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중2 2학기삼각형과 사각형의 성질난이도 응용객관식

중2 2학기 중간대비 — 삼각형의 외심과 내심

삼각형의 외심·내심의 정의와 성질을 정리하고, 내심을 이용해 각을 구하는 응용 객관식 유제를 3단 해설과 함께 풀어본다.

핵심 개념

1. 삼각형의 외심 (外心)

정의: 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 외심이라고 한다.

성질

  1. 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같다. 즉 OA‾=OB‾=OC‾\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}이며, 이 값은 외접원의 반지름 RR이다.
  2. 외심의 위치는 삼각형의 모양에 따라 달라진다.
    • 예각삼각형: 삼각형 내부
    • 직각삼각형: 빗변의 중점
    • 둔각삼각형: 삼각형 외부
삼각형 ABC와 외심 O, 외접원, 각 꼭짓점까지의 반지름 R을 보여주는 그림
외심 O는 세 변의 수직이등분선의 교점이며, $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=R$이다.

2. 삼각형의 내심 (內心)

정의: 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 내심이라고 한다.

성질

  1. 내심에서 세 변까지의 거리(수선의 길이)는 모두 같다. 이 값은 내접원의 반지름 rr이다.
  2. 내심은 삼각형의 모양과 관계없이 항상 삼각형 내부에 존재한다.
  3. 꼭짓점 AA의 대각으로 만들어지는 각 ∠BIC\angle BIC는 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.
∠BIC=90∘+∠A2\angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}
삼각형 ABC와 내심 I, 내접원, 세 내각의 이등분선을 보여주는 그림
내심 I는 세 내각의 이등분선의 교점이며, 세 변까지의 거리가 모두 $r$로 같다.

유제

문제. 다음 그림에서 점 II는 삼각형 ABCABC의 내심이다. ∠A=52∘\angle A = 52^\circ일 때, ∠BIC\angle BIC의 크기는?

삼각형 ABC, 내심 I, B와 C에서 I로 이어지는 이등분선, 꼭짓점 A의 각 52도가 표시된 그림. 각 BIC 자리에는 물음표가 있다.

① 104∘104^\circ ② 108∘108^\circ ③ 112∘112^\circ ④ 116∘116^\circ ⑤ 120∘120^\circ

정답 및 해설

정답: ④ 116∘116^\circ

■ 정석 풀이

점 II가 삼각형 ABCABC의 내심이므로, BI‾\overline{BI}와 CI‾\overline{CI}는 각각 ∠B\angle B, ∠C\angle C의 이등분선이다.

따라서

∠IBC=∠B2,∠ICB=∠C2\angle IBC = \frac{\angle B}{2}, \qquad \angle ICB = \frac{\angle C}{2}

삼각형 BICBIC에서 세 내각의 합은 180∘180^\circ이므로

∠BIC=180∘−(∠B2+∠C2)=180∘−∠B+∠C2\angle BIC = 180^\circ - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}

한편 삼각형 ABCABC에서 ∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ이므로

∠B+∠C=180∘−∠A=180∘−52∘=128∘\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ

이를 대입하면

∠BIC=180∘−128∘2=180∘−64∘=116∘\angle BIC = 180^\circ - \frac{128^\circ}{2} = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ

따라서 정답은 ④ 116∘116^\circ이다.

■ 관련 개념 및 공식

위 풀이를 ∠A\angle A에 대한 일반식으로 정리하면 다음과 같은 내심의 성질을 얻는다.

∠BIC=180∘−∠B+∠C2=180∘−180∘−∠A2=90∘+∠A2\angle BIC = 180^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}

이 식은 ∠B\angle B, ∠C\angle C가 각각 몇 도인지와 무관하게, 오직 ∠A\angle A의 크기만으로 ∠BIC\angle BIC가 하나로 결정된다는 것을 보여준다.

참고로 외심에는 형태가 비슷한 성질이 있다 — 삼각형이 예각삼각형이고 OO가 외심일 때 ∠BOC=2∠A\angle BOC = 2\angle A이다. 겉보기에 비슷한 두 공식(90∘+∠A290^\circ+\dfrac{\angle A}{2} vs 2∠A2\angle A)을 혼동하면 보기 ①의 104∘(=2×52∘)104^\circ (=2\times 52^\circ)를 고르는 실수를 하게 된다. 내심 문제인지 외심 문제인지부터 확인하는 것이 첫 단계다.

■ 직관적 통찰 및 비법

  • 내심에서 만들어지는 각 ∠BIC\angle BIC는 항상 90∘90^\circ보다 크다(둔각). 두 이등분각을 더한 값이 원래 각의 합의 절반으로 줄어들기 때문에, 남은 각은 항상 90∘90^\circ를 넘게 된다 — 그래서 공식이 "90∘+□90^\circ + \Box" 꼴로 나온다고 기억하면 부호 실수를 줄일 수 있다.
  • 공식을 매번 유도하기 번거롭다면 “∠A\angle A의 절반을 90∘90^\circ 위에 얹는다”로 암기하면 빠르다.
  • 이 문제처럼 ∠A\angle A 하나만 주어졌는데 ∠BIC\angle BIC를 구하라고 하면, ”B,CB, C 개별값이 필요 없는 공식이 있겠구나”라고 먼저 의심하는 습관을 들이면 실전에서 시간을 크게 절약할 수 있다.
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