습관을 들이면 괄호가 몇 개 섞여 있어도 항상 같은 순서로 풀 수 있다.

다음 문제

문제 6 · 기본

이차함수 $f(x) = ax^2+bx+1$ ( $a, b$ 는 상수)에 대하여

\lim_{x \to 1} f(x) = 4, \qquad \lim_{x \to 2} f(x) = 11

일 때, $ab$ 의 값은?

① -2
② -1
③ 1
④ 2
⑤ 3

정답과 해설 보기

정답 ④

■ 정석 풀이

누구나 풀 수 있어요5단계만 따라오세요. 왜 그런지는 아래 정석 풀이에서 천천히 보면 됩니다.

첫째 조건은 $f(x)$ 의 $x$ 자리에 $1$ 을 넣은 값이 $4$ 라는 뜻입니다. $a+b+1=4$ , 정리하면 $a+b=3$
둘째 조건은 $x$ 자리에 $2$ 를 넣은 값이 $11$ 이라는 뜻입니다. $4a+2b+1=11$ , 정리하면 $2a+b=5$
둘째 식에서 첫째 식을 뺍니다. $(2a+b)-(a+b)=5-3$ 이므로 $a=2$
$a=2$ 를 $a+b=3$ 에 넣습니다. $b=1$
곱합니다. $ab=2\times1=2$ → 정답 ④

※ 다항함수에서 $x$ 가 한 점 $c$ 로 가까워질 때는 $x=c$ 를 넣은 값이 극한값입니다. 이 문제의 $f(x)$ 는 다항식입니다.

자세한 풀이 보기

$f(x)=ax^2+bx+1$ 은 다항함수이므로 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ 이다. 두 조건을 각각 대입값으로 바꾸면

\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = a+b+1 = 4 \;\;\Rightarrow\;\; a+b=3 \quad \cdots \text{①}

\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4a+2b+1 = 11 \;\;\Rightarrow\;\; 2a+b=5 \quad \cdots \text{②}

②에서 ①을 빼면 $a=2$ 이고, 이를 ①에 대입하면 $b=1$ 이다. 따라서

ab = 2\times 1 = 2

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

핵심 개념 5번을 두 개의 서로 다른 $x$ 값에 각각 적용해 $a, b$ 에 대한 연립방정식 두 개를 얻었다.

\begin{cases} a+b=3 \\ 2a+b=5 \end{cases}

미지수가 두 개, 방정식도 두 개이므로 가감법(한 식에서 다른 식을 빼서 미지수 하나를 없애는 방법)으로 바로 풀 수 있다.

쉽게 말하면 — 극한 조건을 대입값으로 바꾸고 나면 $\lim$ 이라는 글자는 사라지고, 중학교 때부터 풀어온 평범한 연립방정식만 남습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

어렵게 느껴지는 이유는 '이차함수'와 '극한'이라는 낯선 단어 때문이지, 실제 계산 난이도와는 상관없다. $\lim$ 기호가 사라지는 순간 남는 것은 $a, b$ 에 대한 흔한 연립방정식이다.

이 문제처럼 $a$ , $b$ 에 대한 일차식 조건이라면 미지수가 두 개일 때 조건도 두 개 필요하다는 점만 기억하자. 조건이 하나뿐이면 $a, b$ 를 따로 구별할 수 없고, 두 조건을 나란히 놓아야 비로소 가감법으로 하나씩 소거할 수 있다.

다음 문제

문제 7 · 응용

이차함수 $f(x) = ax^2+bx-2$ ( $a, b$ 는 상수)에 대하여

\lim_{x\to -2} f(x) + \lim_{x\to 1} f(x) = 13, \qquad \lim_{x\to -2} f(x) - \lim_{x\to 1} f(x) = 15

일 때, $ab$ 의 값을 구하시오.

정답과 해설 보기

정답 -6

■ 정석 풀이

단계별로 풀어 보기6단계로 나눠 풀어 봅니다. 각 단계의 이유는 정석 풀이에서 확인하세요.

$x$ 자리에 $-2$ 를 넣은 값은 $4a-2b-2$ , $1$ 을 넣은 값은 $a+b-2$ 입니다.
첫째 조건은 두 값을 더해서 $13$ 이라는 뜻입니다. $5a-b-4=13$ , 정리하면 $5a-b=17$
둘째 조건은 두 값을 빼서 $15$ 라는 뜻입니다. $3a-3b=15$ , 정리하면 $a-b=5$
두 식을 뺍니다. $(5a-b)-(a-b)=17-5$ 이므로 $4a=12$ , $a=3$
$a=3$ 을 $a-b=5$ 에 넣습니다. $b=-2$
곱합니다. $ab=3\times(-2)=-6$

※ $f(x)$ 가 다항식이고 $x$ 가 한 점 $c$ 로 가까워질 때는 $x=c$ 를 넣은 값이 극한값입니다.

자세한 풀이 보기

$f(x)=ax^2+bx-2$ 는 다항함수이므로 $\displaystyle\lim_{x\to -2}f(x)=f(-2)$ , $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=f(1)$ 이다.

f(-2)=4a-2b-2, \qquad f(1)=a+b-2

두 조건에 대입하면

f(-2)+f(1) = 5a-b-4 = 13 \;\;\Rightarrow\;\; 5a-b=17 \quad \cdots \text{①}

f(-2)-f(1) = 3a-3b = 15 \;\;\Rightarrow\;\; a-b=5 \quad \cdots \text{②}

①에서 ②를 빼면 $4a=12$ , 즉 $a=3$ 이고, ②에 대입하면 $b=-2$ 이다. 따라서

ab = 3\times(-2) = -6

■ 관련 개념 및 공식

관련 개념 및 공식 보기

문제 6과 같은 성질 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ 를 두 지점 $x=-2$ , $x=1$ 에 적용했을 뿐이다. 다만 조건이 $f(-2)$ , $f(1)$ 각각의 값이 아니라 둘의 합과 차로 주어져 있어, 대입 후 정리하는 단계가 하나 더 들어간다.

쉽게 말하면 — “합이 13, 차가 15”라는 조건은 $f(-2)$ 와 $f(1)$ 이라는 두 숫자를 직접 알려주는 대신, 그 둘을 더하고 뺀 결과만 알려준 것입니다. 결국 $a, b$ 에 대한 연립방정식이라는 점은 문제 6과 똑같습니다.

■ 직관적 통찰 및 비법

복잡해 보이는 이유는 조건이 $f(-2)$ , $f(1)$ 각각의 값이 아니라 합·차로 위장되어 있기 때문이다. $f(-2)=A$ , $f(1)=B$ 로 잠시 통짜 숫자처럼 다루면, 조건은 $A+B=13$ , $A-B=15$ 라는 단순한 연립방정식이 되고, 더하고 빼면 $A=14$ , $B=-1$ 이 바로 나온다.

그 다음에야 $A=f(-2)$ , $B=f(1)$ 이라는 식을 열어 $a, b$ 에 대한 연립방정식을 풀면 된다. 한 번에 다 풀려고 욕심내지 않고 '두 겹'으로 나눠 처리하는 것이 이 문제의 요령이다.

#함수의 극한#다항함수#직접대입#극한값과 함숫값#미정계수#미적분Ⅰ